高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編：直線與圓

高考數(shù)學(xué)（理）真題專題匯編：直線與圓

一、選擇題

1.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷H）

22

設(shè)廠為雙曲線G二-二=1（。>0,6>0）的右焦點，0為坐標(biāo)原點，以在為直徑的圓與

a

圓d+y2=a2交于尸，。兩點.若|pq=Q同，則c的離心率為

A.y/2B.y/3

C.2D.V5

2.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷m）

已知曲線y=+xlnx在點（1,ae）處的切線方程為片2戶6,則

A.a=e,Z>=—1B.a=e,b=lC.a=h=\D.a=e~],

b=-\

3.【來源】2018年高考真題一一數(shù)學(xué)理（全國卷m）

直線x+y+2=°分別與x軸，y軸交于6兩點，點尸在圓（X—2）2+V=2上，則△四尸

面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4,8]

C[亞,3亞]口.12亞,3亞]

4.【來源】2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（北京卷）

在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點尸（cos。，sin。）到直線x-〃i）-2=0的距離，當(dāng)0,m

變化時，，的最大值為

（A）1（B）2

（C）3（D）4

5.【來源】（06年湖南卷理）若圓-4丁-10=°上至少有三個不同的點到

直線，：ax+by=°的距離為2/，則直線/的傾斜角的取值范圍是

A.B.%'勻C.[?（3]D

[0,5

.乙

6.【來源】(06年福建卷理)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點工(再，兄)，以與，乃)，定義

它們之間的一種“距離”：|145||=上一再|(zhì)+1-必].給出

下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則M*悴卜|網(wǎng);

②在AA5C中，若“=90’,則|四|+|陽|=|加||，

③在2L4BC中，+g卻鄧卻，

其中真命題的個數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

7.(04年廣東卷)如右下圖，定圓半徑為。，圓心為0，c),則直線ax+打+c=°與直

線x-y+l=0的交點在

(A)第四象限(B)第三象限(C)第二象限(D)第一

象限

8.【來源】2012年高考真題——理科數(shù)學(xué)(天津卷)

設(shè)若直線(/+l)x+(〃+l)y-2=0與圓(x—l)2+(y—l)2=1相切，則m+n

的取值范圍是

(A)[1-73,1+73](B)(-oo,l-a31+6,+8)

(C)[2-272,2+272](D)(^?,2-2V2]u[2+2V2,+oo)

9.【來源】2012年高考真題一一理科數(shù)學(xué)(陜西卷)

己知圓C/+V-4x=0,/過點尸(3,0)的直線，則()

A.1與C相交B./與0相切C.1與C相離D.以上三個選項均有可

能

二、填空題

10?【來源】2019年高考真題一一數(shù)學(xué)（浙江卷）

己知圓C的圓心坐標(biāo)是（0,而，半徑長是工若直線2x-y+3=O與圓C相切于點

A（-2,-l）,則m=____,r=.

11?【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷I）

曲線y=3（i+x）eK在點@0）處的切線方程為.

12.【來源】2019年高考真題一一數(shù)學(xué)（江蘇卷）

在平面直角坐標(biāo)系刀行中，點/在曲線_y=lnx上，且該曲線在點/處的切線經(jīng)過點（-e,-

l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點/的坐標(biāo)是一.

13.【來源】2019年高考真題一一數(shù)學(xué)（江蘇卷）

4

在平面直角坐標(biāo)系x0中，。是曲線y=x+—（x>0）上的一個動點，則點2到直線A+片0

x

的距離的最小值是.

14.【來源】2018年高考真題一一數(shù)學(xué)理（全國卷III）

曲線尸（a戶De*在點（0,1）處的切線的斜率為一2,則爐.

15?【來源】2018年高考真題一一數(shù)學(xué)（江蘇卷）

在平面直角坐標(biāo)系"S'中，/為直線/：>=2x上在第一象限內(nèi)的點，8（5,0）,以is為直徑

的圓。與直線/交于另一點〃若AB-C￡>=（）,則點4的橫坐標(biāo)為▲.

