圖形的旋轉(zhuǎn)、平移與對(duì)稱(chēng)（測(cè)試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（浙江專(zhuān)用）

2023耳中老裁號(hào)總象引一齡濟(jì)體例（新江專(zhuān)用，

專(zhuān)題26圖形的莪售、牛秒易對(duì)森（洌祓J

興微:聯(lián)名，得臺(tái)，

注意事項(xiàng)：

本試卷滿(mǎn)分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置.本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬

試題、階段性測(cè)試題.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，

這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,C,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

故選：B.

2.（2022?濱江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,4）,將線段AB

水平向右平移5個(gè)單位，則在此平移過(guò)程中，線段AB掃過(guò)的區(qū)域的面積為（）

A.2.5B.5C.10D.15

【分析】由于線段AB向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，則段AB在平移過(guò)程中掃過(guò)的圖形的平行四邊形的底為

5,高為2,然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：的坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,4）,線段48向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，

線段A8在平移過(guò)程中掃過(guò)的圖形的面積=5義（4-2）=10.

故選C.

3.（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,AB=J點(diǎn)，tan8=工，將△A3C繞點(diǎn)

2

C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AbC的位置，且點(diǎn)5,在45上，A'B'交AC于點(diǎn)。，則△4'QC的面積為（)

D.4

572143

【分析】先根據(jù)的正切值結(jié)合勾股定理可得出8c和AC的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)"作3,尸，8c于點(diǎn)八過(guò)點(diǎn)

C作C￡_L88'于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)。作力G，A'C于點(diǎn)G,根據(jù)正切值可得出CE的值，根據(jù)等面積可求出

B,尸的值，根據(jù)勾股定理可得出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan/夕CF的值，解AA'QC即可得出。G的值,

進(jìn)而可得出0C的面積.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=4S3>tanB=Z,

2

設(shè)BC=2x,AC=lx,

BC2+AC2=AB2,

(2x)2+(lx)2=(V53)2

；.x=l（負(fù)值舍去）.

：.BC=2,AC=1.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=B'C,ZBCB'=ZACA',NA=N4',A'C=AC=1.

二tan/A=tan/A'——

7

過(guò)點(diǎn)"作8'于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CEL3B'于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。G，A'C于點(diǎn)G,

8c=2,

.吁4屈14疝

??LJLL—,■，L匕---------

5353

?BB，一蘆，5W

對(duì)于△BOB'，LBB，?CE=“F?BC,

22

■*(x5^-x53-=_lx&FX2,

253532

解得8,尸=因，

53

由勾股定理可知，CF=92.

53

AtanZB(CF=^-L=21,

CF45

設(shè)DG=2m,

???A'G=lm,CG=-^m,

14

7/n+-^-m=7>解得/?=里>.

1453

:.匕A'CC的面積=上乂，C?DG=』?2，"?7=7"7=2匹.

2253

故選：B.

4.（2022?景寧縣模擬）如圖，在矩形A8CD中，AB=5,AD=4,E是邊CO上一動(dòng)點(diǎn)，將△4OE沿4E翻

折得到△人產(chǎn)￡,連結(jié)BF,若E,F,B三點(diǎn)在同一條直線上，則。E的長(zhǎng)度等于（)

C.V5D.2

【分析】根據(jù)將△AQE沿AE翻折得到△AFE,可得BF=3,設(shè)。E=FE=x,則CE=5-x,BE=x+3,

在RtZ^BCE中，有4?+(5-x)2=(x+3)2,解得QE=2.

【解答】解：?.?四邊形4BCD是矩形,

.?.48=8=5,AD=BC=4,ZD=ZC=90°,

:將△AQE沿AE翻折得到△AFE,

：.AF=AD=4,NAFE=ND=90°=NAFB,DE=FE,

在RtZsAFB中，BF=4AB2_AF2=3,

設(shè)DE=FE=x,則CE=5-x,BE=x+3,

在RtZ\BCE中，BC2+C?=B*,

.*.42+(5-x)2=(x+3)2,

解得x=2,

：.DE=2,

故選：D.

