初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 角平分線的性質(zhì)定理【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

角平分線的性質(zhì)定理尺規(guī)作圖

做一做1已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:1.以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交OA、OB于點(diǎn)E、D.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)C.3.作射線OC.則射線OC就是∠AOB的平分線.你能說明OC為什么是∠AOB的平分線嗎？小組進(jìn)行交流.ABOCDEABOCDE已知：OE=OD，EC=DC求證：OC平分∠AOB證明：在△OEC和△ODC中，

OE=OD，（已知）

EC=DC，（已知）

OC=OC，（公共邊）∴△OEC≌△ODC（SSS）∴∠EOC=∠DOC

即：OC平分∠AOB角平分線回顧思考已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證：PD=PEOCA1B2PED

在廣德城區(qū)有一個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)P，，它建在橫山南路和團(tuán)結(jié)東路所成角的平分線上，要從P點(diǎn)建兩條路，一條通向橫山南路，一條通向團(tuán)結(jié)東路.Ｏ橫山南路團(tuán)結(jié)東路·P問題1：怎樣修建道路最短問題2：哪條路更短呢？證明:

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定義）．在△PDO和△PEO中，因?yàn)椤?＝∠2（已證），∠PDO＝∠PEO（已證），PO＝PO（公共邊），｛∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∵OC是∠AOB的平分線∴∠1=∠2（角平分線的定義）OCB1A2PDEODEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)幾何語言描述：ACB

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)定理：不必再證全等作用：判斷線段相等的依據(jù).∵P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，------條件1

且PD⊥OA，PE⊥OB------條件2∴PD=PE-------結(jié)論∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷正誤：練習(xí)1∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊

的距離相等）

DBDC(√)我思我進(jìn)步老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.

BAEDCF例1、已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證：BE=CF例題講解回味無窮本節(jié)課你有什么收獲？結(jié)束寄語嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.下課了!

再見例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEDFMN能力提升NDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCPABCP點(diǎn)撥：有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BF是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等ABCPDEF結(jié)論：三角形兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等拓展提升