高等數(shù)學概念定理推論公式

※級數(shù)·幾何級數(shù)公式r的絕對值|r|<1時收斂；|r|≥1時擴散。·若級數(shù)SKIPIF1<0收斂于s，則級數(shù)每項乘以一個不為零的常數(shù)k所得的級數(shù)SKIPIF1<0收斂于ks?！な諗考墧?shù)各項相加(減)后的級數(shù)收斂于各級數(shù)和的和(差)?！な諗考墧?shù)前面加上(或減去)有限個項，不會影響級數(shù)的收斂性，但會影響級數(shù)和的值?！な諗考墧?shù)加括弧后所形成級數(shù)仍然收斂于原級數(shù)的和。·數(shù)SKIPIF1<0·正項級數(shù)為收斂的充分必要條件是，它的前n項的和所構(gòu)成的數(shù)列sn為有界?！ぁぁぴO(shè)正項級數(shù)·設(shè)正項級數(shù)·設(shè)級數(shù)SKIPIF1<0收斂或發(fā)散時，級數(shù)也隨之收斂或發(fā)散?！と艚诲e級數(shù)滿足條件：·若任意項級數(shù)的各項的絕對值所成的級數(shù)SKIPIF1<0收斂，則原級數(shù)收斂。注意：并不是每個收斂級數(shù)都是絕對收斂的，若級數(shù)收斂絕對級數(shù)發(fā)散，則稱為條件收斂級數(shù)。·絕對收斂級數(shù)不因改變各項的位置而改變它的和(絕對收斂級數(shù)具有可交換性)?！ぴO(shè)兩級數(shù)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0都為絕對收斂級數(shù)，它們逐項相乘后按下列排序的級數(shù)SKIPIF1<0也是絕對收斂的，且和等于SKIPIF1<0?！V義積分的收斂性：設(shè)在區(qū)間SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0≥0。如果存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0收斂；如果存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0發(fā)散。設(shè)在區(qū)間SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0≥0，但SKIPIF1<0。若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0(SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0收斂；若存在常數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0≥1，使得SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0(SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0發(fā)散。設(shè)在區(qū)間SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0≥0。如果存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則積分SKIPIF1<0收斂；如果SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0發(fā)散。設(shè)在區(qū)間SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0≥0，但SKIPIF1<0。若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0存在，則積分SKIPIF1<0收斂；如果存在常數(shù)SKIPIF1<0≥1，使得SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，則積分SKIPIF1<0發(fā)散。·廣義積分SKIPIF1<0對于一切SKIPIF1<0＞0時收斂。·SKIPIF1<0-函數(shù)SKIPIF1<0：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0為正整數(shù)，SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0為任意數(shù)但不等于0，-1，-2，…，而SKIPIF1<0為正整數(shù)，則：SKIPIF1<0◎積分SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；再令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0?！ず瘮?shù)項級數(shù)SKIPIF1<0◎如果有常數(shù)SKIPIF1<0≥0(n=1,2,…)滿足條件：級數(shù)的一般項SKIPIF1<0的絕對值在區(qū)間SKIPIF1<0上適合不等式：SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0；正項級數(shù)SKIPIF1<0收斂，則級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上一致收斂?！蛉艏墧?shù)的各項SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上都是連續(xù)的，而且級數(shù)一致收斂，則它的和SKIPIF1<0在該區(qū)間上也是連續(xù)的?！蛉艏墧?shù)的各項SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上都是連續(xù)的，而且級數(shù)一致收斂，則它可逐項積分，就是SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上任意兩點，并且積分后組成的級數(shù)在SKIPIF1<0上也一致收斂?！蛉艏墧?shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上收斂于和SKIPIF1<0，它的各項都具有連續(xù)導數(shù)SKIPIF1<0，并且級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上一致收斂，則原級數(shù)在該區(qū)間上也一致收斂并且可逐項微分，就是SKIPIF1<0。·冪級數(shù)SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0叫冪級數(shù)的系數(shù))若冪級數(shù)當SKIPIF1<0時收斂，則當一切SKIPIF1<0適合不等式SKIPIF1<0時，級數(shù)絕對收斂。反之若它當SKIPIF1<0時發(fā)散，則當一切SKIPIF1<0適合不等式SKIPIF1<0時它發(fā)散。