5.(2022?常山縣模擬)如圖，點(diǎn)P是Rt^ABC斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別在AC、BC邊上，連結(jié)PD、

PE,若AC=24,8c=18,CD=8,CE=6,則當(dāng)PD+PE取得最小值時(shí)AP的長(zhǎng)是()

c

【分析】連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DG1AB于G,延長(zhǎng)DG到F,使FG=DG,連接EF,交于P,則

PD+PE=PF+PE=EF,此時(shí)PO+PE取得最小值.證明△C￡>ES/\CAB,得出NCDE=/A,DE//AB,

由cosA=cosNCCE,得出幽=型，求出AG=@^.證明尸G是的中位線，得出PG=>1￡>￡■=

ADDE52

5,那么4P=AG+PG=毀.

5

【解答】解：如圖，連接。E,過(guò)點(diǎn)。作。GLA8于G,延長(zhǎng)OG到凡使FG=DG,連接EF,交A8

于P,則PD+PE=PF+PE=EF,此時(shí)PD+PE取得最小值.

'：AC=24,BC=18,CQ=8,CE=6,ZC=90°,

?>-D￡=VCD2X；E2=V82+62=10-

*LA嚕DU=/o

：./\CDE^ACAB,

：.ZCDE=ZA,

：.DE//AB,

'/cosA=cosZCDE,

?AG-CDmnAG—8

**ADDE'24-8元'

."G=星.

5

VPG//DE,FG=DG,

尸G是△F￡>￡：的中位線，

：.PG=^DE=5,

2

：.AP=AG+PG=-^-+5=段.

55

故選：B.

6.（2022?衢州一模）如圖，將矩形紙片ABC。沿EF、GN折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合于點(diǎn)〃，點(diǎn)。與點(diǎn)”

重合，點(diǎn)B落在邊A。上的點(diǎn)P處，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.已知空=生FN=l0cm,則A8的長(zhǎng)為（）

PG3

A.^-cmB.cmC.^-cmD.9cm

555

【分析】作PR_L8C,證明PF=PE,PN=PG,NFPN=90°,解直角三角形PMM

:.NPRB=9G°,

..?四邊形A8C。是矩形,

AZA=ZB=90°,AD//BC,

:"BEF=NPEF,四邊形ABRP是矩形,

：.PR=AB,

由折疊得，

NPFE=NBFE,NFPM=NB=90°,

:.NPFE=/PEF,NFPN=90°,

：.PF=PE,

同理可得：PN=PG,

.PFPE4

,?麗同而，

設(shè)PF=4a,PN=3a,

：.FN=5a,

*'?5a=10,

/.PF=4a=8,PN=3a=6,

..11

?SAFFN^-PN-PR=yPF-PN'

.pp=PF?PN=8X6=24

FN=10~5~,

:.AB=PR=2^.,

5

故選：A.

7.（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）矩形紙片ABC。中，BC=2AB,將紙片對(duì)折，使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，得折痕

EF,將紙片展開(kāi)鋪平后再進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)8與頂點(diǎn)。重合，得折痕MM展開(kāi)鋪平后如圖所示.若折

)

C.喑

55

【分析】過(guò)。作。于，，由翻折可得NEOA=NEOC=90°,ZMOD=ZMOB=90,即可得

NDOH=/MOE=e,根據(jù)3c=2A8,設(shè)A8=，〃=C。，則BC=2"?=A￡),即得AC=V^"?,OA=OC=

。。=近?"?，由面積法得?！?理曳。=二小，在RtZ\O。"中，sinNQCW=1H=2,即得sinO=&.

