保險(xiǎn)精算學(xué)：壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)計(jì)算

壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)計(jì)算

ACTUARY

ACTUARY本章將以生命表為基礎(chǔ),分別討論平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)產(chǎn)品和非平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳純保費(fèi)的計(jì)算方法。所謂平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)是指在保險(xiǎn)期間內(nèi)，壽險(xiǎn)保額保持衡定不變；非平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)是指在保險(xiǎn)期間內(nèi)壽險(xiǎn)保額發(fā)生變化。本章學(xué)習(xí)要掌握各種壽險(xiǎn)保單在即期給付與延期給付過(guò)程中純保費(fèi)計(jì)算的不同方法。最后，本章將對(duì)躉繳保費(fèi)確定過(guò)程中的關(guān)系式及符號(hào)進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明。ACTUARY第一節(jié)純保費(fèi)計(jì)算原則與基礎(chǔ)

壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)計(jì)算第一節(jié)純保費(fèi)的計(jì)算原則和基礎(chǔ)第二節(jié)

平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)第三節(jié)

非平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)的第四節(jié)補(bǔ)充討論死亡期初給付的壽險(xiǎn)死亡即時(shí)給付的壽險(xiǎn)二者的關(guān)系遞增終身遞增定期遞減終身ACTUARY6.1.1保費(fèi)構(gòu)成及計(jì)算假設(shè)1．保費(fèi)構(gòu)成如圖6.1所示，壽險(xiǎn)保費(fèi)由純保費(fèi)與附加保費(fèi)構(gòu)成，純保費(fèi)為死亡保險(xiǎn)或生存保險(xiǎn)的支付財(cái)源，附加保費(fèi)為保險(xiǎn)公司營(yíng)業(yè)管理的費(fèi)用及合理的利潤(rùn)。純保費(fèi)受預(yù)定死亡率與預(yù)定利率影響，附加保費(fèi)受預(yù)定營(yíng)業(yè)費(fèi)用率影響。ACTUARY6.1.1生存年金及其分類(lèi)2．純保費(fèi)的概念壽險(xiǎn)是人壽保險(xiǎn)（Lifeinsurance）的簡(jiǎn)稱(chēng)，它是以人的生存或死亡為保險(xiǎn)事故，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)，由保險(xiǎn)人給付一定金額的保險(xiǎn)合約。該筆金額稱(chēng)為人壽保險(xiǎn)金。投保人保費(fèi)中，承擔(dān)保險(xiǎn)金的部分，即給付保險(xiǎn)金的財(cái)源部分，即為純保費(fèi)。3．純保費(fèi)計(jì)算時(shí)的假設(shè)本書(shū)討論純保費(fèi)精算公式時(shí)，作如下假設(shè)以便理論模型的構(gòu)建：（1）被保險(xiǎn)人的年齡統(tǒng)一按保險(xiǎn)年齡計(jì)算，即按投保年月日計(jì)算。這意味著，本章將不考慮分?jǐn)?shù)年齡保費(fèi)問(wèn)題。（2）被保險(xiǎn)人為數(shù)眾多，按大數(shù)法則，以預(yù)定死亡率作為計(jì)算基礎(chǔ)。