若冪級數(shù)不是僅在SKIPIF1<0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)SKIPIF1<0存在，它具有下列性質(zhì)：當SKIPIF1<0級數(shù)絕對收斂；當SKIPIF1<0級數(shù)發(fā)散；當SKIPIF1<0級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。設(shè)極限SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是冪級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)。若SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0。冪級數(shù)相加減等于將各相應項的系數(shù)相加減。冪級數(shù)相乘與兩多項式相乘法則相同。冪函數(shù)相除，當?shù)诙€冪函數(shù)首項SKIPIF1<0時，設(shè)商的各項依次為SKIPIF1<0，則按SKIPIF1<0方法求得商的系數(shù)。設(shè)冪級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑SKIPIF1<0，則在收斂區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)它的和SKIPIF1<0是個連續(xù)函數(shù)。冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，即在冪級數(shù)收斂區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的任意一點SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0。冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項微分，即在冪級數(shù)收斂區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的任意一點SKIPIF1<0處，有SKIPIF1<0。·泰勒級數(shù)◎SKIPIF1<0◎當SKIPIF1<0時具有特殊形式(麥克勞林級數(shù))◎如果函數(shù)SKIPIF1<0可以表達為冪級數(shù)SKIPIF1<0時，則它的展開式是唯一的：SKIPIF1<0?！蚺ｎD二項式定理：SKIPIF1<0◎尤拉公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0※傅立葉(富里哀級數(shù))·三角級數(shù)：在區(qū)間SKIPIF1<0上SKIPIF1<0之中任何兩個不的函數(shù)乘積的積分為零。·SKIPIF1<0；SKIPIF1<0·三角級數(shù)收斂于SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，稱為SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)·尤拉-傅立葉公式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0稱傅立葉系數(shù))·設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)或只具有有限個第一類間斷點(第一類間斷點：即函數(shù)在該點(假設(shè)SKIPIF1<0點)的左右極限存在但不相等，或存在且相等但不等于SKIPIF1<0)；函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上只具有極大點和極小點(即把區(qū)間SKIPIF1<0分為有限個子區(qū)間，使函數(shù)在子區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的)，則由傅立葉系數(shù)SKIPIF1<0所定出的傅立葉級數(shù)SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上收斂，并且它的和：當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的連續(xù)點時，等于SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的間斷點時，等于SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為區(qū)間的端點時，就是當SKIPIF1<0時，等于SKIPIF1<0?！ぎ斉己瘮?shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上展開為傅立葉級數(shù)時，它的傅立葉系數(shù)(包括SKIPIF1<0)為：SKIPIF1<0；而奇函數(shù)SKIPIF1<0在該區(qū)間上展開為傅立葉級數(shù)時，它的傅立葉級數(shù)系數(shù)(包括SKIPIF1<0)為SKIPIF1<0·在區(qū)間SKIPIF1<0上滿足收斂條件的函數(shù)SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)的形式為：◎SKIPIF1<0，其中系數(shù)SKIPIF1<0為在區(qū)間SKIPIF1<0上函數(shù)SKIPIF1<0的正弦級數(shù)的形式為SKIPIF1<0，其中系數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0。在區(qū)間SKIPIF1<0上函數(shù)SKIPIF1<0的余弦級數(shù)的形式為SKIPIF1<0，其中系數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0。以上三個形式中，若SKIPIF1<0為函數(shù)的第一類間斷點，應用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0※多元函數(shù)的微分法及其應用·如果當SKIPIF1<0時函數(shù)的極限存在，即SKIPIF1<0，并且極限值SKIPIF1<0就是函數(shù)在點SKIPIF1<0的函數(shù)值：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點是連續(xù)的。如果函數(shù)在區(qū)域SKIPIF1<0內(nèi)各點都是連續(xù)的，就叫函數(shù)在SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)?！ぴ谟薪玳]區(qū)域SKIPIF1<0上的多元連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)域上至少取得它的最大值和最小值各一次。·在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)如果取得兩個不同的函數(shù)值，則它在該區(qū)域上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。