2ACV5OD55

【解答】解：過(guò)。作于4,如圖：

AZEOD+ZDOH=90°,NMOE+NEOD=90°,

：.ZDOH^ZMOE=Q,

由矩形紙片ABC。中，8c=2AB,

設(shè)A8=nz=CQ,則8c=2m=A。，

,'?^C=VAD2+CD2-

J5

OA=OC=OD=S-"?,

2

'：2S^ADC=AD-CD=AC'DH,

...。“=媽包,=二“1,

ACV5

在RtADOH中，

2

sin/。。?也=9=生

OD匹5

2

.".sin0=A,

5

故選：A.

8.（2022?瑞安市一模）如圖，是半徑為4的。0,弦AB平移得到CO（A8與CD位于。點(diǎn)的兩側(cè)），且線

段C0與OO相切于點(diǎn)E,DE=2CE,若A,O,。三點(diǎn)共線時(shí)，AB的長(zhǎng)(）

0

A.4B.5C.2A/7D.45/2

【分析】接OE,OE的反向延長(zhǎng)線交A8于R由切線的性質(zhì)得EFJ_CZ),貝U得4/=8/=工

2

AB,可得51=迎=3,求出。凡再由勾股定理得AF,則A8=2AF,即可求出AB的長(zhǎng).

OEDE4

【解答】解：連接。E,0E的反向延長(zhǎng)線交A8于凡如圖，

QE

：(7。與。0相切于點(diǎn)￡,

：.EF±CD,

由平移的性質(zhì)得：CD//AB,CD=AB,

：.EF±AB,

：.AF=BF=^AB,

2

在RtZXAO尸中，0A=4,

<9F=VOA2-AF216^--

,:DE=2CE,

:.DE=2CD=2AB,

33

\'CD//AB,

??---------------------二—

44

."8=24，

故選：c.

9.（2022?婺城區(qū)模擬）正方形A8CQ與正方形AEFG如圖所示，AB=5,AG=4.現(xiàn)將正方形AEFG繞點(diǎn)

A旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NC8G最小時(shí)，點(diǎn)F到邊的距離為（）

A.①B.衛(wèi)C.—D.3

5555

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得G點(diǎn)在以A為圓心，AG為半徑的圓上，當(dāng)BG與圓A相切時(shí)，NC8G有最

小值，此時(shí)G、F、B三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,由sinNA8G=^=迎，求出用尸

51

即為所求距離.

【解答】解：點(diǎn)在以A為圓心，AG為半徑的圓上,

當(dāng)8G與圓A相切時(shí)，NCBG有最小值,

\'ZAGF=90°,

；.G、尸、8三點(diǎn)共線，

過(guò)點(diǎn)F作MF1AB交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

：A8=5,AG=4,

：.BG=3,

mi,

；sinNA8G=4=T

51

5

點(diǎn)到AB的距離是?！,

5

故選：C.

D

10.(2022?仙居縣二模)如圖，把正方形ABC。繞著它的對(duì)稱(chēng)中心。沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到正方形A'

B'CD',A'B'和8C'分別交AB于點(diǎn)E,F,在正方形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NEOF的大小()

A.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大

B.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而減小

C.不變，都是60°

D.不變，都是45°

【分析】連接AO,BO,A'O,AB',依據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得到七，進(jìn)而得出

(555),根據(jù)全等三角形的的性質(zhì)，可得NAOE=NB'OE.同理可得，NBOF=NBOF,根據(jù)

ZB,OE+ZB'OF^1ZAOB,可知在正方形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NEOF的大小不變，是45°.

2

【解答】解：如圖所示，連接A。，80,A'O,AB',

?.?正方形48co繞著它的對(duì)稱(chēng)中心。沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到正方形A'B'CD1,

：.AO=B'O,

：.ZOAB'=ZOB'A,

又：NOAE=/OB￡=45°,

：.ZEAB'^^EB'A,

：.AE=B'E,

又,：EO=EO,

：./\AOE^/\B,OE(SSS),

：.NAOE=NB'OE.

同理可得，ZBOF=ZB'OF,

.../EOF=/B'OE+/8'OF=2NAO8=LX90°=45°.

22

...在正方形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NEOF的大小不變，是45。.

故選：D.