（3）保費(fèi)收入按預(yù)定利率運(yùn)用，因此保費(fèi)計(jì)算要按預(yù)定利率貼現(xiàn)。（4）保險(xiǎn)合同直到被保險(xiǎn)人死亡或滿(mǎn)期，都沒(méi)有失效或退保的情況，即保單組只考慮死亡這一種退出原因；壽險(xiǎn)保費(fèi)將以預(yù)定死亡率及預(yù)定利率為基礎(chǔ)，未來(lái)給付的保險(xiǎn)金現(xiàn)值與所收保費(fèi)現(xiàn)值相等。（5）為便于理解，下文將首先假定死亡保險(xiǎn)金在死亡保險(xiǎn)年度的年末給付，再討論死亡時(shí)即時(shí)給付這兩種情形，其他分?jǐn)?shù)年齡給付不加考慮。ACTUARY6.1.2純保費(fèi)計(jì)算基礎(chǔ)1．預(yù)定死亡率預(yù)定死亡率決定了死亡給付與生存給付的概率。死亡率的設(shè)定，跟不同的保險(xiǎn)有關(guān)，也跟精算計(jì)算的不同目的有關(guān)，死亡率設(shè)定的同樣一個(gè)錯(cuò)誤，對(duì)不同保單影響也不一樣。舉例而言，以保單定價(jià)為目的，精算師死亡率假設(shè)偏高、實(shí)際死亡率偏低了，那么顯然，對(duì)于定期壽險(xiǎn)（即被保險(xiǎn)人身故才給予賠付）保單而言，公司要給付的錢(qián)就少了，公司就會(huì)形成死差收益；但是同樣的錯(cuò)誤對(duì)于年金保險(xiǎn)而言，效果正相反――特定期限內(nèi)死亡的人數(shù)少了，期滿(mǎn)存活的人數(shù)較預(yù)期的為多，領(lǐng)取年金的人數(shù)多了，公司就會(huì)支出更多資金，從而形成年金保單的死差損。因此，精算師對(duì)不同保險(xiǎn)產(chǎn)品，設(shè)定死亡率的安全邊際（即設(shè)定的死亡率對(duì)保險(xiǎn)公司更有利，以盡可能規(guī)避損失）是不同的。對(duì)于定期壽險(xiǎn)，其安全邊際應(yīng)該是高估死亡率，而對(duì)養(yǎng)老保險(xiǎn)和年金保險(xiǎn)，安全邊際則是低估死亡率。當(dāng)然，很多國(guó)家為保險(xiǎn)業(yè)的不同業(yè)務(wù)編制了多種經(jīng)驗(yàn)生命表，比如《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》就根據(jù)男女死亡率天然的區(qū)別，以及養(yǎng)老金業(yè)務(wù)與非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)的區(qū)別，分別編制了非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)男表，簡(jiǎn)稱(chēng)CL1(2003-2006)、非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)女表，簡(jiǎn)稱(chēng)CL2(2003-2006)、養(yǎng)老金業(yè)務(wù)男表，簡(jiǎn)稱(chēng)CL3(2003-2006)、養(yǎng)老金業(yè)務(wù)女表，簡(jiǎn)稱(chēng)CL4(2003-2006)。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本書(shū)僅以《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》為基礎(chǔ)闡述與生命表有關(guān)內(nèi)容，同時(shí)本章為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下文案例均以某30歲男性投保人為假設(shè)，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)參見(jiàn)生命表附表。ACTUARY6.1.2純保費(fèi)計(jì)算基礎(chǔ)2.預(yù)定利率