·連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)，在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商也是連續(xù)的。·連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?！ひ磺卸嘣醯群瘮?shù)在其定義域內(nèi)各點處都是連續(xù)的·全增量：SKIPIF1<0，兩點的距離SKIPIF1<0·如果SKIPIF1<0成立，則函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的偏導數(shù)SKIPIF1<0必存在，并且SKIPIF1<0?！と⒎郑篠KIPIF1<0。全微分就是兩個偏微分之和。·假定函數(shù)SKIPIF1<0的偏導數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0連續(xù)，則函數(shù)在該點具有全微分?！と绻瘮?shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0是可微分的，則在該點它沿任一方向SKIPIF1<0的方向?qū)?shù)均存在，其值為SKIPIF1<0。當SKIPIF1<0=0和SKIPIF1<0=π時，分別為兩個偏導數(shù)?！ぴO(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0有連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0在對應點SKIPIF1<0有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0有對SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的連續(xù)偏導數(shù)并且：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0?！ぴO(shè)隱函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)SKIPIF1<0，并設(shè)SKIPIF1<0，則存在一個唯一的函數(shù)SKIPIF1<0，它在點SKIPIF1<0的某一鄰域內(nèi)是單值的連續(xù)的，恒能滿足方程：SKIPIF1<0，并且當SKIPIF1<0時它等于SKIPIF1<0，同時在這鄰域內(nèi)它有連續(xù)導數(shù)SKIPIF1<0?！KIPIF1<0多元隱函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0·空間曲線的切線方程：設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為SKIPIF1<0，則在點SKIPIF1<0切線方程為SKIPIF1<0，或改寫為：SKIPIF1<0，方向余弦為:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.法線方程為：SKIPIF1<0·空間曲面的切平面方程：法線方程為：SKIPIF1<0·空間曲方程為SKIPIF1<0的切平面方程為SKIPIF1<0法線方程：SKIPIF1<0·如果函數(shù)SKIPIF1<0的兩個二階偏導數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)域SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階偏導數(shù)必相等，即在此條件下偏導數(shù)與求導的次序無關(guān)?！ざ瘮?shù)泰勒公式：設(shè)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0有SKIPIF1<0階偏導數(shù)，并設(shè)SKIPIF1<0：其中：為拉格朗日形式的余項?！ざ瘮?shù)拉格朗日中值定理：SKIPIF1<0·如果偏導數(shù)SKIPIF1<0在某一區(qū)域內(nèi)均恒等于零，則函數(shù)SKIPIF1<0在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)?！ぴO(shè)可微分的函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0有極值，則在該點的偏導數(shù)必然為零?！ぴO(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階偏導數(shù)及二階連續(xù)偏導數(shù)，又SKIPIF1<0這時如果：SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處有極大值或極小值，要看SKIPIF1<0大于或小于零而定；如果SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處無極值；如果SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處可能有極值也可能無極值。◎求函數(shù)SKIPIF1<0極值的方法：Ⅰ解方程組：SKIPIF1<0，求出一切駐點；Ⅱ求出每一駐點SKIPIF1<0的二階偏導數(shù)；ⅢSKIPIF1<0且SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)得極小值(或極大值)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0無極值；SKIPIF1<0，不能確定。·拉格朗日乘數(shù)法則：欲求函數(shù)SKIPIF1<0附加條件SKIPIF1<0下的可能極值點，可用一常數(shù)SKIPIF1<0乘SKIPIF1<0而與SKIPIF1<0相加，得函數(shù)SKIPIF1<0，然后寫出SKIPIF1<0無附加條件時具有極值的必要條件SKIPIF1<0這兩個方程與方程SKIPIF1<0聯(lián)立求出SKIPIF1<0的值就是可能的極值點。※重積分·如果函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0必存在，也就是說，函數(shù)SKIPIF1<0上的二重積分必存在，換言之，連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上是可積的。·常數(shù)因子可以提到積分號外：SKIPIF1<0?！ず瘮?shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)的積分的代數(shù)和?！と绻]區(qū)域SKIPIF1<0由有限條曲線分為有限個部分區(qū)域，則在SKIPIF1<0上的積分等于在各部分區(qū)域上的積分的和(例如SKIPIF1<0由SKIPIF1<0組成):SKIPIF1<0。·如果在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的面積，則SKIPIF1<0?！