二、填空題（本大題共6小題,每小題4分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上

11.（2022?新昌縣二模）如圖,將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36°,得到線段AC.若AB=10,則點(diǎn)B經(jīng)

過(guò)的路徑BC長(zhǎng)度為的（結(jié)果保留TT）.

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式，直接代入計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式得標(biāo)的長(zhǎng)度為：

36兀X10=?

180

故答案為：2n.

12.（2022?上城區(qū)二模）已知點(diǎn)A和點(diǎn)8為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,將點(diǎn)A向右

平移3個(gè)單位至點(diǎn)8,則線段AB上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（旅，1）.

【分析】正確作出圖形，利用參數(shù)m表示點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

【解答】解:如圖，點(diǎn)P（，〃，1）（iW/〃W4）,

故答案為:Cm,1）忘4）.

13.（2022?常山縣模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,8c=5,AC=12,。為AC邊上一點(diǎn)，沿8。

將三角形進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，記8E與AC邊的交點(diǎn)為F,若DELAC,則CF的長(zhǎng)為—m

【分析】根據(jù)勾股定理可以求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得NAZ）B=NE￡>8,BE=AB,再求出/

4￡>B=135°,然后求出/BCC=45°,再求出C￡>,根據(jù)AD=AC-CQ求出AO,最后根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)求出C尸的長(zhǎng)即可.

【解答】解：；NC=90°,BC=5,AC=\2,

AB=-^AC2+BC2=^122+52=3

由翻折的性質(zhì)得，ZADB=ZEDB,ED=AD,

'：DE±AC,

.?./4OE=90°,

AZADB=1.（360°-90°）=135°,

2

AZBDC=1800-N4DB=180°-135°=45°,

△BCD是等腰直角三角形，

.?.CO=BC=5,

：.ED=AD=AC-CD^U-5=7,

NBCF=NEDF,ZBFC=ZEFD,

:.XBCFs叢EDF,

.CF=BC

"DF麗’

即q_=§,

5-CF7

解得CF=空.

12

故答案為：25.

12

14.（2022?路橋區(qū)一模）如圖，在△ABC中，/C=90°,AC=BC,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)"度（0

<aW180）得到△A18C1,。是48的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A,Ci,。在同一條直線上時(shí)，〃的值為60

【分析】根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線得。OLAiB,CID=BD=1A.B,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得4B=AB,

2

可得出即可得/A84=60°,即4的值為60.

2

【解答】解：在△A8C中，NC=90",AC=8C,將△A8C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0<aWl80）得到

△AiBCi,

???NC1=9O>,AiB=AB,ZABC=ZAiBCi=45°,A\C\=BCi,

■￡>是48的中點(diǎn),

AC\D±AiB,C\D=BD=^AiB,

2

:.BD=^LAB,

2

?.?點(diǎn)A,Ci,。在同一條直線上，

：.ZBAD=30°,

：.ZABA\=60°,即a的值為60.

故答案為：60.

15.（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)E是菱形A3。的邊C￡>上一點(diǎn)，將△4ZJE沿AE折疊，點(diǎn)。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)尸恰好在邊BC上，設(shè)至=上

CE

（1）若點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，則k=1；

（2）若點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，則k=2.

【分析】(1)由折疊性質(zhì)得O￡=CE,進(jìn)而求得比值；

(2)延長(zhǎng)AE,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”，證明△AQEs^aCE,便可求得結(jié)果.

【解答】解：(1)當(dāng)尸與C重合時(shí)，DE=CE,

故答案為：1；

(2)延長(zhǎng)AE,與8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃,

：.AD//BC,AD=BC,

:.乙DAH=4FHA,

由折疊性質(zhì)知，AO=AF,ZDAH=ZFAH,

：.ZFAH=ZFHA,

.,.FH^FA^AD,

是8c的中點(diǎn)，

；.CF=LBC,

2

：.CF=^FH,

2

'：AD//CH,

AADEs2HCE,

?.DE=-A--D-=y0

CEHC

故答案為：2.

