高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何

第八編立體幾何

§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

自主學(xué)習(xí)

Q基礎(chǔ)自測(cè)

i.下列不正確的命題的序號(hào)是.

①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體叫棱柱

③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫極錐

④有個(gè)面是多邊形，其余各面都是有?個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的兒何體叫棱錐

答案①②③

2.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）足.

答案60°

3.如果個(gè)兒何體的三視圖如圖所示（單位長(zhǎng)度：cm）,則此兒何體的表面積是cm2.

正視圖左視圖

答案（20+442）

4.（2008?寧夏文，14）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一

個(gè)球面上，且該六棱柱的高為石，底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積為.

4

答案一乃

3

5.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么AABC的直觀圖AA'B'C'的面積為.

答案旦a

16

典例剖析

例1下列結(jié)論不正確的是（填序號(hào)）.

①各個(gè)面都是三角形的兒何體是三棱錐

②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐

④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線

答案①②③

解析①錯(cuò)誤.如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不一

是棱錐.

②錯(cuò)誤.如下圖，若AABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓

錐.

③錯(cuò)誤.若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)

棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).

④正確.

例2（14分）已知aABC的直觀圖A'B'C'是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原三角形ABC的面積.

解建立如圖所示的xOy坐標(biāo)系，AABC的頂點(diǎn)C在y軸上，AB邊在x軸上，0C為4ABC

的

高.3分

把y軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y'軸，則點(diǎn)C變?yōu)辄c(diǎn)C',且0C二20C',A、B點(diǎn)即為A，、

B'點(diǎn)，AB=A'B'.6分

已知A'B'=A'C'二a,在△0A'C’中,

0CAC

由正弦定理得9分

sinNOACsin45°

所以O(shè)C'=sin1200a=叵,

sin45°

所以原三角形ABC的高OU石a,12分

所以S.,ABC=—XaX76a=a14分

22

例3一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個(gè)三棱柱的表面積和體積.

H-Z/Tcnr

cm

正視圖左視圖

俯視圖

解由三視圖易知，該正三棱柱的形狀如圖所示:

且AA'=BB'=CC'=4cm,正三角形ABC和正三角形A'B'C的高為2Ecm.

...正三角形ABC的邊長(zhǎng)為

AB=2"一=4.

sin60"

.??該三棱柱的表面積為

S=3X4X4+2X-X42sin600=48+8VJ（cm2）.

2

體積為V=S,*?AA*l=-X42sin60°X4=16。（cm）

2

故這個(gè)三棱柱的表面積為（48+86）cm：體積為165/3cm3.

例4棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同?個(gè)球面上,若過(guò)該球球心的?個(gè)截面如圖所示,

求圖中三角形（正四面體的截面）的面積.

解如圖所示，AABE為題中的三角形，

由已知得AB=2,BE=2X3=VJ,

2

BF=^BE=￥,AF=〃S2-B尸2=,4-g=卡，

.'.△ABE的面積為

S=-XBEXAF=-XgX.-=72.

22V3

二所求的三角形的面積為拒.

----一知能遷移一…?

1.如果四棱錐的四條側(cè)極都相等，就稱它為"等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個(gè)命題中為真命題

的是（填序號(hào)）.

①等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等

②等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)

③等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

④等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面r.

答案①③④

2.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于.

答案2枝a，

3.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等

腰三角形，左視圖（或稱側(cè)視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形.（1）求該幾何體的體積V；

（2）求該幾何體的側(cè)面積S.

解（1）由該幾何體的俯視圖、正視圖、左視圖可知，該幾何體是四棱錐，且四棱錐的底

面ABCD是邊長(zhǎng)為6和8的矩形，高V0=4,0點(diǎn)是AC與BD的交點(diǎn).

.?.該幾何體的體積

V=-X8X6X4=64.

3

(2)如圖所示，側(cè)面VAB中，VE_LAB,則

VE=>IVO2+OE2=>/42+32=5

/.SAVAB=-XABXVE=-X8X5=20

22

側(cè)面VBC中，VF1BC,

貝ijVF=4Vo2+OF2=>/42+42=4后.

