黑體輻射公式

黑體輻射公式(普朗克公式):hVekT—1產(chǎn)生駐波的條件為:其中m,產(chǎn)生駐波的條件為:其中m,m,m=0,1,2, 1 2 3推導(dǎo)普朗克黑體輻射公式設(shè)黑體腔內(nèi)是穩(wěn)定的駐波場(chǎng),是具有不同頻率、不同傳播方向的駐波系統(tǒng)?在腔壁上電場(chǎng)形成波節(jié),磁場(chǎng)形成波腹?每一駐波代表一種振動(dòng)模式.以長(zhǎng)方形腔為例?腔內(nèi)某一駐波的波矢為：k2=k2+k2+k2,xyz7 2兀 7k= cosa,kx九 y2Lcosam=—i九

2Lcos卩m=——2—2九

2LcosYm=——3-3 九因此，諧振腔中可以存在的波矢為:兀 兀k=m,k=m-x1Ly2L3123” 2兀 2兀 2兀v一組化m2m3對(duì)應(yīng)一種模式?不同的頻率應(yīng)有不同的模式，相同的頻率，因k方向不同，也會(huì)12,3有不同的模式.一組m1m2m3對(duì)應(yīng)一個(gè)波矢，對(duì)應(yīng)波矢三維空間中的一個(gè)點(diǎn).1厶3兀 兀 兀波矢三維空間中的一任意點(diǎn)，其坐標(biāo)為(m1L,m2l,m3L)注意:駐波波矢有限制 1 2 3不同的mmm形成三維空間點(diǎn)陣,8個(gè)格點(diǎn)形成一個(gè)長(zhǎng)方體元,每個(gè)格點(diǎn)又屬于8個(gè)長(zhǎng)方體元因此海一格點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)方體元有n個(gè)格點(diǎn)，對(duì)應(yīng)n個(gè)長(zhǎng)方體元，就有n個(gè)振動(dòng)模式.頻率從0?v范圍內(nèi)，有多少個(gè)振動(dòng)模式？由2兀vk2=( )2=k2+k2+k2c xyz可知，允許存在的波矢數(shù)等于在波矢空間內(nèi)半徑為2兀v/c的球體內(nèi)可以存在的體元數(shù)。因m】、m2、m3為正整數(shù)，故對(duì)應(yīng)1/8球體內(nèi)的體元數(shù)：“ 14/2兀V、4兀4V3V=—?—兀( )3=--球83c3c3\o"CurrentDocument"一兀兀兀 兀3體元的體積：卩元=LZ〒=V1 2 3其中，V=lxl2l3為諧振腔的體積體元數(shù)： V4球=—V一 3元考慮到兩個(gè)偏振態(tài):將上式兩邊除以V并對(duì)v微分，得單位體積頻率在v?dv范圍內(nèi)的本征模數(shù).7 8兀v2dn= dv,c3普朗克認(rèn)為，黑體腔器壁是不同頻率的線性諧振子,由能量子假說，這些諧振子取分立的值,8=hv, 8=m8,00按照玻耳茲曼定理，具有能量0,8,28,38…的振動(dòng)幾率有如下關(guān)系000V —叫m8ekT0&=m=0所以，平均能量為y—ekT80ekT—1壁上振子分布應(yīng)與駐波分布相同，因此單位體積內(nèi)頻率范圍在v~dv內(nèi)的能量密度為p(v)dv黑體單色輻出度為—80v —280v —380v1:e—kT:e—kT:e—khvekF—18兀hv3-hv.ekT—12兀hv3

C2hvekT—1c二證明關(guān)系式r(v,T)=p(v,T).0 4熱輻射以光速c向各個(gè)方向輻射，因此，在任意一方向上的立體角dG內(nèi)，c頻率為v的輻出度為dr(v,T)= p2,T)cos0dG,0 4兀在小孔外2兀