16.(2022?婺城區(qū)模擬)圖1是一款平衡蕩板器材，其示意圖如圖2,A、。為支架頂點(diǎn)，支撐點(diǎn)B,C,E,

產(chǎn)在水平地面同一直線上，G、，為蕩板上固定的點(diǎn)，GH//BF,測(cè)量得AG=GH=OH,。為。尸上一點(diǎn)

且離地面1〃?，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AG始終與?！ū３制叫?如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A,Q,，在同一直線上時(shí)，連

結(jié)G'Q,測(cè)得G'Q=\.6m,ZDQG'=90°,此時(shí)蕩板G77距離地面0.6〃?.

【分析】(1)先根據(jù)判斷AG=GH=DH判斷AH1垂直平分。G,從而得G'Q=￡>Q=1.6；

(2)得出MQ=G'M再在△GW。中用勾股定理求出GW,即可求得點(diǎn)。離地面的距

離.

【解答】解：(1)如圖，過(guò)。作GH的垂線交GH于N,交A。延長(zhǎng)線于M,

'：AG=GH=DH,

：.AD=AG',GH=?！?

?垂直平分DG',

VA,Q,"在同一直線上,

/.GQ=DQ=1.6,

故答案為：1.6：

(2)VZDQG'=90°，

，NGQN+NOQM=90°,

VZDQM+ZQDM=90°,

:?NGQN=NQDM,

：.4DMQ經(jīng)4QNGQAAS),

,MQ=GN,

???。為。尸上一點(diǎn)且離地面1小，此時(shí)蕩板G‘H1距離地面0.6仙

QN=1-0.6=04〃，

,n,

G'N={G，Q2_QN2=-1V15

；.Mg=-|V15w,

...點(diǎn)〃離地面的距離為（看\后+1）m.

故答案為：（■|々1^+1）"1.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（2022?北侖區(qū)校級(jí)三模）如圖，在5X5的方格紙中，有△ABC,請(qǐng)分別按要求作圖.

（1）在圖1中，找到一格點(diǎn)。，使得與陰影部分組成的新圖形為軸對(duì)稱(chēng)，但非中心對(duì)稱(chēng)圖形（作出一個(gè)

即可）；

（2）在圖2中，找到一格點(diǎn)。，使得與陰影部分組成的新圖形為中心對(duì)稱(chēng)，但非軸對(duì)稱(chēng)圖形（作出一個(gè)

圖1圖2

【分析】（1）結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，取格點(diǎn)。，連接40，CD即可.

（2）結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，以A8,BC為邊,作平行四邊形A8CO即可.

【解答】解：(I)如圖1所示.

(2)如圖2所示.

圖1圖2

18.(2022?黃巖區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(3,2),8(1,1),C(4,

0),△DEF各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為。(3,-4),E(5,-3),F(2,-2).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△4‘B'C；

(2)若△48C與關(guān)于點(diǎn)尸成中心對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(3,-1):

(3)在y軸上找一點(diǎn)。，使得QA+QO最小.

【分析】(1)由題意確定點(diǎn)4,B',。的位置，再連線即可.

(2)根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解即可.

(3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A“，連接4"力,交y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q.

【解答】解：(I)如圖，B'C'即為所求.

y

(2)?:B(1,1),E(5,-3),

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為上電=3,縱坐標(biāo)為1+(-3)=-

22

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,-1).

故答案為：(3,-1).

19.(2022?鹿城區(qū)二模)在RtZ\ABC中，3遙，BC=475,過(guò)點(diǎn)C作CG〃/IB,CF平分/ACC交

射線BA于點(diǎn)巴。是射線CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)4。交C尸于點(diǎn)E.

(1)求CF的長(zhǎng).

(2)當(dāng)AACE是等腰三角形時(shí)，求C￡＞的長(zhǎng).

(3)當(dāng)B關(guān)于44的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)9落在CF上時(shí)，求邁的值.