と粼赟KIPIF1<0上，SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，則有不等式:SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0；SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0·設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的面積，則有對二重積分估值的不等式：SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0。·二重積分扣值定理：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的面積，則在SKIPIF1<0上至少有一點SKIPIF1<0使得下式成立：SKIPIF1<0?！ざ胤e分的計算法：◎矩形區(qū)域：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在矩形區(qū)域SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0在R上的二重積分可以表達為二次積分：SKIPIF1<0，即先將SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0看作常數(shù)，在區(qū)間SKIPIF1<0上對SKIPIF1<0積分，再在SKIPIF1<0對SKIPIF1<0積分。同樣有：SKIPIF1<0◎任意區(qū)域：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)域SKIPIF1<0上連續(xù)，SKIPIF1<0是由兩由兩條直線SKIPIF1<0及兩條曲線SKIPIF1<0，[SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0]所圍成，則SKIPIF1<0在區(qū)域SKIPIF1<0上的二重積分可以表達為二次積分：SKIPIF1<0。同樣有：SKIPIF1<0?！蚍e分限為常數(shù)的二元連續(xù)函數(shù)的二次積分與積分的次序無關(guān)：SKIPIF1<0◎狄里赫萊公式：SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0只依賴于SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0?！ぶ苯亲鴺伺c極坐標二重積分轉(zhuǎn)換：SKIPIF1<0·坐標原點在SKIPIF1<0區(qū)域外：SKIPIF1<0·坐標原點在SKIPIF1<0區(qū)域內(nèi)：則SKIPIF1<0邊界方程為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0。·長方體區(qū)域三重積分：SKIPIF1<0。·任意區(qū)域三重積分：SKIPIF1<0?！ぶ孀鴺说娜胤e分：SKIPIF1<0，其中：SKIPIF1<0?！で蛎孀鴺说娜胤e分：（空間點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上投影點為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0?！で婷娣e：曲面方程為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。SKIPIF1<0；同樣SKIPIF1<0為區(qū)域在SKIPIF1<0投影，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。·平面薄片質(zhì)量:SKIPIF1<0；空間物體質(zhì)量:SKIPIF1<0.·平面薄片重心:SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(M為質(zhì)量)若密度均勻，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0空間物體重心:SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若密度均勻，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0?！て矫姹∑D(zhuǎn)動慣量：SKIPIF1<0SKIPIF1<0?？臻g物體轉(zhuǎn)動慣量：SKIPIF1<0等?！€積分及曲面積分·對坐標的曲線積分◎如果曲線弧AB是由C1，C2…Cn幾部分組成，則在弧AB上的積分等于在各部分上積分之和?！蛉舾淖兎e分路線的方向，對坐標的曲線積分只是改變符號。◎設(shè)曲線C的參數(shù)方程是SKIPIF1<0，其中函數(shù)SKIPIF1<0具有一階連續(xù)導數(shù)(即曲線是光滑的)；當t單調(diào)地(增大或減小)由SKIPIF1<0變到SKIPIF1<0時，曲線C上的點經(jīng)過由A到B的弧AB。如果函數(shù)SKIPIF1<0在弧AB上連續(xù)，則積分SKIPIF1<0存在，并且可以表達為定積分：SKIPIF1<0◎如果取SKIPIF1<0為參數(shù)SKIPIF1<0，則曲線C的方程為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0◎：SKIPIF1<0◎設(shè)空間曲線SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0具有一階連續(xù)導數(shù)，如果函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則有計算公式：SKIPIF1<0這里當參數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)地(增大或減小)由SKIPIF1<0變到SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0上的點經(jīng)過從起點A到終點B的曲線弧AB?！￠L的曲線積分◎質(zhì)線質(zhì)量:SKIPIF1<0；重心:SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(M為質(zhì)量)；轉(zhuǎn)動慣量：SKIPIF1<0◎?qū)￠L的曲線積分與積分路線的方向無關(guān)。◎設(shè)曲線C的參數(shù)方程是SKIPIF1<0，其中函數(shù)SKIPIF1<0具有一階連續(xù)導數(shù)；當參數(shù)t從SKIPIF1<0變到SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，曲線C上的點經(jīng)過的路徑為弧AB。如果函數(shù)SKIPIF1<0在弧AB上連續(xù)，則積分SKIPIF1<0存在，并且可以表達為定積分：SKIPIF1<0?！