16?【來源】2011年高考試題數(shù)學(xué)（江蘇卷）

在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)/》的圖象交于P、Q兩

點，則線段PQ長的最小值是

17.【來源】2011年高考試題數(shù)學(xué)（江蘇卷）

2

A={（x,y）|￡《（x—2）2+/<m,x,y&R}

設(shè)集合2,

B=[(x,y)\2m<x+y<2fn+l,x,y^R｝若Acb￥。，則實數(shù)m的取值范圍是

18?【來源】2012年高考真題一一數(shù)學(xué)（江蘇卷）

（5分）在平面直角坐標(biāo)系'/中，圓C的方程為8x+15=°,若直線

y=kx-2

上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是

▲.

19?【來源】2012年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（上海卷）

若〃=（一2,1）是直線/的一個法向量，則/的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函

數(shù)值表示）。

三、解答題

20?【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（北京卷）

已知函數(shù)/（x）=-x3-X2+X.

4

（I）求曲線y=f（x）的斜率為1的切線方程；

（II）當(dāng)xe[-2,4]時，求證：x-6<f（x）<x；

（III）設(shè)尸（x）="（x）—（x+a）|（aeR）,記尸（x）在區(qū)間[—2,4]上的最大值為“（a）,

當(dāng)"（a）最小時，求a的值.

21?【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷H）

（12分）

V*_1_1

己知函數(shù)---.

x-1

（1）討論/Xx）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個零點；

（2）設(shè)施是/■（■￥）的一個零點，證明曲線片Inx在點力（即，In刖）處的切線也是曲線

y=e、的切線.

22?【來源】2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（北京卷）

（本小題13分）

設(shè)函數(shù)f（x）=[or2-（4a+l）x+4a+3]eA.

（I）若曲線f（x）在點（1,/⑴）處的切線與天軸平行，求a；

（11）若/（X）在產(chǎn)2處取得極小值，求a的取值范圍.

23.【來源】2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（天津卷）

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)/（幻=優(yōu)，g（x）=l°g"x,其中a>i.

（I）求函數(shù)〃（%）=/（x）_xlna的單調(diào)區(qū)間;

（II）若曲線曠=/（"）在點（%，/（%））處的切線與曲線>在點02，g（X2））處的切

/、2InIna

%+g(%)=一—:-----

線平行，證明Ina

（III）證明當(dāng)aNee時，存在直線1,使，是曲線y=/（x）的切線，也是曲線y=g（x）

的切線.

24.【來源】2018年高考真題一一理科數(shù)學(xué)（全國卷II）

（12分）

設(shè)拋物線C-.，=4x的焦點為F,過Q且斜率為瓜4>0）的直線/與C交于兒6兩點，

\AB\=8.

（1）求/的方程；

（2）求過點46且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

25.【來源】

（2009江西卷文）（本小題滿分14分）

2

如圖，已知圓G:（x—2y+y2=/是橢圓上+y2=1的內(nèi)接△A3。的內(nèi)切圓，其中4

16

為橢圓的左頂點.

（1）求圓G的半徑r;

（2）過點M（0』）作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,

證明：直線EF與圓G相切.

26.【來源】2011年高考數(shù)學(xué)理（廣東）

設(shè)圓C與兩圓（戶石）2+；/=4,（x—?）2+:/=4中的一個內(nèi)切，另一個外切.

（1）求C的圓心軌跡L的方程.

M苧等,F/0),

且P為L上動點，求W*閉

（2）已知點的最大值及

此時點P的坐標(biāo).