ASAVBC=-XBCXVF=1X6X4V2=12.72

22

???該幾何體的側(cè)面積

S=2（SAVAB+SAVBC）=40+245/2.

4.（2007?全國(guó)II文，15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在?個(gè)直徑為2cm的球面上,如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)

為1cm,那么該棱柱的表面積為cm2.

答案2+4拉

—?一活頁(yè)作業(yè)一

一、填空題

1.利用斜二測(cè)畫法可以得到：①三角形的直觀圖是三角形，②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，③正方形

的直觀圖是正方形，④菱形的直觀圖是菱形，以上正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①②

2.如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)幾何體圖形的三視圖，甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)是.

（甲）（乙）（丙）

①長(zhǎng)方體；②圓錐；③三棱錐；④圓柱.

答案④③②

3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是.

答案②④

4.用若干個(gè)大小相同，棱長(zhǎng)為1的正方體擺成一個(gè)立體模型，其三視圖如下:

正視圖左視圖俯視圖

根據(jù)三視圖回答此立體模型的體積為.

答案5

5.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—ABCD.的8個(gè)頂點(diǎn)都在球0的表面上，E、F分別是棱AA,、DD,的中點(diǎn)，則

直線EF被球0

截得的線段長(zhǎng)為.

答案V2

6.（2008?湖北理）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為開，則球的體積為.

答案警

7.用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得它的正視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體至少要個(gè)小立方塊.

最多只能用一個(gè)小立方塊.

答案914

8.如圖所示，E、F分別是正方體的面ADDA、面BCCBi的中心，則四邊形BFDE在該正方體的面上的正

投影可能是.（把可能的圖的序號(hào)都填上）

答案②③

二、解答題

9.正四棱臺(tái)AG的高是17cm,兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm,求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.

解如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是。、O.BC和BC的中點(diǎn)分別是已和E.連接。Q、EE、

0,B：、OB、O.E,OE,則四邊形OBBQ,和OEE：Q都是直角梯形.

VAiBi=4cm,AB=16cm,

.*.OiEi=2cm,OE=8cm,

OBi=2V2cm,OB=8拒cm,

???BB'OQP(OB-OB)2=361cm2,

EE'OQU（OE-O,E＞）2=325cm2,

JBiB=19cm,E!E=5y[\3cm.

答這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為5而cm.

10.圓臺(tái)的?個(gè)底面周長(zhǎng)是另個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cm；母線與釉的夾角是45。，求

這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑.

解圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺(tái)L下底面半徑分別為xcm,3xcm.延長(zhǎng)AA,交00,的延長(zhǎng)線于S,

在RtZ\SOA中，NASO=45°,

則NSAO=45°,

AS0-A0=3x,AOOi=2x,

乂S軸極面二一(6x+2x)?2x=392,/.x=7.

2

故圓臺(tái)的高。0=14(cm),

母線長(zhǎng)1=近0,0=14式(cm),

兩底面半徑分別為7cm,21cm.

IL正四楂錐的高為側(cè)棱長(zhǎng)為近，求側(cè)面上斜高（極錐側(cè)面三角形的高）為多少？

解如圖所示，正棱錐S-ABCD中高os=VL側(cè)棱SA=SB-SC=SD=V7,

在RtASOA中，

3苗2-052=2,

/.AC=4.

；.AB=BC=CD=DA=2拒.

作OE_LABVE,則E為AB中點(diǎn).

連接SE,則SE即為斜高，則SO_LOE.

在RtZ\SOE中，,.,OE=-BC=V2,SO=g,

2

SE=y[5,即側(cè)面上的斜高為45.

12.如圖所示的幾何體中，四邊形AABB是邊長(zhǎng)為3的正方形，CC,=2,CC7/AA,,這個(gè)幾何體是棱柱嗎？

若是，指出是幾棱柱.若不是棱柱，請(qǐng)你試用一個(gè)平面截去一部分，使剩余部分是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的三棱柱,

并指出截去的幾何體的特征，在立體圖中畫出截面.

解這個(gè)兒何體不是棱柱；

在四邊形ABBA中，在AA」取點(diǎn)E,使AE=2；在BB」取F使BF=2；連接CE,EF,C,F,則過(guò)CEF

的截面將兒何體分成兩部分，其中?部分是棱柱ABC—EFC,其棱長(zhǎng)為2；截去的部分是一個(gè)四棱錐C,

—EAB.F.

