新教材2023版高中數(shù)學第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應用課件新人教B版選擇性必修第三冊

5．4數(shù)列的應用在數(shù)列的教學中，應引導學生通過具體實例(如購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等)，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質和應用；引導學生掌握數(shù)列中各個量之間的基本關系；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關系，并解決相應的問題．新知初探·自主學習課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學習

狀元隨筆(1)解決數(shù)列的實際應用問題，關鍵是讀懂題意，從實際問題中提煉出問題的實質，轉化為數(shù)學問題解決．(2)價格升降、細胞繁殖、利率、增長率等問題常歸結為數(shù)列建模，從而歸納轉化為數(shù)列問題去解決．3．政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列政府支出的“乘數(shù)”效應問題，經濟學家凱恩斯認為，政府支出的增加會引起國民收入成倍數(shù)的增加，這就是政府支出的“乘數(shù)”效應．狀元隨筆政府支出的“乘數(shù)”效應有關概念的理解(1)“乘數(shù)”效應①“乘數(shù)”效應是一種宏觀的經濟效應，是指經濟活動中某一變量的增減所引起的經濟總量變化的連鎖反應程度．②財政政策乘數(shù)是研究財政收支變化對國民經濟的影響，其中包括財政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡預算乘數(shù)．(2)政府支出政府的財政支出(包括政府消費支出和政府投資支出)是一種與居民投資十分類似的高效能支出．政府在商品與服務上的一項采購，將會引發(fā)一系列的再支出．因此任何一屆政府在選擇經濟政策時，究竟是采取擴張性政策還是緊縮性政策，在采取行動前必須知道實際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會對國民經濟造成極大的傷害．基

礎

自

測1．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”．其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為(

)A．6里B．12里

C．24里D．48里

答案：B

答案：B

3．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金，貸款的年利率為5%，如果他按照“等額本金還款法”分10年進行還款，則其第二年應還________元；如果他按照“等額本息還款法”分10年進行還款，則其每年還款約________元．(1.0510≈1.62889)

29000259014．一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款(含利息)自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款(含利息)全部取回，則取回的錢的總數(shù)為________________．

課堂探究·素養(yǎng)提升

貸款還款與數(shù)列例1

某人年初向銀行貸款10萬元用于購房．(1)如果他向建設銀行貸款，年利率為5%，且這筆借款分10次等額歸還(不計復利)，每年一次，并從借后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？(精確到1元)

(2)如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復利計算(即本年的利息計入次年的本金生息)，仍分10次等額歸還，每年一次，每年應還多少元？(精確到1元，1.0410≈1.4802)

方法歸納解決此類問題的關鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，(1)中的利率是單利(即當年的利息不計入次年的本金)，故所用的公式是等差數(shù)列通項公式和前n項和公式；(2)中的利率是復利(即利滾利)，所謂復利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復利的計算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．故所用公式是等比數(shù)列通項公式和前n項和公式，導致這種區(qū)分的原因是付款形式不同．跟蹤訓練1

某職工年初向銀行貸款2萬元用于買車，銀行貸款的年利率為10%，按復利計算(即將本年的本金與利潤的總和計為次年的本金)，若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？(1.110≈2.5937)

政府支出的“乘數(shù)”效應與數(shù)列例2

2019年某市政府投資8千萬元啟動鄉(xiāng)村旅游項目．規(guī)劃從2020年起，在今后的若干年內，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2019年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的時間里，每年的凈收入均在上一年的基礎上增長50%.記2019年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N＋)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤＝累計凈收入－累計投入，單位：千萬元)，且當f(n)為正值時，認為該項目贏利．(1)試求f(n)的表達式．

(2)根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．

跟蹤訓練2

假設政府增加某項支出200億元，每個受惠的居民會將60%的額外收入用于國內消費，則經過20輪影響之后，最后的國內消費總額為________億元．(最初政府支出也算是國內消費，結果精確到1億元，0.621≈0.000022，0.620≈0.000037)

500

數(shù)列遞推公式的實際應用例3

某企業(yè)投資1千萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(lg2＝0.3)

方法歸納理解題意，建立數(shù)列中an與an＋1或an與an－1之間的關系，構造數(shù)列，確定數(shù)列的通項公式求解．跟蹤訓練3

某城市2010年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？

教材反思1．本節(jié)課的重點是應用數(shù)列知識解決實際問題，難點是如何化實際問題為數(shù)學問題，轉化的關鍵是明確題