新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.2等差數(shù)列的前n項和第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第三冊

第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)探索并掌握等差數(shù)列的前n項和的有關(guān)性質(zhì)，會應(yīng)用性質(zhì)解題．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點知識點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，且公差為(2)若Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為________．(3)設(shè)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則anbn(4)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n(n∈N＋)時，則S2n＝________，且S偶－S奇＝________，S奇S偶(5)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n－1(n∈N＋)時，則S2n－1＝________，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，S奇S偶知識點二已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和的步驟：第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(shù)(或均為負數(shù))，則數(shù)列{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù))；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負數(shù))，可分段求和再相加．基礎(chǔ)自測1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則an＝()A．nB．n2C．2n＋1D．2n－12．已知等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差d＝________．3．等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若SnTn＝3n-4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a5＝5a3，則S9S5

課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性等差數(shù)列前n項和公式的靈活應(yīng)用例1(1)已知等差數(shù)列{an}中，若a1009＝1，求S2017；(2)已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn，Tn，且SnTn＝2狀元隨筆由等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式列方程組求解，或結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解．方法歸納由Sn＝na1+an2可知，S2n－1＝2n-1·a1+a2n-12＝(2n－1)·an，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn與等差數(shù)列{bn跟蹤訓(xùn)練1(1)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項和等于()A．160B．180C．200D．220(2)一個有11項的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為30，則它的中間項為________．(3)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.等差數(shù)列中奇、偶項的和例2在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項中，S奇S偶＝1113，則公差方法歸納1．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，S偶S奇2．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，S偶S奇注意點：(1)總項數(shù)為奇數(shù)時，其中間項的下標是1和總項數(shù)的平均數(shù)；(2)總項數(shù)為偶數(shù)時，其中間有兩項，中間第一項的下標為總項數(shù)的一半．跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}是項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和是50，偶數(shù)項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數(shù)列的公差是________．等差數(shù)列前n項和性質(zhì)及應(yīng)用例3已知等差數(shù)列{an}，Sm，S2m，S3m分別是其前m，前2m，前3m項和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.方法歸納在等差數(shù)列中，前n項和Sn的問題利用公式可列出關(guān)于a1和d的方程(組)．要注意等差數(shù)列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差數(shù)列且公差為m2d；Smm，跟蹤訓(xùn)練3設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27求數(shù)列{|an|}的前n項和例4數(shù)列{an}的前n項和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和．方法歸納求等差數(shù)列{an}前n項絕對值的和，首先要搞清哪些項是正數(shù)哪些項是負數(shù)，正的直接去掉絕對值，負的變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列{an}的前n項和的形式求解．跟蹤訓(xùn)練4在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項和．等差數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用例5某地在抗洪搶險中接到預(yù)報，24h后有一個超歷史最高水位的洪峰到達，為保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24h內(nèi)另筑起一道堤作為第二道防線．經(jīng)計算，如果有20輛大型翻斗車同時工作25h，可以筑起第二道防線，但是除了現(xiàn)有的一輛車可以立即投入工作外，其余車輛需從各處緊急抽調(diào)，每隔20min就可有一輛車到達并投入工作．問：指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續(xù)工作，才能保證24h內(nèi)完成第二道防線？請說明理由．方法歸納建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù)．跟蹤訓(xùn)練5假設(shè)某市2019年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底，該市歷年所建中低價房的累計面積(以2019年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？教材反思1．牢記2個知識點(1)等差數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)．(2)已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和的步驟．2．掌握1種規(guī)律方法等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題的應(yīng)用規(guī)律．3．注意2個易錯點(1)亂用性質(zhì)或結(jié)論致錯．(2)等差數(shù)列加絕對值后，認為其還是等差數(shù)列而致錯．第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]知識點一(2)m2d(4)n(an＋an＋1)nd(5)(2n－1)an[基礎(chǔ)自測]1．解析：當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，且a1＝1適合上式，故an＝2n－1(n∈N*)．答案：D2．解析：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案：33．解析：a7b7＝2a72b7＝a1答案：374．解析：S9S5＝9a1+a9答案：9課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)方法一∵a1009＝a1＋1008d＝1，∴S2017＝2017a1＋2017×20162d＝2017(a1＋1008d方法二∵a1009＝a1∴S2017＝a1+a20172×2017＝(2)方法一a5b5＝a1+a92b方法二∵SnTn＝2n+2∴設(shè)Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，∴a5b5＝20跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，∴S20＝20a1+a202(2)由條件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中間項a6＝5.(3)方法一∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝17×a1+a17方法二∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，∴S17＝17a1＋17×162d＝17(a1＋8d)＝17×方法三∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.答案：(1)B(2)5(3)見解析例2【解析】由S奇+S偶=120，S奇S偶=1113，得S奇【答案】2跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2m，∵末項與首項的差為－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②由①②得d＝－4.答案：－4例3【解析】方法一設(shè){an}的公差為d，依據(jù)題設(shè)和前n項和公式有ma②－①，得ma1＋m3m-12∴S3m＝3ma1＋3m3m＝3[ma1＋m3m-12d]＝3方法二Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30、70、S3m－100成等差數(shù)列，∴2×70＝30＋S3m－100.∴S3m＝210.方法三在等差數(shù)列{an}中，∵Sn＝a1n＋12n(n－1)d∴Snn＝a1＋(n－1)即數(shù)列Snn構(gòu)成首項為a1，公差為依題中條件知Smm、S2m2m∴2·S2m2m＝∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.跟蹤訓(xùn)練3解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6－S3，S9－S6構(gòu)成等差數(shù)列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.答案：B例4【解析】(1)證明：an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2)．∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝101－2n(n∈N＋)．又an＋1－an＝－2為常數(shù)，∴數(shù)列{an}是首項為a1＝99，公差d＝－2的等差數(shù)列．(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋)．①當1≤n≤50時，an>0，此時bn＝|an|＝an，∴{bn}的前n項和S′n＝100n－n2.②當n≥51時，an<0，此時bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得數(shù)列{bn}的前n項和為S′n＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2500－(100n－n2)＝5000－100n＋n2.由①②得數(shù)列{bn}的前n項和為S′n＝100n跟蹤訓(xùn)練4解析：由a1＝－60，a17＝－12，知等差數(shù)列{an}的公差d＝a17-a1所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.所以，{an}中前20項是負數(shù)，從第21項起是非負數(shù)．設(shè)Sn和Tn分別表示{an}和{|an|}的前n項和．當n≤20時，Tn＝－Sn＝－[－60n＋3nn-12]＝－32n當n>20時，Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋3nn-12－2(－60×20＝32n2－1232n＋綜上，Tn＝-例5【解析】設(shè)從現(xiàn)有一輛車投入工作算起，各車的工作時間，依次組成數(shù)列{an}，則an－an－1＝－13∴數(shù)列{an}構(gòu)成首項為24，公差為－13設(shè)還需組織(n－1)輛車，則a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn-12∴n2－145n＋3000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.∴25≤n≤120，∴nmin＝