§8.2空間幾何體的表面積與體積

自主學(xué)習(xí)

Q基礎(chǔ)自測(cè)

1.（2008?山東）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是.

俯視圖

答案12萬(wàn)

2.如圖所示，在校長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ABCDi中，P是A：B,上一點(diǎn)，且PB,=』AB,則多面體P-BCCB

4

的體積為.

答案號(hào)

3.如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、左視圖是周長(zhǎng)為4,一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖是圓及其圓心,

那么這個(gè)幾何體的表面積為________.

俯視圖

答案n

4.已知正方體外接球的體積為等/，那么正方體的棱長(zhǎng)等于.

答案羋

3

5.(2008?福建，15)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為百，則其外接球的表面積是.

答案9萬(wàn)

6.三棱錐S-ABC中，面SAB,SBC,SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2,則

三棱錐S—ABC的表面積是.

答案3+百

典例剖析

例1如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-ABCR中,AB=a,BC=b,BBi=c,并且a>b>c>0.D(G

_弟/c

求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C的最短線路的長(zhǎng).

解將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可能，如圖所示.A胃XC

Ar------a------%

—

方

六F―BbC/aB\aBcBi

甲乙丙

三個(gè)圖形甲、乙、丙中AG的長(zhǎng)分別為：

y1(a+b)2+c2=yja2+b2+c2+2ab,

J.2+S+c)2=yla2+b2+c2+2bc,

yj(a+c)2+b2+b2+c2+2ac,

Va>b>c>0,.,.ab>ac>bc>0.

故最短線路的長(zhǎng)為＞la2^h2+c2+2hc.

例2如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,

求該幾何體的表面積（其中NBAC=30。）及其體積.

解如圖所示，過(guò)C作CO」AB丁。

在半圓中可得NBCA=90°,NBAC=30°,AB=2R,

???AC:6R,BC=R,C0,=—R,

2

***S球=47tR",

S圓錐4Q側(cè)x乎RX6R二g4R；

S網(wǎng)錐BO1側(cè)=4x一熱RxR:一熱"R'

S幾何體&=S球+S圓錐4。1側(cè)+S圓錐80］側(cè)

222

，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為匕叵乃R-.

2

41o1

乂VJ.K=—7tR,V圓錐40]=q*AOi,7tCOr=-7iR,A01

=-BO.?7TC012=—BO?71R

4

:?V兒何體=Vf.r（v圓錐4Q+v圓錐80］）

=-nR--7iR3=-期R）

326

例3如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD—A'B'C'D‘中，用截面截下一個(gè)棱錐C—A'DDf

求棱錐C—A，D＞的體積與剩余部分的體積之比.

解已知長(zhǎng)方體可以看成宜四棱柱ADD'A'—BCC'B'.

設(shè)它的底面ADD'A'面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh.

而棱錐c—A'DD'的底面面積為^S'高是h,

因此，棱錐C—A'DD'的體積

VcADD=—X—Sh=—Sh.

326

余下的體積是Sh-1Sh=-Sh.

66

所以棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比為1：5.

例4（14分）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60°,E為AB的中點(diǎn)，將4ADE與

△BEC分

別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體

解由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.

折疊后得到一個(gè)正四面體.2分

方法一作AF_L平面DEC,垂足為F,F即為ADEC的中心.

取EC的中點(diǎn)G,連接DG、AG.

過(guò)球心0作。H_L平面AEC.

則垂足H為4AEC的中心.4分

外接球半徑可利用△OHASZ\GFA求得.

在4AFG和△AHO中，根據(jù)三角形相似可知，

叵立

AH=—..,.OA=幽辿=—.10分

3AF幾4

V

二外接球體積為士房XOA；、=3?"?（=邁乃.14分

33438

方法二如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體

的外接球就是正方體的外接球.6分

??,正四面體的棱長(zhǎng)為1.

.?.正方體的棱長(zhǎng)為亞，.?.外接球直徑2R=￡?旦,10分

22

.?.R=曰，.?.體積為々T.（中［=李7.

