工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)第四版

工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)第四版REPORTING目錄緒論復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)解析函數(shù)與初等函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分泰勒級(jí)數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)與孤立奇點(diǎn)留數(shù)定理及其應(yīng)用PART01緒論REPORTING復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示研究復(fù)平面上的點(diǎn)、向量與復(fù)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何和三角表示方法。復(fù)變函數(shù)的定義與性質(zhì)探討復(fù)變函數(shù)的定義域、值域、連續(xù)性、可微性和可積性等基本性質(zhì)。復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)研究復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的極限行為，以及復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性概念。復(fù)變函數(shù)的研究對(duì)象030201123介紹歐拉、達(dá)朗貝爾等數(shù)學(xué)家在復(fù)變函數(shù)理論建立過程中的貢獻(xiàn)。早期復(fù)變函數(shù)理論的建立闡述柯西及其學(xué)派在復(fù)變函數(shù)理論方面的研究成果，如柯西積分公式、柯西-黎曼方程等。柯西學(xué)派的興起介紹魏爾斯特拉斯對(duì)復(fù)變函數(shù)理論的嚴(yán)格化處理，包括復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)表示、一致收斂性等。魏爾斯特拉斯的嚴(yán)格化復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史闡述復(fù)變函數(shù)在交流電路分析、電磁場(chǎng)理論等方面的應(yīng)用，如復(fù)數(shù)阻抗、復(fù)數(shù)功率等概念。電工學(xué)中的應(yīng)用流體力學(xué)中的應(yīng)用彈性力學(xué)中的應(yīng)用其他工程領(lǐng)域的應(yīng)用介紹復(fù)變函數(shù)在流體力學(xué)中的應(yīng)用，如通過保角變換求解平面勢(shì)流問題。探討復(fù)變函數(shù)在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，如利用復(fù)變函數(shù)方法求解平面彈性問題。概述復(fù)變函數(shù)在其他工程領(lǐng)域的應(yīng)用，如控制工程中的傳遞函數(shù)、信號(hào)處理中的傅里葉分析等。復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用PART02復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)REPORTING復(fù)數(shù)及其運(yùn)算形如$z=a+bi$（$a,binmathbb{R}$）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中$a$是實(shí)部，$b$是虛部，$i$是虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，運(yùn)算規(guī)則與實(shí)數(shù)類似，但需要注意虛數(shù)單位的特殊性。共軛復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)$z=a+bi$，則其共軛復(fù)數(shù)為$overline{z}=a-bi$。共軛復(fù)數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如$|z|^2=zcdotoverline{z}$。復(fù)數(shù)的定義復(fù)平面與復(fù)球面復(fù)平面以實(shí)軸和虛軸為坐標(biāo)軸的平面稱為復(fù)平面，復(fù)平面上的點(diǎn)可以表示復(fù)數(shù)。復(fù)球面在復(fù)平面上添加一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并將該點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)通過球面映射關(guān)聯(lián)起來，形成的球面稱為復(fù)球面。復(fù)球面是復(fù)數(shù)域的緊化，具有一些重要的性質(zhì)和應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)$Dsubseteqmathbb{C}$是一個(gè)復(fù)數(shù)域的子集，若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則$f$，使得對(duì)于$D$中的每一個(gè)復(fù)數(shù)$z$，都有唯一的復(fù)數(shù)$w=f(z)$與之對(duì)應(yīng)，則稱$f$為定義在$D$上的復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)包括解析性、可微性、可積性等。其中解析性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)；可微性是指函數(shù)在某一點(diǎn)處的微分存在；可積性是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分存在。復(fù)變函數(shù)的定義與性質(zhì)設(shè)$f(z)$是定義在復(fù)數(shù)域子集$D$上的復(fù)變函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|z-z_0|<delta$時(shí)（$z_0inD$），有$|f(z)-A|<epsilon$成立，則稱當(dāng)$ztoz_0$時(shí)，函數(shù)$f(z)$的極限為$A$。復(fù)變函數(shù)的極限若函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)。若函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱該函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性PART03解析函數(shù)與初等函數(shù)REPORTING在復(fù)平面上某區(qū)域內(nèi)可微的函數(shù)。