AE

cDGG

(備用圖)

【分析1(1)先用勾股定理求出AC=5?,再根據(jù)CF平分NACD,CG//AB,推出/F=/ACF,進(jìn)而

求出CF的長(zhǎng)；

(2)分情況討論①當(dāng)/ECA=/AEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，證明△ACEs/Xcai,推出比例線段，

求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)CG〃AB,證明△OCEs/XAFE,推出比例線段，求CQ的長(zhǎng)；②當(dāng)NCAE=NAEC

時(shí)，/MCE是等腰三角形，如圖所示：做題思路與第一種情況差不多；③NCEA>NCFA,NF=NACF,

推出NCE4>ZACE,推出/CE4W/ACE.

(3)作。垂足為M,作8'NLBF,垂足為N,證明四邊形C8M。是矩形，根據(jù)三角函數(shù)求出

線段比值，tanNF=旦二』■=工，再證明△AZM/SAB'BN,進(jìn)而求出些的值.

NF2AE

【解答】解：(1)在RtZXABC中，AB=375.BC=475,

.'.AC—5,\[s，

：C尸平分NACO,

ZACF=ZDCF,

\'CG//AB,

：.4F=NDCF,

：.ZF=ZACF,

.,.AC=AF=5?,

BF=AB+AF=8代，

在RtZ\BCF中，CF=^CB2+BF2=20,

(2)①當(dāng)NECA=NAEC時(shí)，ZXACE是等腰三角形，

ZC4E=NAEC=NF=NDCF,

，AACE^ACM,

.AC=CE

.而CA"

.5V5_CE

?.---------------^=~?

20575

：.CE=2^.,

4

J.EF^CF-CE=^-,

4

\'CG//AB,

:.XDCEsXAFE,

.CD=CE

"AFEF'

...8=25在:

11

②當(dāng)/C4E=NAEC時(shí)，△ACE是等腰三角形，如圖所示:

（備用圖）

.*.AC=CE=5代，

：.EF^CF+CE=20-5?,

??CD=CE

,AF而，

.rn100+25泥

11

③???NCEA>NC7^,ZF=ZACF,

：.ZCEA>ZACEf

：.ZCEA^ZACEf

綜上所述：CD的長(zhǎng)為空區(qū)或l00+25泥；

1111

(3)作。垂足為M,作8'NLBF,垂足為M

AZCDM=ZDMA=9O°,

，四邊形C8M。是矩形,

:.DM=CB=4疾,

關(guān)于AQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為乩

：.BB'LAD,AB=AB'=3通,

VtanF=區(qū)==A

BF8V52

:.FN=2B'N,

設(shè)B'N=x,則FN=2x,

：.AN=AF-FN=5層-2x,

■:A^P+NB'2=AB'2,

；?（遂-2乂）2+/=（3^）2，

解得x=2+2代或x=-2+2^5,

當(dāng)x=-2+2遙時(shí)，AN=yf5-4<0,（舍去），

：.B'N=2+2遙，

:.AN=4+正）,

：.BN=AB+AN=4+4娓,

'：ZB'BA+ZBAN=ZBAN+ADM=90°,

：.ZB'BA=ZADM,

.?.△AOMs△4BN,

?DM=AM

"BNBZN'

.4V5_AH

,4+4V5-2+2V5'

AAA/=3,/5-5,

：.BM=CD=AB-AM=5,

?DE=CD=5#

*AEAF5V5~5-

20.（2022?仙居縣二模）如圖，已知矩形紙片ABC。的長(zhǎng)BC=8,寬AB=4,點(diǎn)E,尸分別是邊BC,A。上

的點(diǎn)，AF=CE.把矩形紙片沿著直線EF翻折，點(diǎn)A,2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B'.直線A'C交射線AO

于點(diǎn)G.

（1）若EB'交A￡>于點(diǎn)P,求證：PE=PF,PB'=PD；

（2）若EB'交A。于點(diǎn)尸，求證：四邊形CEFG是平行四邊形;

（3）若四邊形CEFG為菱形，求它的對(duì)角線長(zhǎng)的比值空.