12分

該三棱錐外接球的體積為旦加.

14分

8

----—知能遷移一

1.如圖所示，在直三棱柱ABC-ABC中，底面為直角三角形，ZACB=90°,AC=6,BC=CC,=V2.

P是BG上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA,的最小值是.

答案5拉

2.如圖所示，扇形的中心角為90。，其所在圓的半徑為R,弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部

分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V,和V?之比為.

答案1：1

3.如圖所示，三棱錐A—BCD一條側(cè)棱AD=8cm,底面一邊BC=18cm,其余四條棱的棱長(zhǎng)都是17cm,

求三棱錐A—BCD的體積.

解取BC中點(diǎn)M,連接AM、DM,

取AD的中點(diǎn)N,連接MN

VAC=AB=CD=BD.

.,.BC±AM,BC1DM,

又,.?AMCDM=M,

.?.BC_L平面ADM,BC=18,

AC=AB=DB=DC=17.

；.AM=DM=4炳，

/.NMIAD,.,.MN=8A/3.

SAADM=—,MN,AD

2

=-?8>/3?8=326.

2

VA-BCD=VBADM+VC-ADM

=-XSAADMX(BM+CM)=-X32百X18

33

=192VI(cm3).

4.如圖所示，已知正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為6a.

（1）求它的外接球的體積；

（2）求它的內(nèi)切球的表面積.

解（1）設(shè)外接球的半徑為R,球心為0,則0A=0C=0S,所以。為ASAC的外心,

即4SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

VAB=BC=a,.,.AC=V2a.

SA=SC=AC=拒a,:.ASAC為正三角形.

由正弦定理得2R=■—C—=」巨L=巫。，

sin4SCsin60°3

因此，R=4^a,V以=±萬(wàn)R'=量3乃a".

3327

(2)設(shè)內(nèi)切球半徑為r,作SE_L底面ABCD于E,

作SF_LBC于F,連接EF,

則有SF=>ISB2-BF2

SASBC=-BC?SF=-aX——,3———?a.

2224

S位徘個(gè)二4sGSBC+S帳二(J7+1)a.

又SE=J"2_EF2=J('a)2_(|_)2=*a,

3326

2.3

13」［錐="工"=底一在&

S棱錐金("+1)/12

5邛=4萬(wàn)六^^乃成.

3

活頁(yè)作業(yè)

一、填空題

1.如圖所示，E,F分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，沿線AF,AE,EF折起來(lái)，則所

圍成的三棱錐的體積為

答案5

2.長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1：2：3,對(duì)角線長(zhǎng)為2疝，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是,

答案48

3.已知三棱錐S—ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心。在AB上，SOIMlABC,AC=gr,

則球的體積與三棱錐體積的比值是.

答案4T

4.（2。。7.遼寧文,15）若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為*'側(cè)棱長(zhǎng)為6的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的面上'則

此球的體積為

答案4生

5.已知各頂點(diǎn)都在個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是.

答案244

6.?個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的?個(gè)大圓上，則該正三棱

錐的體積

是.

答案4

7.（2008?四川理，15）己知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為石，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為半，則該正

四棱柱的體積等于.

答案2

8.（2008?上海春招）已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1,其平面展開圖如圖所示,/vw\

則該凸多而體的體積V、

答案

6

二、解答題

9.一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm,高是9cm,

(1)求三棱臺(tái)的斜高；

(2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.

解(1)設(shè)O,、。分別為正三棱臺(tái)ABC-ABC的上、下底面正三角形的中心，如圖所示,

則0Q二三，過(guò)。作OQ」BQ”0D1BC,則DQ為三棱臺(tái)的斜高；

2

7

過(guò)6作DEJ_AD于E,則DE=0Q二巳，

2

因0Q產(chǎn)也X3=—,OD=—X6=>/3,

626

貝（JDE=0D-0.D,=V3.

22

在RtZXDQE中，

22

D,D=^D[E+ED=Jg)2+(g)2=后.

⑵設(shè)C、C分別為上、下底的周長(zhǎng)，h'為斜高，

SM=1(.C+C)h'=-(3X3+3X6)X(cm')，

222

S尸S*,+S卜+S產(chǎn)生33X3,+如X6?=四調(diào)).