解析函數(shù)的定義滿足柯西-黎曼條件，實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)，具有各階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。解析函數(shù)的性質(zhì)在某區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)或在該區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼條件。解析函數(shù)的等價(jià)條件解析函數(shù)的概念與性質(zhì)初等解析函數(shù)三角函數(shù)如sinz,cosz等，可通過歐拉公式與指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)。指數(shù)函數(shù)形如f(z)=e^z的函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。多項(xiàng)式函數(shù)形如f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0的函數(shù)，其中a_n,...,a_0為復(fù)數(shù)常數(shù)，n為非負(fù)整數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)形如f(z)=log_bz的函數(shù)，其中b為大于1的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。冪函數(shù)形如f(z)=z^a的函數(shù)，其中a為復(fù)數(shù)常數(shù)。解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開若f(z)在點(diǎn)z_0處解析，則存在唯一的冪級(jí)數(shù)∑_{n=0}^∞a_n(z-z_0)^n，使得在z_0的某鄰域內(nèi)f(z)與該冪級(jí)數(shù)相等。冪級(jí)數(shù)的收斂性通過比較判別法、比值判別法等方法判斷冪級(jí)數(shù)的收斂性。冪級(jí)數(shù)的定義形如∑_{n=0}^∞a_n(z-z_0)^n的級(jí)數(shù)，其中a_n為復(fù)數(shù)常數(shù)，z_0為給定的復(fù)數(shù)點(diǎn)。解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示柯西積分公式若f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析，則對(duì)于C內(nèi)部的任意點(diǎn)z，有f(z)=(1/2πi)∮_Cf(ζ)/(ζ-z)dζ，其中ζ為積分變量。莫雷拉定理若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且對(duì)于D內(nèi)任意簡單閉曲線C，有∮_Cf(z)dz=0，則f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)F(z)，使得F'(z)=f(z)。解析函數(shù)的積分表示的應(yīng)用通過柯西積分公式和莫雷拉定理，可將解析函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為曲線積分的計(jì)算。010203解析函數(shù)的積分表示PART04復(fù)變函數(shù)的積分REPORTING復(fù)積分的定義設(shè)函數(shù)$f(z)$在復(fù)平面上的有向曲線$C$上有定義，將曲線$C$任意分割為$n$個(gè)小弧段$Deltaz_k$，在每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)$z_k$，作和式$sum_{k=1}^{n}f(z_k)Deltaz_k$。當(dāng)弧段的最大長度趨于零時(shí)，若該和式極限存在且與分割和點(diǎn)的選取無關(guān)，則稱該極限為函數(shù)$f(z)$沿曲線$C$的積分，記為$int_{C}f(z)dz$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、積分中值定理等性質(zhì)。復(fù)積分的概念與性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)$f(z)$在單連通域$D$內(nèi)解析，在$overline{D}$上連續(xù)，則對(duì)于$D$內(nèi)任意一點(diǎn)$z$，有$f(z)=frac{1}{2pii}int_{partialD}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta$，其中$partialD$表示域$D$的邊界。柯西型積分形如$int_{partialD}frac{f(zeta)}{zeta-z}dzeta$的積分稱為柯西型積分。柯西型積分在復(fù)變函數(shù)論中占有重要地位，是解決許多問題的有力工具?？挛鞣e分公式柯西積分公式與柯西型積分解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)若函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，則其實(shí)部$u(x,y)$和虛部$v(x,y)$都是$D$內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)的共軛函數(shù)對(duì)于區(qū)域$D$內(nèi)的調(diào)和函數(shù)$u(x,y)$，總可以找到一個(gè)調(diào)和函數(shù)$v(x,y)$，使得函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$D$內(nèi)解析。此時(shí)稱$v(x,y)$為$u(x,y)$的共軛調(diào)和函數(shù)。解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，在$overline{D}$上連續(xù)，則對(duì)于$partialD$上任意一點(diǎn)$zeta_0$，存在極限$lim_{ztozeta_0}f(z)=f(zeta_0)$，稱該極限為函數(shù)在邊界點(diǎn)$zeta_0$處的邊界值。若函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且不是常數(shù)函數(shù)，則在$overline{D}$上不能達(dá)到其最大值。這一原理也稱為解析函數(shù)的最大值不在邊界上達(dá)到定理。解析函數(shù)的邊界值解析函數(shù)的最大模原理解析函數(shù)的邊界性質(zhì)PART05泰勒級(jí)數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)與孤立奇點(diǎn)REPORTING泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開，其系數(shù)由函數(shù)在該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)確定。