【分析】（1）由翻折可得根據(jù)平行線的性質(zhì)可得則

可得PE=PF.根據(jù)尸B'=BC-CE-PE,PD=AD-AF-PF,CE=AF,可得

（2）連接AP,CP,由翻折可得AB=AE,Zfi=Zfi'=90°,AF=A'F=CE,由矩形性質(zhì)可得BC〃4D,

AB=CD,進(jìn)而可得A'8'=C￡>,可證得△C￡>P絲△AbP,則A'P=CP,NPCH=/GA'P,證明△<:￡■「烏

△AFP,可得/項(xiàng)'尸=/ECP,NFA，G=NECH,結(jié)合平行線的性質(zhì)可得/FGA=即4'尸=尸6,

則FG=EC,根據(jù)平行四邊形的判定定理可得出答案.

（3）當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí)，連接CF,EG,設(shè)菱形CEFG的邊長(zhǎng)為x,PIOCE=EF=FG=CG=x,DG=8

-2x,在RlZ\CG￡）中，由勾股定理可得（8-2x）2+42=/,解得》=空（舍去）或x=4,則此時(shí)點(diǎn)A,、

3

G與點(diǎn)。重合，點(diǎn)8于點(diǎn)C重合，即菱形CEFG為正方形，即可得出答案；當(dāng)點(diǎn)G在4。的延長(zhǎng)線上

時(shí)，連接CF,EG,過(guò)點(diǎn)E作EMJ_AD于點(diǎn)M,設(shè)菱形CEFG的邊長(zhǎng)為x,則CE=EF=FG=CG=x,

DG=2x-8,在RtaCG。中，由勾股定理可得（2x-8）2+42=）,解得x=22■或x=4（舍去），貝ljOF

3

=邑，8E=AM=-1,MG=12,利用勾股定理求出CHEG,即可得出答案.

33

【解答】（1）證明：由翻折可得

;四邊形ABC。為矩形，

：.BC//AD,BC=AD,

：.ZBEF=ZEFD,

:.NEFD=NB'EF,

：.PE=PF.

"：PB'=BC-CE-PE,PD=AD-AF-PF,CE=AF,

：.PB,=PD.

(2)證明：連接AP,CP,

A，

由翻折可得N8=N8=90°,AF=A'F=CEf

???四邊形A8c。為矩形，

:?BC〃AD,AB=CDf

：?A"B'=CD,

?；PB'=PD,NB=ND,

.'.ACDP^AA'B'P(SAS),

：.A'P=CP,

：.ZPCH=ZGA'P1

?：PF=EP,A'F=CE,A'P=CP,

：./\CEP^/\A:FP(SSS),

：.ZFA'P=ZECP,

；?NFA，G=NECH,

*：BC//AD,

：.ZECH=ZFGA\

AZFGA'=ZM'G,

：.A'F=FGt

：?FG=EC,

???四邊形CEFG是平行四邊形.

(3)解：當(dāng)點(diǎn)G在AD上時(shí)，連接CREG,

設(shè)菱形CEFG的邊長(zhǎng)為心

則CE=EF=FG=CG=x,

\*AF=CE=xf

：.DG=S-2xf

在RtZXCGD中，由勾股定理可得,

(8-2x)2+42—x2,

解得x=空(舍去)或x=4,

3

此時(shí)點(diǎn)4、G與點(diǎn)。重合，點(diǎn)9于點(diǎn)C重合,

備用圖1

即菱形CEFG為正方形,

：.CF=EG,

???C,—F-_--,1.

EG

當(dāng)點(diǎn)G在AQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CF,EG,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M,

設(shè)菱形CE尸G的邊長(zhǎng)為x,

則CE=EF=FG=CG=x,

'：AF=CE=x,

...OG=2x-8,

在RMiCGO中，由勾股定理可得，

⑵-8）2+42=X2,

解得x=28或x=4（舍去），

3

.,.DF=A,BE=AM=生,MG=\2,

33

CF=C224，

VD+DF=千o

￡C=VEM2+MG2,

?CF1

??''.二.