壽險(xiǎn)通常都是長(zhǎng)期合約，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)中有一部分是預(yù)備為將來(lái)支付保險(xiǎn)金的，這部分應(yīng)該作有利于投保人的運(yùn)用，而運(yùn)用保費(fèi)所獲得的收益也應(yīng)屬于投保人，因此要在所繳保費(fèi)中加以折扣，在收取保費(fèi)前，保險(xiǎn)公司應(yīng)對(duì)所收保費(fèi)有一個(gè)預(yù)定的運(yùn)用收益率，即保費(fèi)貼現(xiàn)率，這就是預(yù)定利率。

預(yù)定利率確定的高低嚴(yán)重影響保費(fèi)的合理性。如果設(shè)定的利率過(guò)高，將來(lái)實(shí)際投資收益少于所作假定，那顯然公司利潤(rùn)將少于預(yù)計(jì)，保險(xiǎn)公司就可能形成利差損；相反，如果預(yù)定利率設(shè)定過(guò)低，將來(lái)就有可能獲得超額投資收益，從而形成利差收益。因此從精算師角度，總是希望將預(yù)定利率設(shè)定得低一些以保障經(jīng)營(yíng)的安全性。但是預(yù)定利率較低會(huì)使產(chǎn)品價(jià)格偏高，不利于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)從而不利于銷(xiāo)售人員的工作。通常在為精算定價(jià)選擇利率是，要考慮以下因素：（1）投資的資產(chǎn)?？紤]不同的產(chǎn)品類(lèi)型、期限等特點(diǎn)，收取的保費(fèi)可能的投向，不同資產(chǎn)的回報(bào)率不同。因此要針對(duì)未來(lái)可選擇的資產(chǎn)類(lèi)型，估計(jì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的回報(bào)率。ACTUARY6.1.2純保費(fèi)計(jì)算基礎(chǔ)（2）保險(xiǎn)期限。預(yù)測(cè)近期利率要比預(yù)測(cè)久遠(yuǎn)將來(lái)的利率，更有確定性。（3）保費(fèi)繳付方式。如果是躉繳保費(fèi)，保險(xiǎn)公司立刻得到保單對(duì)應(yīng)所有保費(fèi)收入，公司馬上就可以用這筆保費(fèi)進(jìn)行投資，也就可以知道這筆資金做什么樣的投資，預(yù)計(jì)的回報(bào)率如何；如果是期繳保費(fèi)，保單對(duì)應(yīng)保費(fèi)將在未來(lái)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)逐漸得到，精算時(shí)就不太好預(yù)計(jì)將來(lái)做什么樣的投資、獲得什么樣的收益。（4）其他因素。包括對(duì)當(dāng)前經(jīng)濟(jì)狀況、利率水平的看法，未來(lái)整體經(jīng)濟(jì)金融形勢(shì)的判斷，未來(lái)的再投資機(jī)會(huì)與收益率的估計(jì)等等，都會(huì)影響對(duì)精算定價(jià)利率的判斷。3.保費(fèi)收支相等原則純保費(fèi)總收入現(xiàn)值與保險(xiǎn)金支出總額現(xiàn)值在統(tǒng)計(jì)意義上相等。與儲(chǔ)蓄不同，保險(xiǎn)將全體保戶(hù)視為一體來(lái)權(quán)衡其收支，以全體保戶(hù)繳納的保費(fèi)總額及保險(xiǎn)公司支付給全體受益人的保險(xiǎn)金總額來(lái)計(jì)算使其相等，這就是保費(fèi)收支相等原則。ACTUARYACTUARY第二節(jié)平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳保費(fèi)6.2.1保費(fèi)構(gòu)成及計(jì)算假設(shè)本書(shū)以?xún)纱箢?lèi)個(gè)險(xiǎn)壽險(xiǎn)產(chǎn)品為例進(jìn)行討論，一是死亡保險(xiǎn)，一是生死合險(xiǎn)。其他諸如年金產(chǎn)品計(jì)算原理類(lèi)似已于上章討論過(guò)，不再贅述。下文中死亡保險(xiǎn)是指被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)合同有效期內(nèi)死亡時(shí)，保險(xiǎn)人按合同約定將保險(xiǎn)金支付給合同載名的受益人（Beneficiary，如未載名，則作為被保險(xiǎn)人遺產(chǎn)，支付給被保險(xiǎn)人的遺產(chǎn)繼承人）的一類(lèi)保險(xiǎn)；生存保險(xiǎn)即指被保險(xiǎn)人生存至合同期滿(mǎn)即可獲得保險(xiǎn)給付的保險(xiǎn)；生死合險(xiǎn)即指被保險(xiǎn)人在合同有效期內(nèi)死亡，則給付死亡保險(xiǎn)，生存至合同期滿(mǎn)，則獲得生存給付。ACTUARY1.死亡期末給付的壽險(xiǎn)這是為了能直觀理解純保費(fèi)計(jì)算原理而假設(shè)的情形，即保費(fèi)年初收取、死亡保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡當(dāng)年的年末給付的情形。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)1．死亡保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（1）終身壽險(xiǎn)被保險(xiǎn)人（x）投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金1元，其總給付現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）以表示，則其現(xiàn)金流如圖所示。ACTUARY6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)1）躉繳保費(fèi)確定思路第一步，其未來(lái)死亡保險(xiǎn)金支付成本為：第二步，（X）每人繳納純保費(fèi)為

其總額為第三步，按純保費(fèi)計(jì)算“收＝支”原則

，該式表示X歲時(shí)生存的

人每人繳納

元，剛好足夠支付自x歲起，每年所需支付死亡人數(shù)的現(xiàn)值總額。ACTUARY因此因?yàn)樗?.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY2）換算函數(shù)表示法以上一章介紹的換算函數(shù)來(lái)表示，則

，等式右邊分子分母同時(shí)乘以

，可得【例6-1】：有一現(xiàn)齡30歲的男性投保人以本人為被保險(xiǎn)人投保，保險(xiǎn)金額1000元，預(yù)定利率6%。死亡率以《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》為計(jì)算基礎(chǔ)。A.計(jì)算一年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)；B.計(jì)算終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)。解：以《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》男性非養(yǎng)老金表為基礎(chǔ)，假設(shè)人口基數(shù)為100萬(wàn)人，計(jì)算所得生命表如表6.1所示。