泰勒級(jí)數(shù)具有唯一性，且在一定條件下收斂于原函數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)在復(fù)平面上以某一點(diǎn)為中心的冪級(jí)數(shù)展開，其系數(shù)由函數(shù)在該點(diǎn)附近的各階導(dǎo)數(shù)確定。洛朗級(jí)數(shù)在復(fù)平面上具有局部性質(zhì)，即不同區(qū)域的洛朗級(jí)數(shù)展開可能不同。性質(zhì)比較泰勒級(jí)數(shù)是洛朗級(jí)數(shù)在實(shí)軸上的特例，兩者在收斂域內(nèi)具有相同的性質(zhì)，如可逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微分等。但在復(fù)平面上，洛朗級(jí)數(shù)的收斂域可能更為復(fù)雜。泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)010203孤立奇點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)不解析，但在該點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都有解析點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。分類根據(jù)函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的性質(zhì)，可分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)三類。其中，可去奇點(diǎn)可通過重新定義函數(shù)值而消除；極點(diǎn)處的函數(shù)值趨于無窮；本性奇點(diǎn)處的函數(shù)行為最為復(fù)雜，無法用簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述。判定方法通過觀察函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì)，如極限行為、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等，可以判斷奇點(diǎn)的類型。孤立奇點(diǎn)的分類與判定函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)都是函數(shù)的特殊點(diǎn)，它們與函數(shù)的解析性質(zhì)密切相關(guān)。在復(fù)變函數(shù)中，零點(diǎn)與極點(diǎn)的存在會(huì)影響函數(shù)的整體性質(zhì)，如收斂性、周期性等。關(guān)系使函數(shù)值為零的點(diǎn)。零點(diǎn)可能是函數(shù)的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)。零點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處的值趨于無窮，則該點(diǎn)為函數(shù)的極點(diǎn)。極點(diǎn)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)之一。極點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在復(fù)平面上，將無窮遠(yuǎn)視為一個(gè)特殊的點(diǎn)，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。它是復(fù)平面的一個(gè)重要組成部分，對(duì)于理解復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)具有重要意義。性質(zhì)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)具有一些獨(dú)特的性質(zhì)。例如，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處，任何有限大小的數(shù)都趨于零；無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的極限行為與其他點(diǎn)不同；此外，一些特定的函數(shù)（如多項(xiàng)式函數(shù)）在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處具有特定的性質(zhì)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)PART06留數(shù)定理及其應(yīng)用REPORTING留數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0處的洛朗級(jí)數(shù)展開，其負(fù)一次冪的系數(shù)即為f(z)在z0處的留數(shù)。留數(shù)定理若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析，除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，則f(z)沿C的積分等于2πi乘以f(z)在C內(nèi)部各奇點(diǎn)處的留數(shù)之和。留數(shù)的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、乘積性質(zhì)、冪的性質(zhì)等，這些性質(zhì)在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的留數(shù)時(shí)非常有用。留數(shù)定理的概念與性質(zhì)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分通過適當(dāng)?shù)膹?fù)變函數(shù)構(gòu)造，將實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，再利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分的值，從而得到原實(shí)積分的值。常見的實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)積分的方法有：三角函數(shù)有理式積分、指數(shù)函數(shù)有理式積分等。需要注意的是，在使用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分時(shí)，需要選擇合適的積分路徑和函數(shù)構(gòu)造方式，以確保計(jì)算的正確性和簡便性。輻角原理及其應(yīng)用若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C及其內(nèi)部解析，且f(z)在C上不為零，則f(z)沿C的輻角變化量等于2π乘以f(z)在C內(nèi)部零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差。輻角原理包括計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、判斷函數(shù)的單調(diào)性等。通過構(gòu)