2444

故三棱臺(tái)斜高為石cm,側(cè)面積為生亙cm2,表面積為絲叵cm2.

24

10.如圖所示，正的邊長(zhǎng)為4,D,E、F分別為各邊中點(diǎn)，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點(diǎn),

將aABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.

(1)NMNP等于多少度？

(2)擦去線段EM、EN、EP后剩卜的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？

解(1)由題意，折成了三棱錐以后，如圖所示，

△MNP為正三角形，故NMNP=NDAF=60°.

（2）擦去線段EM、EN、EP后，所得幾何體為棱臺(tái),

其側(cè)面積為SM=SE-ADF?rSE-MNPM

=3X@X2J3X立X1三叟I.

444

11.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD—ABGD,中，AB=BC=1,BB,=2,

E是棱CG上的點(diǎn)，且CE=，CG.

4

(1)求三棱錐C—BED的體積；

(2)求證:AC_L平面BDE.

(1)解VCE=-CC.=-,

42

VcBDE=VEBCD=—SABCD,CE

3

=-X-X1X1X1=—.

32212

(2)證明連接AC、B.C.

VAB-BC,??.BD_LAC.

???AA_L底面ABCD,

ABD±A,A.

VA,AAAC=A,

???BD_L平面AAC.

???BD_LAC

??,tanZBB,C=—

B[B2

CF1

tanZCBE--=-,AZBBC=ZCBE.

CB2

???NBBC+NBCB尸90°,

JNCBE+NBCB尸90°,??.BE_LBC

VBE±AiB,,AiB；nB,C=B；,

...BE_L平面ABC,.,.BE±A：C.

VBDnBE=B,BEu平面BDE,BDu平面BDE,

，AC_L平面BDE.

12.三棱錐S—ABC中，一條棱長(zhǎng)為a,其余棱長(zhǎng)均為1,求a為何值時(shí)Vs—ABC最大，并求最大值.

解方法一如圖所示，

設(shè)SC=a,其余棱長(zhǎng)均為1,

取AB的中點(diǎn)H,連接HS、HC,

則ABJ_HC,AB1HS,

，ABJ_平面SHC.

在面SHC中，過(guò)S作SO_LHC,則SOJ_平面ABC.

在4SAB中，SA=AB=BS=1,

ASH=—,

2

設(shè)NSHO=0,貝IJSO二SHsin。="sin。，

2

Vs-ABC=-S.\ABC?SO

3

」x立X12X^sin6>

342

1?qv1

=—sm6W-.

88

當(dāng)且僅當(dāng)sin。=1,即，=90°時(shí)，三棱錐的體積最大.

a=V?SH=7Ix回近，V”“=L

228

...a為逅時(shí)，三棱錐的體積最大為

28

方法二取SC的中點(diǎn)D,可通過(guò)VsABC=-SAABD-SC,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的目標(biāo)函數(shù)的最大值問(wèn)題，利用基

3

本不等式或配方法解決.

§8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

----i?—自主學(xué)習(xí)—----

□基礎(chǔ)自測(cè)

1.給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行：

③若直線I,、12與同一平面所成的角相等，則LJ互相平行;

④若直線I,、b是片面直線，則與h、卜都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個(gè)數(shù)是.

答案4

2.對(duì)于平面a和直線I,a內(nèi)至少有一條直線與直線I(用“垂直”，“平行”或“異面”填空).

答案垂直

3.若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成部分.

答案7

4.(2007?廣東理，12)如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有條.

這些直線中共有f(n)對(duì)異面直線，則f(4)=;f(n)=.(答案用數(shù)字或n的解析式

表示)

答案中8n(n-2)

5.如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分另4為AF、AD、BE、DE的

中點(diǎn)，將AABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為.

答案60°

典例剖析一^^

例1如圖所示，空間四邊形ABCD中，E,F,G分別在AB.BC,CD上，且滿足AE：EB=CF：FB=2：1,

CG：GD=

3：1,過(guò)E、F、G的平面交AD于H,連接EH.

(1)求AH：HD；

(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).

(1)解V—=—=2,??.EF〃AC.