じ窳止剑涸O(shè)：Ⅰ、閉區(qū)域D的邊界曲線C與任一平行于坐標軸的直線交點不多于兩個；Ⅱ、函數(shù)SKIPIF1<0在D上具有一階連續(xù)導數(shù)，則有格式公式：SKIPIF1<0，這里曲線積分是沿路線C的正向，二重積分是展布在區(qū)域D之上?！て矫婷娣e作為曲線積分：SKIPIF1<0·曲線積分與路線無關(guān)就等價于閉曲線上的曲線積分為零?！蛟O(shè)區(qū)域D是一個單連通域，函數(shù)SKIPIF1<0在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分SKIPIF1<0與路線無關(guān)(或沿著D上的任意閉曲線的曲線積分為零)之充分必要條件是SKIPIF1<0恒能滿足?！蛉艉瘮?shù)P、Q在單連通域D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則SKIPIF1<0為甘露醇函數(shù)SKIPIF1<0的全微分之充分必要條件是SKIPIF1<0恒能滿足，當SKIPIF1<0滿足時，函數(shù)u(不計一常數(shù)之差)可經(jīng)由普通積分求出，其形式為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是區(qū)域D內(nèi)的一個定點。·SKIPIF1<0(SKIPIF1<0注：若取曲面下側(cè)，則需變號，即SKIPIF1<0)·SKIPIF1<0·對面積的曲面積分：連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0在曲面SKIPIF1<0上對面積的曲面積分為：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是曲面SKIPIF1<0上各小片的面積?！γ娣e的曲面積分與曲面的方向無關(guān)，即：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0·奧斯特羅格拉特斯基公式◎設(shè)空間區(qū)域SKIPIF1<0的邊界曲面SKIPIF1<0與任一平行于坐標軸的直線交點不多于兩個；函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有奧斯特羅格拉特斯基公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，這里曲面積分是取在閉曲面SKIPIF1<0的外側(cè)，三重積分是展布在區(qū)域SKIPIF1<0之上?！蝮w積作為曲面積分：SKIPIF1<0?！蚺c曲面無關(guān)的條件：SKIPIF1<0◎曲面積分與所取曲面無關(guān)而只取決于曲面的邊界曲線之充分必要條件是SKIPIF1<0恒能滿足?！⒎址匠獭階微分方程的解含有n個任何常數(shù)，如果常數(shù)的數(shù)量與方程的階數(shù)相同，這種解就叫微分方程的通解。如：方程SKIPIF1<0的通形式為SKIPIF1<0。通解中的任意一組常數(shù)等于某一固定的常數(shù)，叫微分方程的特解。·若一階微分方程SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0可寫成SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，這種方程為齊次微分方程。齊次微分方程令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0求解?！ひ浑A線性方程：SKIPIF1<0；·齊次線性方程：SKIPIF1<0，分離變量得：SKIPIF1<0，積分得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0被SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0替換，得SKIPIF1<0，擴展于一階線性方程：得SKIPIF1<0，積分得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0?！ぐ嘏匠蹋篠KIPIF1<0，兩邊均除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0·全微分方程：方程SKIPIF1<0的左項恰好是一個函數(shù)SKIPIF1<0的全微分：SKIPIF1<0，方程的通解是由SKIPIF1<0所確定的隱函數(shù)。即確定是不是全微分議程的條件是SKIPIF1<0，通解為SKIPIF1<0?！じ唠A微分方程◎SKIPIF1<0型的微分方程：此種微分方程可用逐次積分求得通解?！騍KIPIF1<0型的微分方程：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，方程可換成SKIPIF1<0，通解為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解為SKIPIF1<0?！騍KIPIF1<0型的微分方程:取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。·線性微分方程：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時叫齊次微分方程?！蛟O(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0階齊次線性方程SKIPIF1<0的兩個解，則SKIPIF1<0也是該方程的解，其中C1、C2為任意常數(shù)(實數(shù)或復數(shù))。◎若自變量x的n個函數(shù)y1、y2、…、yn,如果存在著n個不全為零的常數(shù)k1、k2、…、kn,使得SKIPIF1<0，則這幾個函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)線相關(guān)，否則為線性無關(guān)。◎設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0階齊次線性方程SKIPIF1<0的線性無關(guān)的SKIPIF1<0個解，則SKIPIF1<0就是它的通解，其中SKIPIF1<0常數(shù)?！蛉绻鸖KIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，又SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，則SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解?！蛟O(shè)SKIPIF1<0階非齊次線性方程SKIPIF1<0的一個特解是SKIPIF1<0，而對應于方程SKIPIF1<0的SKIPIF1<0階齊次線性方程SKIPIF1<0的通解是SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0的通解是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫方程SKIPIF1<0的余函數(shù)?！こＯ禂?shù)齊次線性方程：特點是不用積