27.（07年遼寧卷）（14分）

已知正三角形ER的三個頂點都在拋物線J=2x上，其中。為坐標(biāo)原點，設(shè)圓C是

△。月夕的內(nèi)接圓（點C為圓心）

（I）求圓C的方程；

（II）設(shè)圓"的方程為（x_4_7cos?2+j_7sin?2=i,過圓M上任意一點尸分別

作圓C的兩條切線尸EPF,切點為區(qū)F,求無■麗的最大值和最小值.

28.（06年遼寧卷）（14分）

已知點上（再，必），8（孫乃）"述200）是拋物線=2px（p>0）上的兩個動點，。是坐

標(biāo)原點，向量而無滿足|》+。8|=|。+。圻，設(shè)圓C的方程為

/+J_（再+X3）X-01+^2）^=0

（1）證明線段28是圓C的直徑；

26

（2）當(dāng)圓C的圓心到直線入一2丁=°的距離的最小值為5時，求。的值.

29.

（03年上海卷）（14分）

在以。為原點的直角坐標(biāo)系中，點A（4,—3）為aOAB的直角頂點.已知|AB|=2|0A|,且

點B的縱坐標(biāo)大于零.

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）求圓/一6x+_/+2y=°關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；

（3）是否存在實數(shù)a,使拋物線y=a--1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不

存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

30.（05年廣東卷）（14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形/8S的長為2,寬為1,幺。邊分別在X軸、V

軸的正半軸上，工點與坐標(biāo)原點重合（如圖5所示）.將矩形折疊，使上點落在線段

DC

（I）若折痕所在直線的斜率為止，試寫出折痕所在直線的方程；

（II）求折痕的長的最大值.

試卷答案

1.

A

..\PQ\=\OF|=c,ZPOQ=90

?9??

222

人又|OPHOQI=a，??.?+?=c

2.

D

1

a=——

今/(幻=。/+xlnx,則/'(x)+lnx+l,尸(l)=ae+l=2,得e

f(V)=ae=2+bf可得6=-1.故選D.

3.

?.?直線x+y-2-0分別與軸，軸交于，兩點

--..A(-2.0)j5(0.-2),則AB2、5

?.?點P在圓(x-2)2+y2-2上

二圓心為(2,0),則圓心到直線距離42'72

故點P到直線x->-2=0的距離的范圍為3.3向

則SAABP；AB!d;v/2d,€[2.6]

故答案選A.

4.

C

分析：P為單位圓上一點，而直線xmy-2=0過點A(2,0),則根據(jù)幾何意義得d的最

大值為0A+1.

詳解：cos：0-sin：91.???P為單位圓上一點，而直線*-my20過點A(2,0),所

以d的最大值為OA+1=2+1=3,選C.

5.答案：B

解析：圓一+丁2-4工-4丁一1°=°整理為5-2）2+（>-2）2=（3應(yīng)）2,...圓心坐標(biāo)為

（2,2）,半徑為3五，要求圓上至少有三個不同的點到直線‘：”+切=°的距離為

2也,則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于五，

應(yīng)A2+<）+l<0-2-V3<A<-2+V3

:.7a+b,：,bb,b,

尢=-（3[——]

b,：,2-看<k<2+J5,直線，的傾斜角的取值范圍是正'12,選B.

6.答案：B

解析：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點內(nèi)孫/）乃（*2，必!），定義它們之間的一種“距

離”：I四||二同一句+[一>4①若點，在線段AB上，設(shè)C點坐標(biāo)為（x。，y°）,x。在

X1、

X2之間,yo在yi、y2之間，

則MC|+||C即=1%-演|+|益-必|+|勺-*+|當(dāng)-/1」々-再I+L-乃|=||幽|.

