高等代數(shù)歐幾里得空間知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第九章歐幾里得空間（***）一、 復(fù)習(xí)指導(dǎo):在第九章中，有兩個(gè)重要的考點(diǎn)：1?標(biāo)準(zhǔn)正交基（施密特正交化）2?實(shí)對(duì)稱矩陣如何相似對(duì)角化，如何求標(biāo)準(zhǔn)形。除此之外，歐氏空間的含義，概念，性質(zhì)也要作為一個(gè)比較重要的內(nèi)容來復(fù)習(xí)。二、 考點(diǎn)精講：三、首師大真題：（一）歐氏空間1?設(shè)V是是數(shù)域R上一線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記為Q,卩），特具有一下性質(zhì)：（1） （a,卩）=（卩,a）；（2） （ka,卩）=k（a,卩）（3） （a+卩，丫）=（a，Y）+（卩，丫）；（4） （a,a）>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)（a,卩）=0?這里a,卩，丫是V中任意的向量，k是任意實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間。(a,a)2?非負(fù)實(shí)數(shù)J（a,a）稱為向量(a,a)3?非零向量a,卩的夾角-a,卩;;規(guī)定為:a,卩;:=arccos4?如果向量a，卩的內(nèi)積為零，即（a,卩）=0，那么a,卩稱為正交或互相垂直，記為a丄卩。5?設(shè)V是一個(gè)n維歐幾里得空間，在V中取一組基ss……,s令a=（8,8）,（i,j=1,2,....n）矩1,2,nijij陣A=(a)稱為基ss……,s的度量矩陣。ijnxn 1,2, n（1） 度量矩陣是正定的；（2） 不同基底的度量矩陣是合同的。6?歐氏空間V中一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組。在n維歐氏空間中，由n個(gè)向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。（1）施密特正交化這是把線性無關(guān)向量組改造為單位正交向量組的方法.以3個(gè)線性無關(guān)向量a”a2,a3為例.①令P1=a1,a (a，卩)o21（卩，卩）11卩2=勺-(0201)卩i21（卩，卩）11Q,卩）3 2-（卩,Q,卩）3 2-（卩,卩）22卩已-（O1）11此時(shí)卩］，卩2，卩3是和叫a2“3等價(jià)的正交非零向量組.（二）同構(gòu)1?實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V與v'稱為同構(gòu)，如果由V到v'有一個(gè)1-1上的映射b，適合（1）b（a+卩）=b（a）+b（卩）（2） b（ka）=kb（a）（3）Q（a）Q（卩））=（a,卩） 這里a,卩eV,keR，這樣的映射b稱為v到v'的同構(gòu)映射。2?兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分條件是它們的維數(shù)相同。三）正交矩陣1?基本概念（1） n級(jí)實(shí)數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果A'A=E。（2） 歐氏空間V的線性變換A稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)任意的a,卩eV都有（Aa,A卩）=（a,卩）2?主要結(jié)論設(shè)A是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面4個(gè)命題等價(jià)：（1） A是正交變換；（2） A保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于aeV，\Aa\=a\；（3） 如果ss……,s是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么AsAs……,As也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；1,2,n1,2,n（4） A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。四）正交子空間1?基本概念（1） 設(shè)V,V是歐氏空間V中兩個(gè)子空間。如果對(duì)于任意的aeV,卩eV恒有（a,卩）=0，則稱1212V,V為正交的，記V丄V。一個(gè)向量a,如果對(duì)于任意的0eV，恒有（a,卩）=0,則稱12121a與子空間V正交，記為a丄V。11（2） 子空間V稱為子空間的一個(gè)正交補(bǔ)，如果V丄V，并且V+V=VO212122?主要結(jié)論（1）如果子空間V,.?…,V兩兩正交，那么和V+.?…+V是直和。1s1s歐氏空間V的每一個(gè)子空間V都有唯一的正交補(bǔ)V丄。11V丄恰由所有與V正交的向量組成。11對(duì)稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值皆為實(shí)數(shù)。設(shè)A是n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，則Rn中屬于A的不同特征值的特征向量必正交。(3)對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A,都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T,使TAT=T-1AT成對(duì)角矩陣。對(duì)稱矩陣設(shè)A是歐氏空間V中的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于任意的a,卩wV,有(Aa,卩)=Q,A卩)則稱A為對(duì)稱變換。對(duì)稱變換的性質(zhì)對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。設(shè)A是對(duì)稱變換，V是A-子空間，則V丄也是A-子空間。11設(shè)A是n維歐氏空間V中的對(duì)稱變換，則V中存在一組由A得特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。(3)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則它的對(duì)角化問題有特殊的結(jié)論.A的特征值和特征向量有以下特點(diǎn):特征值都是實(shí)數(shù).對(duì)每個(gè)特征值九,其重?cái)?shù)=n-r(XE-A)?屬于不同特征值的特征向量互相正交.于是,我們得出:實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化,并且可以用正交矩陣將其對(duì)角化?設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，構(gòu)造正交矩陣Q(使得Q-AQ是對(duì)角矩陣)的步驟：求出A的特征值；對(duì)每個(gè)特征九，求(XE-A)X=0的單位正交基礎(chǔ)解系，合在一起得到A的n個(gè)單位正交的特征向量;⑶用它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)造正交矩陣Q.向量到子空間的距離，最小二乘法1?長(zhǎng)度弘-卩I稱為向量a和0的距離，記為d(a，卩)，且d(a,0)=d(0,a)d(a,0)>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號(hào)成立；d(a,0)<d(a,Y)+d(,0)(三角不等式)2?實(shí)系數(shù)線性方程組ax+ax+?—Fax—b=011i122 1nn1ax+ax+?—+ax—b=021 1 222 2nn2ax+ax+ Fax—b=0n1 1n22 nnnn可能無解，即任何一組實(shí)數(shù)x,x,……x都可能使￡(ax+ax++ax—b)2不等于零，尋