初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（五·四學(xué)制）4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題

20.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題…………最短路徑問(wèn)題課題學(xué)習(xí)問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：牧馬人從軍營(yíng)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊MN（忽略河流寬度，近似為一條直線）飲馬，然后越過(guò)河流，回家到B地。到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)C，使這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？(即AC與BC的和最小）兩點(diǎn)之間，線段最短lACB問(wèn)題2又有一天，將軍專程又來(lái)拜訪海倫：

從圖中的軍營(yíng)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊MN（忽略河流寬度）飲馬，然后回家到B地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最?。糠治觯篈Bl聯(lián)想問(wèn)題1的解決方法B··Al·Cl·CB··A思考：（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把右圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？B··Al·C1、作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′B′2、AC+CB=AC+CB′，如果AC+CB′的和最小，那么AC+CB的和就最小分析：lABCB′1、作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.

2、連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．

則點(diǎn)C即為所求．具體作法探索新知你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CB·lA·B′CC′lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題

在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱變換，將“折”的線轉(zhuǎn)化為“直”的線。小結(jié)歸納例：如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑。典型例題1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD練習(xí)1

如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn).若要在AD找一點(diǎn)G,使BG+EG最小,請(qǐng)畫出G的位置?練習(xí)2

練習(xí)3

如圖，牧馬人從C地出發(fā)，先到草地OA邊某一處牧馬，再到河邊OB飲馬，然后回到D處，請(qǐng)畫出最短路徑．拓廣探索1

如圖，A是銳角∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.BC拓廣探索2

問(wèn)題3

（造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？lABC聯(lián)想問(wèn)題1的解決方法思考：（1）這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把右圖AM、BN轉(zhuǎn)化成共端點(diǎn)的兩條線段呢？（3）利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？求AC+BC的最小值求AM+BN的最小值aBAbMNA'1、沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬。

2、連接A′B交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.具體作法aBAbMNA'抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題lABC小結(jié)歸納在