EBFB

JEF〃平面ACD.而EFu平面EFGH,

且平面EFGHn平面ACD=GH,

???EF〃GH.而EF〃AC,

，AC〃GH.

...AH_=CG_即AH:6=3：i.

HDGD

FF1CH1

(2)證明?.?EF〃GH,且義=士，—

AC3AC4

...EFWGH,.I四邊形EFGH為梯形.

令EHCFG=P,貝iJPGEH,而EHu平面ABD,

PSFG,FGu平面BCD,平面ABD^1平面BCD=BD,

APeBD..-.EH,FG、BD三線共點(diǎn).

例2如圖所示，正方體ABCD—ABCQ中，M、N分別是AB,BC,的中點(diǎn).問(wèn):

(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；

(2)DB和CG是否是異面直線？說(shuō)明理由.

解(1)不是異面直線.理由如下：

VM,N分別是AB,、BC,的中點(diǎn).

.,.MN/7A.C,,

XVA.A^ZD,D,而D,Q4CC,CC,，四邊形A,ACG為平行四邊形.

.,.A.C.//AC,得至|JMN〃AC,

:.A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi),

故AM和CN不是異面直線.

（2）是異面直線，證明如下：

假設(shè)DB與CC在同一個(gè)平面DCC；內(nèi)，

貝JIBG平面CCD,,CW平面CCQ：.

；.BCu平面CC.D,,

這與正方體ABCD—ABCQ,中BC_L面CCQ,相矛盾.

二假設(shè)不成立，故DB與CC是異面直線.

例3（16分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZDAB=60",呆

對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,P0_L平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.二子》

B

（1）求四棱錐的體積；

(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE上JPA所成角的余弦值.

解(1)在四棱錐P—ABCD中，

VPO±WlABCD,

ZPBO是PB與平面ABCD所成的知，

即NPBO=60°,2分

在RtZkPOB中，

VBO=AB-sin300=1,

又PO1OB,.'.PO=BO?tan60°=后,

?.?底面菱形的面積S=2X工X2X2X3=2

6

22

四棱錐P—ABCD的體積

VPABCD=-X2石X石=2.8分

3

(2)取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF,

FB

???E為PB中點(diǎn)，AEF/7PA,

???NDEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）.10分

在RtTXAOB中,

AO-AB?cos30°=V3=OP,

...在RtZXPOA中，PA=6,.-.EF=—12分

2

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=V3,

由余弦定理得

./HDE2+EF2-DF2

..cosNDEF=--------------------------14分

2DEEF

（揚(yáng)2+（9）2（揚(yáng)26歷

2

所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為".

16分

4

—知能遷移一

1.如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O.

求證：B、D、O三點(diǎn)共線.

證明VEGAB,HEAD,

JEW平面ABD,HR平面ABD.

???EHu平面ABD.

VEHnFG=O,平面ABD.

同理可證。6平面BCD,

???0￡平面ABDA平面BCD,即O￡BD,

所以B、D、O三點(diǎn)共線.

2.在正方體ABCD—ABCQ,中，E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接BE并延

長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接FG.

求證：直線FGu平面ABCD且直線FG〃直線AB,.

證明由已知得E是CD的中點(diǎn)，在正方體中，

由于AG平面ABCD,EC平面ABCD,

所以AEu平面ABCD.

XAEABC=F,從而Fe平面ABCD.

同理GW平面ABCD,

所以FGu平面ABCD.

因?yàn)镋C〃-AB,故在Rt^FBA中，CF=BC,

-2

同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BQAD,所以CI&DG,

所以四邊形CFGD是平行四邊形，

所以FG〃CD.又CD〃AB,AB//AB,,

所以直線FG〃直線A.B.

3.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,BC=V2,DA1AC,DA1AB,若DA=1,且E為DA的

中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值.D

解取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在4ACD中，E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，ZAI\

?,.EF〃CD,-----------

ZBEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角.

在Rt^EAB中,AB=AC=1,

AE=-AD=-,/.BE=—,

222

在RtZ\EAF中，

AF=-AC=-,AE=-,/.EF=—,

2222

在RtaBAF中，AB=1,

AF=p-'-BF=T,

在等腰三角形EBF中,

1RF拉

—Er----

cosNFEB=^—=冬Vio

BE旦Io-

V

.?.異面直線BE與CD所成角的余弦值為嚕.