③在&4BC中，

卜。|+歸抑=|%-再|(zhì)+|%-必|+出-*+|1y2-％1>

|（X。-再）+（與-通）|+1仇一珀+以一九）I

小2f|+Lf|=|⑷||,.?.命題①③成立,而命題②在AA5C中,若“=90°,則

Mi+花圳=|網(wǎng)?；明顯不成立，選民

7.答案：B

8.D

圓心為（U）,半徑為1.直線與圓相切，所以圓心到直線的距離滿足

1（〃?+1）+（〃+1）-2|

---■=11//〃Z十〃、2

r,2,/77^2m+n+l=mn<（-----）

+1X+（〃+D，即2,設(shè)m^n=z,即

12

4°,解得ZK2—2A/5,或ZN2+2A/5,

9.A.

圓的方程可化為（x-2）2+V=4,易知圓心為（2,0）半徑為2,圓心到點p的距離為1,

所以點P在圓內(nèi).所以直線與圓相交.故選A.

10.

m--2r=后

【分析】

本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線AC的斜率，進(jìn)一步得到

其方程，將（0,〃2）代入后求得計算得解.

【詳解】可知Kc=—；nAC:y+l=—；（x+2）,把（0〃：代入得加=一2,此時

r^\AC\—\/4+1

【點睛】：解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)

用圓的幾何性質(zhì).

11.

片3x

：/=3（2x+l）e'+3（x2+x）ex=3（x2+3x+l）ex,

...結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點（0,0）處的切線方程的斜率k=3,

切線方程為y=3x.

12.

（e,1）

【分析】

設(shè)出切點坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點A（事,y（））,則為=lnx（）.又■/=，,

x

,1

當(dāng)x=x（）時，y=—,

xo

1,、

點/在曲線y=inx上切線為y—%=一（X—%），

%

即＞一垢蒞=----1,

%

代入點（一4一1）,得TTn/=，-l,

即與In/=e,

考查函數(shù)"(x)=xlnx,當(dāng)xe(數(shù)1)時,H(x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時，H(x)>0,

且H'(x)=lnx+1,當(dāng)x〉l時，“'(x)>O,H(x)單調(diào)遞增，

注意到"(e)=e,故/In%=e存在唯一的實數(shù)根拓=e，此時為=1,

故點A的坐標(biāo)為A(e,l).

【點睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定

是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共

點.

13.

4

【分析】

將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標(biāo)可得最小距離

【詳解】當(dāng)直線咚平移到與曲線y=x+9相切位置時，切點0即為點尸到直線陣的

距離最小.

由y'=]—r=-L得x=0(—a舍)，y=3叵,

即切點。(夜,3五)，

.2IV2+3V2I

則切點0到直線空-的距離為?,」=4，

產(chǎn)VF7F

故答案為：4.

【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素

養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

14.

-3

y=ae、+(ax+l)cx

則f'(0)=a+1-2

所以a-3

15.

3

分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積

求結(jié)果.

a+5

詳解:設(shè)A(a,2aXa,()),則由圓心C為AB中點得c(——.a),易得

2

0C:(x-5Xx-a)+y(y-2a)=0,與y=2x聯(lián)立解得點〃的橫坐標(biāo)x。-1所以D(1.2).所以

--a+5

AB-(5-a,-2a),CD-(l-------,2-a)，

a?5,

由AB,CD-0得(5-aXl-------)+(-2aX2-a)-O,az-2a-3-O3-3或a=-1.

因為a>0,所以a=3.

16.4

本題考查了兩曲線交點坐標(biāo)的求解、兩點間距離公式，考查了學(xué)生的計算能力，難度中等.

2

_./（X）

設(shè)過坐標(biāo)原點的一條直線方程為依，因為與函數(shù)x的圖象交于P、Q兩點,

P

所以女>°,且聯(lián)列解得，所以

[—,2+V2J

17.2

本題是在集合與解析幾何的交匯處命題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離等

知識，考查了學(xué)生綜合解決問題的能力，難度較大。.