6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY

6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY（2）終身壽險(xiǎn)躉繳保費(fèi)A．保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值按上述生命表計(jì)算30歲投保后至終身的每年死亡成本在30歲之初的現(xiàn)值，各年度死亡成本現(xiàn)值之和，即為保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值。以S代表保額1000元，具體計(jì)算過(guò)程為：1000×867×0.0.9434＝818361.511000×917×0.8900＝816012.011000×977×0.0.8396＝820268.82…1000×42×0.0119＝499.29上述成本加總為82133377.536.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY

6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY(3)循環(huán)方程（遞推公式）對(duì)單位保額終身壽險(xiǎn)，有如下循環(huán)方程存在：證明：以K表示被保險(xiǎn)人的整數(shù)存活年數(shù)，則有（比如第一年身故，則整數(shù)存活年數(shù)就是零，死亡給付發(fā)生在第一年末）

6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY該結(jié)論也可以從另一個(gè)角度得到：得證。

該式直觀意義為，（x）購(gòu)買(mǎi)的終身壽險(xiǎn)保費(fèi)，相當(dāng)于兩部分之和。一部分為，一年內(nèi)死亡的人群每人年底均獲得一單元給付的精算現(xiàn)值，另一部分為，給那些生存至x+1歲的人（x+1）購(gòu)買(mǎi)一份終身壽險(xiǎn)的保費(fèi)。如果還不太好理解，可將該循環(huán)方程重新整理得到：，即投保終身壽險(xiǎn)的人如果能活滿(mǎn)1年，則給付其，以讓他一年后繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)終身壽險(xiǎn)；如果其一年內(nèi)死亡，則給付的死亡給付，這樣一份保險(xiǎn)的總保費(fèi)為。該保險(xiǎn)種類(lèi)可以一直循環(huán)下去直致終身。其中死亡給付部分，來(lái)自保費(fèi)在這一年內(nèi)產(chǎn)生的利息部分。為理解這一點(diǎn)，在

左右同乘以

，得到：

繼續(xù)整理得到

即，歲購(gòu)買(mǎi)終身壽險(xiǎn)所繳保費(fèi)在一年中產(chǎn)生的利息被分成了兩個(gè)部分，一部分支付了一年定期壽險(xiǎn)的死亡給付成本

，另一部分則提供了歲再購(gòu)終身壽險(xiǎn)時(shí)，比歲購(gòu)買(mǎi)的保費(fèi)增加部分。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY（2）定期壽險(xiǎn)A．躉繳保費(fèi)確定思路被保險(xiǎn)人（x）投保n年定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金1元，其總給付現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）以

表示。則：第一步，該保險(xiǎn)未來(lái)給付現(xiàn)金流如圖3所示，為6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY第二步，（x）投保的投保人每人繳納保費(fèi)

，其總額為第三步，按“收＝支”原則，因此：因?yàn)?.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．換算函數(shù)法將右側(cè)同時(shí)剩以，可得

6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYC．與終身壽險(xiǎn)的關(guān)系由圖6.2與圖6.3比較可知，

相當(dāng)于

減去x+n年以后的部分，而

與負(fù)擔(dān)人數(shù)直接相關(guān)，不影響

公式，所以只需要將分子減去x+n年以后的部分即可得以換算函數(shù)表示的

公式?！纠?-2】：仍以上例30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%。計(jì)算20年定期壽險(xiǎn)躉繳保費(fèi)。解：A．保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值按上述生命表，計(jì)算30歲投保后至終身的每年死亡成本在30歲之初的現(xiàn)值，各年度死亡成本現(xiàn)值之和，即為保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值以S代表保額1000，展開(kāi)的具體計(jì)算過(guò)程為：6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY1000×867×0.0.9434＝818361.511000×917×0.8900＝816012.01…1000×3144×0.3118＝980280上述成本加總為17510789.22B．保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值按收支相等原則，上述保險(xiǎn)金支出總額的值之和即為保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值，為17510789.22，該值應(yīng)由最初的生存人數(shù)l30=984635共同平均分?jǐn)?。C．躉繳保費(fèi)計(jì)算因此純保費(fèi)1000=17510789.22/984635＝17.78元。。

以換算函數(shù)計(jì)算，則躉繳純保費(fèi)6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY（3）延期終身壽險(xiǎn)A．躉繳保費(fèi)確定思路被保險(xiǎn)人（x）投保延期n年，保險(xiǎn)金1元的終身壽險(xiǎn)，其總給付成本（躉繳純保費(fèi)）以

