新教材2023版高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第一冊

第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)[課標(biāo)解讀]1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì).2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．教材要點(diǎn)要點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2by2a2-x2b性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍________或________，y∈R________或________，x∈R對稱性對稱軸：________；對稱中心：________頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：________；虛軸：線段B1B2，長：________；半實(shí)軸長：________，半虛軸長：________離心率e＝ca∈漸近線y＝±bay＝±ab狀元隨筆(1)雙曲線的范圍說明雙曲線是非封閉曲線，而橢圓則是封閉曲線．(2)由于ba＝c2-a2a(3)雙曲線的漸近線決定了雙曲線的形狀．由雙曲線的對稱性可知，當(dāng)雙曲線的兩支向外無限延伸時，雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永遠(yuǎn)不會相交．要點(diǎn)二等軸雙曲線________________的雙曲線，它的漸近線方程是________，離心率為________．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．()(2)以y＝±2x為漸近線的雙曲線有2條．()(3)方程y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為(4)離心率e越大，雙曲線x2a2-y22．雙曲線y24－x2＝1的實(shí)軸長為(A．2B．4C．62D．3．實(shí)軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2－y24B．y2－x24C．x24-y216D．x2－y24＝1或y2－x4．雙曲線x22－y2＝1的漸近線方程是(A．y＝±12xB．y＝±2C．y＝±2xD．y＝±2x5．雙曲線9y2－16x2＝144的離心率e＝________．題型1由雙曲線的方程研究雙曲線的性質(zhì)例1求雙曲線4x2－9y2＝－4的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．方法歸納由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟鞏固訓(xùn)練1(1)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9，則曲線x225-y29-k＝1A．離心率相等B．虛半軸長相等C．實(shí)半軸長相等D．焦距相等(2)已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，離心率題型2由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)軸長與虛軸長之比為2∶3，且經(jīng)過點(diǎn)P(6，2)，求雙曲線方程；(2)求與雙曲線x216-y24＝1(3)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±12x，焦距為10方法歸納用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的4種方法鞏固訓(xùn)練2(1)已知雙曲線C過點(diǎn)(1，2)且漸近線為y＝±3x，則雙曲線C的方程是()A．3x2－y2＝1B．x2－3y2＝1C．y2－3x2＝1D．3y2－x2＝1(2)已知雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)為F(25，題型3求雙曲線的離心率例3(1)已知點(diǎn)A(－4，0)到雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)A．54B．C．43D．(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊A．4＋23B．3－1C．3+12D．3方法歸納求雙曲線離心率的2種常用方法鞏固訓(xùn)練3(1)雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，A．2B．3C．2D．4(2)過雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1A．22B．2－C．2D．2＋1易錯辨析忽略對焦點(diǎn)所在軸的討論致誤例4已知雙曲線的漸近線方程是y＝±23x，焦距為226解析：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，由ba=23，c當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，由a解得b2=18，a故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218-y28易錯警示易錯原因糾錯心得誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上，得到答案：x218-y2當(dāng)題目條件沒有明確雙曲線的焦點(diǎn)所在軸時，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．同時注意兩種情況下，漸近線方程是有區(qū)別的：焦點(diǎn)在x軸上時，漸近線方程為y＝±bax；焦點(diǎn)在y軸上時，漸近線方程為y＝±ab第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一x≤－ax≥ay≤－ay≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)2a2bab(1，＋∞)要點(diǎn)二實(shí)軸和虛軸等長y＝±x2[基礎(chǔ)自測]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由題知a2＝4，b2＝1，所以雙曲線的實(shí)軸長為2a＝4.答案：B3．解析：由題意知2a＝2，2b＝4，∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，又雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定，故選D.答案：D4．解析：由雙曲線方程得：a＝2，b＝1，∴漸近線方程為：y＝±bax＝±22x.答案：B5．解析：雙曲線9y2－16x2＝144可化為：y216所以a2＝16，b2＝9，所以離心率為：e＝a2+b2a答案：5題型探究·課堂解透例1解析：雙曲線方程可化為：y249－x2則雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，a2＝49，b2＝1，∴c2＝49＋1＝∴a＝23，b＝1，c＝13∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，±23；焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，±133；實(shí)軸長為2a＝43；虛軸長為2b＝2；離心率e＝ca＝132鞏固訓(xùn)練1解析：(1)∵0<k<9，則9－k>0，25－k>0，雙曲線x225-y29-k＝1的實(shí)半軸長為5，虛半軸長為9-雙曲線x225-k-y2焦距為225-k+9＝234因此，兩雙曲線的焦距相等，故選D.(2)因?yàn)閑＝ca＝1+ba所以ba＝3，又雙曲線的焦點(diǎn)在x所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±3x.答案：(1)D(2)y＝±3x例2解析：(1)設(shè)雙曲線方程為y2a2-x2b2＝1(a>0又∵雙曲線過點(diǎn)P(6，2)，∴4a2-依題意可得ab=故所求雙曲線方程為34y2－13x2(2)雙曲線x216-y24＝1可設(shè)所求雙曲線的方程為x2a2-y2b由題意可得c＝25，即a2＋b2＝20，將點(diǎn)(32，2)代入雙曲線方程可得，18a2-解得a＝23，b＝22，所求雙曲線的方程為x212(3)方法一當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b2＝1ba＝12，2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2∴雙曲線方程為x220同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，可得雙曲線方程為y25即所求雙曲線方程為x220-y25方法二由漸近線方程為y＝±12x可設(shè)雙曲線方程為x24－y2＝λ(λ≠0)，即由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.∴所求雙曲線方程為x220-y25鞏固訓(xùn)練2解析：(1)由y＝±3x，可得y2＝3x2，可設(shè)雙曲線的方程為3x2－y2＝λ(λ≠0)，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，可得3－2＝λ，即λ＝1，所以雙曲線的方程為3x2－y2＝1.(2)由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知c＝25，由e＝ca＝52，可得a＝4，所以b＝c2-a2答案：(1)A(2)x216例3解析：(1)由雙曲線的對稱性，不妨取雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b由已知得125＝4ba2+b2，即9c2＝25(c2－a2)，16c2＝25a2，4c＝5a，(2)依題意知，若雙曲線焦點(diǎn)為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，∴|F1F2|＝2c，則△MF1F2的高為3c，即M(0，3c)，∴N-c2，32c，代入雙曲線方程：c24a2-3c24b2＝1，整理得：∵b2＝c2－a2，∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±23，∵e>1，∴e＝3＋1.答案：(1)A(2)D鞏固訓(xùn)練3解析：(1)因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b又其中一條漸近線的傾斜角為120°，所以－ba＝t