單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1單項(xiàng)式與多項(xiàng)式目錄contents單項(xiàng)式概念及性質(zhì)多項(xiàng)式概念及性質(zhì)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式關(guān)系典型例題解析練習(xí)題與答案課堂小結(jié)與拓展延伸301單項(xiàng)式概念及性質(zhì)123單項(xiàng)式是只包含一個(gè)項(xiàng)的代數(shù)式，形如ax^n，其中a是系數(shù)，x是字母，n是自然數(shù)。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式定義系數(shù)與次數(shù)系數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)稱為單項(xiàng)式的系數(shù)。例如，在單項(xiàng)式5x^2中，5是系數(shù)。次數(shù)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)之和稱為單項(xiàng)式的次數(shù)。例如，在單項(xiàng)式5x^2中，次數(shù)是2。單項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則加減運(yùn)算乘方運(yùn)算乘法運(yùn)算除法運(yùn)算同類項(xiàng)的單項(xiàng)式可以直接進(jìn)行加減運(yùn)算，只需將其系數(shù)進(jìn)行加減即可。單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時(shí)，將它們的系數(shù)相乘，并將同類項(xiàng)的指數(shù)相加。單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，將它們的系數(shù)相除，并將同類項(xiàng)的指數(shù)相減。注意，除數(shù)不能為0。單項(xiàng)式的乘方運(yùn)算遵循指數(shù)法則，即(ax^n)^m=a^m*x^(n*m)。302多項(xiàng)式概念及性質(zhì)010203由數(shù)字、字母通過有限次乘法、加法和減法運(yùn)算得到的代數(shù)式稱為多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的每一個(gè)數(shù)字或字母的積稱為多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)的次數(shù)稱為多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式定義多項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的一個(gè)項(xiàng)；每一個(gè)項(xiàng)的次數(shù)中最高的一個(gè)，就叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。一個(gè)多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)，就叫幾次幾項(xiàng)式。例如多項(xiàng)式3x^2y-2xy+1中，第一項(xiàng)的次數(shù)是3（x的指數(shù)2加上y的指數(shù)1），第二項(xiàng)的次數(shù)是2（x和y的指數(shù)之和），第三項(xiàng)的次數(shù)是0（常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0），所以這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是3，共有3項(xiàng)，稱為三次三項(xiàng)式。010203多項(xiàng)式次數(shù)與項(xiàng)數(shù)同類項(xiàng)合并，不同類項(xiàng)直接相加。加法運(yùn)算多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。乘法運(yùn)算同類項(xiàng)相減，不同類項(xiàng)直接相減。減法運(yùn)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。注意01030204多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則303單項(xiàng)式與多項(xiàng)式關(guān)系多項(xiàng)式是由任意個(gè)單項(xiàng)式通過加法運(yùn)算組成的代數(shù)式。任意個(gè)單項(xiàng)式的和單項(xiàng)式中的字母可以表示數(shù)或未知數(shù)，通過有限次的冪運(yùn)算組成多項(xiàng)式。有限次冪運(yùn)算單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)稱為單項(xiàng)式的系數(shù)，多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)可以是任意整數(shù)。整數(shù)系數(shù)單項(xiàng)式組成多項(xiàng)式分組分解對(duì)于較復(fù)雜的多項(xiàng)式，可以采用分組分解的方法，將多項(xiàng)式分組并提取各組的公因式，進(jìn)而化簡(jiǎn)為單項(xiàng)式的和。公式法針對(duì)一些特殊形式的多項(xiàng)式，如平方差公式、完全平方公式等，可以直接套用公式進(jìn)行分解。提取公因式多項(xiàng)式可以通過提取各項(xiàng)的公因式，將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)為幾個(gè)單項(xiàng)式的和。多項(xiàng)式分解為單項(xiàng)式聯(lián)系單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都是代數(shù)式的基本組成部分，單項(xiàng)式可以組成多項(xiàng)式，多項(xiàng)式也可以分解為單項(xiàng)式。區(qū)別單項(xiàng)式是只包含一個(gè)項(xiàng)的代數(shù)式，而多項(xiàng)式是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單項(xiàng)式組成的代數(shù)式。