—活頁(yè)作業(yè)一

一、填空題

L若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是.

答案平行、相交或異面

2.給出下列命題：

①若平面a內(nèi)的直線a與平面內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是a與夕的交線，那么直線c至多與a、

b中的?條相交；

②若直線a與b為異面直線，直線b與c平行，則直線a與c異面；

③定存在平面a和異面直線a、b同時(shí)平行.

其中正確命題的序號(hào)是.

答案③

3.已知a,b是異面直線，直線c〃直線a,則c與b的位置關(guān)系.

①一定是異面直線②一定是相交直線

③不可能是平行直線④不可能是相交直線

答案③

4.若P是兩條異面直線I、m外的任意一點(diǎn)，則說(shuō)法錯(cuò)誤的有（填序號(hào)）.

①過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與I、m都平行

②過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與I、m都垂直

③過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與I、m都相交

④過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與I、m都異面

答案①③④

5.（2008?遼寧文）在正方體ABCD—A,B,CU中，E、F分別為棱AA,、CG的中點(diǎn)，則在空間中與三條直

線A,D,、EF、CD都相交的直線有條.

答案無(wú)數(shù)

6.正四棱柱ABCDAB,Cd中，AA,=2AB,則異面直線AB與AD,所成角的余弦值為.

答案|

7.如圖所示，在三棱錐C—ABD中，E、F分別是AC和BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=4,

EF1AB,則EF與CD所成的角是.

答案30°

8.已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個(gè)平面，則a、b在a上的射影可能是

①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；

③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn).

則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

答案①②④

二、解答題

9.如圖所示，正方體ABCD-ABC.D,中，E,F分別是AB和AA,的中點(diǎn).

求證：（1）E,C,D?F四點(diǎn)共面；

（2）CE,DF,DA三線共點(diǎn).

證明（1）如圖所示，連接CD”EF,AB,

：E、F分別是AB和AA的中點(diǎn)，

；.EF〃A,B且EF」AB

2

又;AD屋BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，，AB〃CD,,，EF〃CD,,

；.EF與CD,確定一個(gè)平面a,

/.E,F,C,D|Ga>

即E,C,D,,F四點(diǎn)共面.

(2)由(1)知EF〃CD”且EF=^CD”

2

四邊形CDFE是梯形，

...CE與D,F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

貝ijPeCEu平面ABCD,

且PeDFu平面AADD”

.?.Pe平面ABCD且PW平面AADD”

又平面ABCDC平面A,ADD,=AD,

；.PeAD,ACE,D,F,DA三線共點(diǎn).

10.定線段AB所在的直線與定平面a相交，P為直線AB外的一點(diǎn)，且P不在a內(nèi)，若直線AP、BP與a分

別交于C、D點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn).

證明設(shè)定線段AB所在直線為I,與平面a交于。點(diǎn)，即Sa=O.

由題意可知，APOaBPD。二D,a,DWa.

又,.,APnBP二P,

???AP、BP可確定一平面/且C￡/J,Dep.：.CD=anp.

VAGfl.B￡〃，???lu/，????！?.n/7,即OwCD.

，不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn).

11.如圖所示，在正方體ABCD-ABCD沖，E、F分別為CG、AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED.Fp

與平面ABCD的交線.

解在平面AADD內(nèi)，延長(zhǎng)DF,

???DF與DA不平行,

因此DF與DA必相交了一點(diǎn)，設(shè)為P,

貝ijPeFD,,PSDA.

又?.?FD’u平面BEDEADu平面ABCD,

平面BEDEPG平面ABCD.

又B為平面ABCD與平面BEDF的公共點(diǎn)，連接PB,

/.PB即為平面BEDF與平面ABCD的交線.如圖所示.

AFRF1

12.如圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是線段AD、BC上的點(diǎn)，-=—=AB=CD=3,

EDFC2

EF=V7,求AB、CD所成角的大小.

解如圖所示，在線段BD上取一點(diǎn)G,使包=L連接GF、GE、EF.

GD2

AE_BG