EG3

綜上所述，絲的值為1或1.

EG3

21.（2022?諸暨市二模）如圖，在RtZ\ABC中，/C=90°,BC=6,AC=8,P為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P

作PQ〃AB交4c于。點(diǎn)，設(shè)PC=x.

（1）如圖①，當(dāng)x=2時(shí)，求AQ的長(zhǎng);

（2）如圖②，當(dāng)x=3時(shí)，把△CPQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0度（0<p<90°）,使A、P、Q三點(diǎn)一線，求

此時(shí)AQ的長(zhǎng);

（3）如圖③，將△PCQ沿PQ翻折，得到△?。例，點(diǎn)例是否可以落在△4BC的某邊中垂線上？如果可

以，求出相應(yīng)的x的值；如果不可以，說(shuō)明理由.

B

①②③

【分析】（1）設(shè)AQ=y,由尸。〃/18,推出空=CQ,由此構(gòu)建方程求解即可；

CBCA

（2）證明△BCPS^AC。，推出里=坦=§,ZCBP^ZCAQ,推出NBPT=/ACT=90°,設(shè)PB=

AQAC4

3k,AQ=4k,利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；

（3）分兩種情形：如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)M落在8c的中垂線JN上時(shí)，連接CM,延長(zhǎng)CM交A3于點(diǎn)

H.如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)M落在4C的中垂線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)/?,設(shè)CP=PM=y.分別利

用勾股定理構(gòu)建方程求解.

【解答】解：（1）如圖①中，設(shè)AQ=y.

PQ//AB,

.CP=CQ

"CBCA,

???2-8---y,

68

.?3，

3

??.4。=生：

3

(2)如圖2中，設(shè)8c交AP于點(diǎn)T.

,.3=3,

：.CP=3,CQ=4,pg=^32+42=5,

?.?/PCQ=NBC4=90°,

.'.ZPCB^ZACQ,

..CP=CB=2

'CQCAT

：./\BCP^/\ACQ,

.?里=里=2，ZCBP=ZCAQ,

AQAC4

NBTP=ZATC,

N8PT=N4CT=90°,

.,.可以假設(shè)PB=3&,AQ=4k,

7VCB2+AC2=^62+82=1O,P0=VPC2-H3Q2=A/32+42=5,

■：AB2^PB2+AP2,

：.102=(3&)2+(5+4B2,

解得k=土匣或土叵(舍去)，

55

...4巾-16+4何

(3)如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)M落在BC的中垂線./N上時(shí)，連接CM,延長(zhǎng)CM交A8于點(diǎn)從

△PQM與關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng),

：.CM±PQ,

'：PQ//AB,

J.CHLAB,

?.3A8，CH=LAC，8C,

22

：.CH=2^.,

5

?e,BH=VCB2-CH2T6?-(=警,

VDD

VtanZMCJ=J^.=^.,

C.TCH

.?.M/=a_x3=a,

44

在RtZXPM/中，PJ2+MJ2=PM2,

；./=(3-x)2+(—)2,

4

?l225

96

ACP=_225_.

96

如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)M落在AC的中垂線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PRLKM于點(diǎn)R,設(shè)CP=PM=

在RtZsPMR中，同法可得d=42+（一坦-y）2,

3

解得y=9，

：.CP=^-,

2

綜上所述，滿(mǎn)足條件的CP的值為磔或匹.

962

22.（2022?金東區(qū)二模）如圖1,已知等腰△4BC中，4B=4C=10,8c=12,AD1,BC,垂足為點(diǎn)。，動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，以1.5個(gè)單位每秒速度，沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以1個(gè)單位每秒

速度，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，過(guò)點(diǎn)P作PR±AD,

垂足為R,連結(jié)QR,P。，作△尸QR關(guān)于QR的對(duì)稱(chēng)△MQR.

（1）如圖2,當(dāng)時(shí)，求P。的