<JYTtn<2—

因為所以即2一，解得一?一2,且點（2,0）到直

|2-2/n|

線x+y=2機(jī)或x+y=2機(jī)+1的距離小于等于同，即、歷或

號二%同”&2+近加《0或〃壯工

,2，解得2，與2取交集得實數(shù)m的取值

-,2+72

范圍是L2

4

18.3o

【考點】圓與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離

：圓（：的方程可化為：（“一4）2+產(chǎn)=1,.?.圓（；的圓心為（4，°）,半徑為1。

...由題意，直線y=丘一2上至少存在一點A(X0,5一2),以該點為圓心，1為半

徑的圓與圓c有

公共點；

存在X。eR,使得AC<1+1成立，即4cmMW2。

陽-Z|4"2|"

AJn即為點C到直線y=&x-2的距離護(hù)不，：.&+1,解得

4

0<A:<-

3O

4

的最大值是

19arctan2

設(shè)傾斜角為二，由題意可知，直線的一個方向向量為(1,2),則tana=2,

.?.a-arctan2o

20.

(I)x-y=0和27x-27y-64=0.

(ID見解析；

(III)a=—3.

【分析】

(I)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點坐標(biāo)即可確定切

線方程；

(II)由題意分別證得/(x)-(x-6)20和/(x)-x<。即可證得題中的結(jié)論；

(III)由題意結(jié)合(II)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.

338

【詳解】(I)r(x)=—/-2x+l,令r(x)=—V-2x+l=l得x=0或者x=—.

443

當(dāng)x=0時，/(0)=0,此時切線方程為丫=了，即九一丁=0；

當(dāng)x=:時，/(|)=(，此時切線方程為y=x—|^，即27x—27y—64=0；

綜上可得所求切線方程為％—y=0和27x—27y-64=0.

133

(II)設(shè)g(x)=/(x)-x=—/-f,g'(x)=-x2-2x,令g'(x)=—/-2%=0得

444

x=0或者x=|,所以當(dāng)xe[-2,0]時，g'(x)20,g(x)為增函數(shù)；當(dāng)xe(0,|)時，

Q

g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)；當(dāng)xe[§,4]時，g'(x)20,g(x)為增函數(shù);

而g(0)=g(4)=0,所以g(x)40,即/(x)Wx；

同理令/i(x)=/(x)-％+6=!/一1+6,可求其最小值為〃(—2)=0,所以丸(x)20,

4

即/(x)2x-6,綜上可得x-6K/(x)Kx.

(Ill)由(II)知一6</(x)—x<0,

所以M(a)是回,卜+6］中的較大者,

若時2卜+6|,即aW-3時，M(a)-\a\--a>3；

若同<|a+6],即。>一3時，M(a)=|a+6|=a+6>3；

所以當(dāng)“⑷最小時，M(a)=3,才-3.

【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法,

分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

21.

解：(1)F(x)的定義域為(0,1)U(1,+8),

12

因為廣。)=盤+(.])2>0,所以/?(?在(0,1),(1,+8)單調(diào)遞增.

因為/Xe)=1———<0,/伯2)=2—=

e-1e2-le2-l

所以F(x)在(1,+8)有唯一零點汨，即f(小)=0.

又0J<1,/(上)=_lnx+五|=_/(%)=0,

jq玉玉一1

1

故/'(x)在(0,1)有唯一零點一.

玉

綜上，f(x)有且僅有兩個零點.

(2)因為」-=eT"”,故點6(-lnx。，-)在曲線尸e'上.

/%

,瑪+1

由題設(shè)知/(玉))=0,即1!!/=「■,

%oT

1%+1

--lnx0

小%)一11

故直線46的斜率女=

Tn/-//

%-1°

曲線尸e'在點6(—Inx0,—)處切線的斜率是—,曲線y=Inx在點4(朝，Inx0)處切線的

X。X。

1

斜率也是一，

%

所以曲線y=lnx在點A(x°,lnxo)處的切線也是曲線尸e『的切線.

22.

解：(I)因為f(x)=[ox2-(4〃+l)x+4a+3]e",

所以F/(x)={2ax-(4^-1)]e*+lax-(4K1)/3]eA(%￡/?)