此外，單項(xiàng)式的次數(shù)是各個(gè)字母的指數(shù)之和，而多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)。兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別304典型例題解析只包含一個(gè)項(xiàng)的代數(shù)式，如$3x^2$，$5xy$。單項(xiàng)式由有限個(gè)單項(xiàng)式通過加減運(yùn)算連接而成的代數(shù)式，如$2x^2+3x-1$。多項(xiàng)式識(shí)別單項(xiàng)式和多項(xiàng)式直接代入變量的值進(jìn)行計(jì)算，如$3x^2$在$x=2$時(shí)的值為$3times2^2=12$。分別求出每個(gè)單項(xiàng)式在給定變量值下的結(jié)果，再進(jìn)行加減運(yùn)算，如$2x^2+3x-1$在$x=2$時(shí)的值為$2times2^2+3times2-1=13$。求單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的值多項(xiàng)式求值單項(xiàng)式求值面積和體積計(jì)算利用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式表示面積和體積的公式，如長方形的面積$S=ab$，圓柱體的體積$V=pir^2h$。物理問題建模在物理問題中，經(jīng)常需要用到單項(xiàng)式和多項(xiàng)式來描述物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式$s=v_0t+frac{1}{2}at^2$。經(jīng)濟(jì)問題建模在經(jīng)濟(jì)問題中，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式可以用來表示成本、收益等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與自變量之間的關(guān)系，如總成本$C=F+vq$，其中$F$是固定成本，$v$是單位變動(dòng)成本，$q$是產(chǎn)量。利用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式解決實(shí)際問題305練習(xí)題與答案指出下列各式中哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式：$3x^2$,$2x-1$,$xy+yz$,$frac{1}{x}+x$,$5$。說明多項(xiàng)式$2x^3-5x^2+7$是幾次幾項(xiàng)式。指出多項(xiàng)式$4x^2-3x+7$的常數(shù)項(xiàng)和最高次項(xiàng)系數(shù)。寫出多項(xiàng)式$3x^2-2x+1$的各項(xiàng)、系數(shù)、次數(shù)。練習(xí)題答案及解析單項(xiàng)式有：$3x^2$,$5$；多項(xiàng)式有：$2x-1$,$xy+yz$,$frac{1}{x}+x$。02解析：?jiǎn)雾?xiàng)式是只含有一個(gè)項(xiàng)的代數(shù)式，而多項(xiàng)式是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單項(xiàng)式組成的代數(shù)式。注意，$\frac{1}{x}+x$雖然含有分式，但仍然是一個(gè)多項(xiàng)式。03多項(xiàng)式$3x^2-2x+1$的各項(xiàng)分別為$3x^2$,$-2x$,$1$；各項(xiàng)系數(shù)分別為$3$,$-2$,$1$；次數(shù)為$2$。01解析多項(xiàng)式的各項(xiàng)是指多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式，各項(xiàng)系數(shù)是指各項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是指多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)。解析多項(xiàng)式的次數(shù)是指多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，幾項(xiàng)式是指多項(xiàng)式中含有幾個(gè)單項(xiàng)式。答案及解析答案及解析多項(xiàng)式$4x^2-3x+7$的常數(shù)項(xiàng)是$7$，最高次項(xiàng)系數(shù)是$4$。解析：多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)是指多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)，最高次項(xiàng)系數(shù)是指多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的數(shù)字因數(shù)。306課堂小結(jié)與拓展延伸單項(xiàng)式定義由數(shù)字、字母通過乘法運(yùn)算得到的代數(shù)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也叫單項(xiàng)式。單項(xiàng)式系數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)。單項(xiàng)式次數(shù)所有字母的指數(shù)之和。多項(xiàng)式定義幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)。多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)。課堂小結(jié)03根式函數(shù)含有根號(hào)的函數(shù)，如f(x)=√(x+2)。01復(fù)合函數(shù)通過多個(gè)基本函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合得到的函數(shù)。02分式函數(shù)形如f(x)=(ax+b)/(cx+d)（其中c≠0）的函數(shù)。拓展延伸：探討更復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)形如f(x)=a^x（a>0，a≠1）和f(x)=log_a(x)（a>0，a≠1）的函數(shù)。三角函數(shù)和反三角函數(shù)如sin(x)、cos(x)、tan(x)以