=\_ax-(25+1)x+2]e\

f'(1)=(1-a)e.

由題設(shè)知f'(1)=0,即(l-a)e=0,解得a=l.

此時f(1)=3eW0.

所以a的值為1.

(H)由(I)得F'(x)=[a*-(2a+l)A+2]ex=(ax-1)(x-2)e".

若a〉5，則當(dāng)xe(L,2)0寸，f'UXO；

當(dāng)xd(2,+8)時，f'(力>0.

所以7?(x)<0在卡2處取得極小值.

若aW』，則當(dāng)xW(0,2)時，x-2<0.ax-1^—x-KO,

22

所以f'(x)>0.

所以2不是f(x)的極小值點.

綜上可知，a的取值范圍是(5,+8).

23.

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和

解決問題的能力.滿分14分.

(D解.由已知，h(x)=ax-x\nah'(x)=a'Ina-Ina

令"(x)=°,解得產(chǎn)o.

由a>l,可知當(dāng)x變化時，"(X),〃(x)的變化情況如下表：

X(-8,0)0(0,+8)

h'(x)—0+

h(x)極小值

所以函數(shù)〃（X）的單調(diào)遞減區(qū)間（一8,0）,單調(diào)遞增區(qū)間為（°，+8）.

（H）證明：由r（x）=a'lna,可得曲線在點區(qū)，/（%））處的切線斜率為

aX{Ina

g，（x）=----

由x\na,可得曲線丁=8（外在點（工2,8（%2））處的切線斜率為/111。.

。再In。=------

Xl2

因為這兩條切線平行，故有“2In”即x2a(Ina)=1

2InIn（2

兩邊取以a為底的對數(shù)，得bg“W+石+21og21na=0,所以改+且“Ina

（IH）證明：曲線,=/（幻在點處的切線小y—a'=a'Tna＜x-X］）

—:—?(X-12)

y-logdx2

曲線y=g（x）在點（z，k）g"馬）處的切線；2：x2Ina

I

要證明當(dāng)aNee時，存在直線1,使/是曲線y=/（x）的切線，也是曲線y=g（x）的切

2

線，只需證明當(dāng)々Ze。時，存在%￡（＜°，斗8）,馬￡（0,+8）,使得人和人重合.

aX]Ina=————①

x2\na

1XiXx

a-xxaIna=10gqx2———②

即只需證明當(dāng)aNe。時，方程組'Ina有解,

X?——-X|（71InQ+玉d-----1--------0

由①得"'v（Ina廣，代入②，得InaIna.③

I

因此，只需證明當(dāng)aNee時，關(guān)于生的方程③有實數(shù)解.

/、rXI12InIn6（I

u（x）=a-xalna+x+---+--------_/、

設(shè)函數(shù)EaIna,即要證明當(dāng)aNe。時，函數(shù)〉="（》）存

在零點.

u'（x）=l-（\na）2xax,可知xe（-co,0〕時，/（無）＞（）；xe（0,+oo）時，/（無）單調(diào)遞

減，又

]

1

u=1-4標(biāo)<0

/(0)=1>0(Ina)2

,故存在唯一的Ab，且Ab>0,使得

〃（工0A1即

1一(1110)2獷"=0

由此可得"（無）在（一2天）上單調(diào)遞增，在（與，*8）上單調(diào)遞減."（X）在*處取得極

大值"（/）.

因為aNee,故ln（lna）?_l,

所以

21nhia121nlna、2+21nlna八

A()

W(XQ)=a'"_XQCIIn6/+H-----F------7+/+>---------->0

\naIna九o(lna)~\na\na

下面證明存在實數(shù)t,使得

由(I)可得/Nl+xlna,

1

x>---

當(dāng)Ea時，

有

/11x12InIn(2八、1121nlna

w(x)<(14-xlna)(l-x\na)+x+——+------=-(lna)2x2+x+l+——+-------

InaInaInaIna

所以存在實數(shù)t,使得〃(好<°

I

因此，當(dāng)aNe。時，存在芭G(YO,+OO),使得“(％)=0.

所以，當(dāng)aNee時，存在直線/,使/是曲線y=/(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

24.

解：⑴由題意得尸(L°),/的方程為"k(xT)依>0)

設(shè)45，%),8(%,%),

y=k(x-l),

<

由y=4x得k-W—(2K+4)x+K=0

_2^+4

△=16公+16>0,故X+“2=公

4^2?4

IAB|=|^|+|5^|=(^+1)+(%+1)=—

所以2k'.

竺衛(wèi)=8

由題設(shè)知k，,解得女=一1(舍去)，k=l

因此/的方程為丁=”一1.

(2)由(1)得46的中點坐標(biāo)為(3,2),所以46的垂直平分線方程為丁一2=-(*-3),

即y=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(/，為),則

%=-*0+5，

3=7+'得"‘』—

因此所求圓的方程為(x-3f+(y-2)2=16或(11)2+“+6)2=144

25.解析：(1)設(shè)B(2+廠,為)，過圓心G作GO,AB于。，8C交長軸于，

由以=也得一=上，

AOAH，36-06+r

77rtD但iI21(2+r)~12—4r—r~(r—2)(r+6)

而點8(2+匕％)在橢圓上，%=1------------=---------------=-------------------⑵

161616

由⑴、(2)式得15r+8r-12=0,解得r=2或/■=—￡(舍去)

35

o14

(2)設(shè)過點M(0/)與圓(x—2)2+y2=§相切的直線方程為：y—1=日⑶

則1=嚴(yán)+U,即32k2+36攵+5=0(4)

3VI7F

版句-9+V41.-9-V41

解得k、=---,k,=---

16-16

y32我

將⑶代入二+V=1得(16公+1)Y+32日=0,則異于零的解為x=-一一一

1616/+1

L/7hL,,八,i32勺

或,rL網(wǎng)不3,+l),E?&W+l),則m％=-叼,々=一直32k有,

則直線短的斜率為：小■=含最4

32婷.3.32kl、

于是直線FE的方程為：y+

16婷+1416K2+1

37

即y--X——

-43

3_1

232

則圓心(2,0)到直線FE的距離d=隼旦=—

曰3

V16

故結(jié)論成立.

26.(1)解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為(用丁)，由題設(shè)條件知

I\l(x+yj5)~+y2-?x-布y+丁|=4,

%22.

----y=1?

化簡得L的方程為4

(2)解：過M,F的直線/方程為y=-2(x—6),將其代入L的方程得

15X2-32A/5X+84=0.

玉=坐,x,=￥，故/與L交點為7；(華，-￥),與(噌，一

解得5'1555'15

因「在線段MF外，”在線段MF內(nèi)，故R町I也lRME|=2，

\\MT2\-\FT2若p不在直線MF上，在AMFP中有

||MP|-|FP||<|MF|=2.

故11AzpIT尸產(chǎn)U只在『點取得最大值2。

27.本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識，考查綜合運(yùn)用解

析幾何知識解決問題的能力.

解析：（I）解法一：設(shè)AB兩點坐標(biāo)分別為1乙九I"1A由題設(shè)知

解得義=府=12,

所以改6,20），8（6,—2，5）或/（6,-2，5）,8（6,2誨

2「“

設(shè)圓心c的坐標(biāo)為S，0）,則一3一，所以圓c的方程為

（“4）2+/=16

解法二：設(shè)兒5兩點坐標(biāo)分別為（孫乃），（馬為），由題設(shè)知

4+火=君+只.

又因為、；=2均，近=2%可得入；+2再=X：+2工2.即

（應(yīng)一工2）（再+勺+2）=0

由々＞°,弓＞0,可知五二馬，故A8兩點關(guān)于X軸對稱，所以圓心C在X軸上.

—r,—r——r=2x—r

設(shè)c點的坐標(biāo)為50）,則工點坐標(biāo)為122）,于是有（2）2,解得

r=4,所以圓C的方程為（X-4）2+J=16.

（II）設(shè)NEW=2。，則

CE-CF=|CE|＜|CF卜cos2a=16cos2a=32cos2a-16

x4

cosa=----=-----

在RtZkFCE中，匹II產(chǎn)C|,由圓的幾何性質(zhì)得

|PC|<|MC|+1=7+1=8>|PC|>|MC|-1=7-1=6T

cosa《—

所以23,由此可得

-8<CS.CF<--

9.

_16

則無,方的最大值為~9,最小值為-8.

28.解析：⑴證法--W+舛煙一剪

?.停+西2=/_珂，

即就+2至5市+市2=O^-2OAOB+OS1,

整理得0403=0.

；々馬+丁仍=0.........................................12分

設(shè)點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則也4朋3=0.

即*_々）（\_工2）+3_珀（＞一乃）=0?

展開上式并將①代入得一+/一（々+町勿_5+為）y=0.

故線段48是圓C的直徑。

證法二：寸刀+31=15一11，

（jOA+OB）2=（jOA-OB）2,

叩曲+2?方+/=/-201-08+03^,

整理得OAOB=0

:百對+丁必=0①……3分

若點（XJ）在以線段43為直徑的圓上，則X-XiX—X?

去分母得*一再）。_巧）+3_/）＜＞一當(dāng)）=0

點（不，必），（々J2），（今，必），（叼，乃）滿足上方程,展開并將①代入得

/+y2_（毛+/）X-（必+^2）丁=0

所以線段上8是圓c的直徑.

證法三：

..向+/=肉一詞

；.（與+麗2=（OA-OBy,

^）0^+2OAOB+'O^=O^-2OAOB+O^,

整理得。403=0

：*2+乃乃=0

“(x—^^y+O—^^)2=%(XI-X2)2+3「%)2]

以為直徑的圓的方程是22'4125”」

展開，并將①代入得/+/一(再+X?)x-31+乃?=0

所以線段是圓C的直徑.

工_演+x、

2

y=211^

(H)解法一：設(shè)圓C的圓心為C(x，y),則2

XX-"2

,?10；=2Px1，*=2P外（P>0）,124/

又???西馬+丁仍=0,

??工1工2二一切乃，

22

一"=答4P2

;再演H°，尤乃。。，

y仍=-4/

24p

=48；+￡+2'必)-

4P2p

=-(y2+2p2)

P

所以圓心的軌跡方程為：丁=Px-2P2

設(shè)圓心C到直線入一27=°的距離為d,則

八空

有

\-(y2+2p2)-2y\

_P

_I。-PP+PI

石p

99_24

當(dāng)y=P時，d有最小值、5,由題設(shè)得.?.55

,■.P=2……14分

解法二：設(shè)圓。的圓心為C（x，?）,則

\._X1+X2

<2

>=必+為

■20?

???W=2pxlry^=2Px.p>0）

22

xx一"

1

又?.?再今+^仍=°，

=一丁仍，

???x/2R0…V必=一4".......9分

..工_內(nèi)+向

--2

=j-Oi2*W)

4P

=+乃2+2%乃)一

4。2P

=工4+2/)

P

所以圓心得軌跡方程為/=px_2P2.......11分

2.

++設(shè)直線工一2丁+溶=°與二一2?=0的距離為5，則肉=±2

因為x_2y+2=0與1/=px—2/無公共點

所以當(dāng)芯—2丁+2=0與^=_?工_2/僅有一個公共點時，該點到為一27=0的距離最

述

小，最小值為5

x-2y-2=0,

"y2=px-2p2.

將②代