表示，則：第一步，該保險(xiǎn)未來(lái)給付現(xiàn)金流如圖4所示，為

；6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY第二步，（x）投保的投保人每人繳納保費(fèi)

，其總額為

；第三步，按“收＝支”原則，

，這表示x歲時(shí)生存的

人每人繳納

元，剛好足夠支付自x+n歲起到

歲止，每年所需支付的死亡保險(xiǎn)金現(xiàn)值總和。

所以因?yàn)?/p>

所以6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．換算函數(shù)表示法在式

分子分母同乘，可得6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY由圖6.2與圖6.4比較可得到，

與

之差別僅在期間長(zhǎng)短不同，故僅將

，初始標(biāo)值0改為n即可，同時(shí)

相當(dāng)于

中x+n年以后的部分，而

是負(fù)擔(dān)人數(shù)不影響

公式，所以可以將終身壽險(xiǎn)純保費(fèi)公式的分子以x+n年以后的部分來(lái)表達(dá)即可。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY【例6-3】：仍以上例30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%。假定該男士希望投保一份延期20年（即自50歲起提供保障）終身壽險(xiǎn)，求躉繳保費(fèi)。解：A．保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值按上述生命表，計(jì)算30歲投保后，從50歲開(kāi)始至終身的每年死亡成本在30歲之初的現(xiàn)值，各年度死亡成本現(xiàn)值之和，即為保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值以S代表保額1000，展開(kāi)的具體計(jì)算過(guò)程為：6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值按收支相等原則，上述保險(xiǎn)金支出總額的現(xiàn)值之和即為保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值，為64622588.31，該值應(yīng)由最初的生存人數(shù)l30=984635共同平均分?jǐn)偂．躉繳保費(fèi)計(jì)算因此純保費(fèi)以換算函數(shù)計(jì)算，則躉繳純保費(fèi)6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY（4）遞延n年m年定期壽險(xiǎn)A．躉繳保費(fèi)確定思路這種壽險(xiǎn)是現(xiàn)在繳費(fèi)，但保障期自n年后開(kāi)始，一共保障m年。記一單位保額的總給付現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）為

，則第一步，m年保障的現(xiàn)值總和為

；第二步，現(xiàn)繳保費(fèi)總和為第三步，“收＝支”，因此

，即x歲時(shí)生存的人每繳納元，剛好足夠支付自x+n歲起到x+n+m歲止，每年所需支付的死亡保險(xiǎn)金現(xiàn)值總和。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．換算函數(shù)表示法6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY【例6-4】：仍以上例30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%。假定該男士希望投保一份延期20年（即自50歲起提供保障）保障20年的延期定期壽險(xiǎn)，求躉繳保費(fèi)。解：A．保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值按上述生命表，計(jì)算30歲投保后，從50歲開(kāi)始至70歲的每年死亡成本在30歲之初的現(xiàn)值，各年度死亡成本現(xiàn)值之和，即為保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值以S代表保額1000，展開(kāi)的具體計(jì)算過(guò)程為：6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值按收支相等原則，上述保險(xiǎn)金支出總額的現(xiàn)值之和即為保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值，為27384325.60元，該值應(yīng)由最初的生存人數(shù)l30=984635共同平均分?jǐn)偂．躉繳保費(fèi)計(jì)算因此純保費(fèi)

（

元）以換算函數(shù)計(jì)算，則躉繳純保費(fèi)為（

元）6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY2．兩全保險(xiǎn)基本型被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)有效期內(nèi)死亡或保險(xiǎn)合同滿(mǎn)期時(shí)依然生存，均可獲得一定額的保險(xiǎn)金，這種保險(xiǎn)稱(chēng)為生死合險(xiǎn)，又稱(chēng)兩全保險(xiǎn)。市場(chǎng)上生死合險(xiǎn)通常會(huì)有死亡多倍（一般是雙倍）給付的條款。（1）被保險(xiǎn)人投保n年生死合險(xiǎn)，保險(xiǎn)金1元，躉繳純保費(fèi)以表示。由于n年生死合險(xiǎn)表示n年內(nèi)死亡或n年到期仍生存時(shí)均給付保險(xiǎn)金，因此躉繳純保費(fèi)相當(dāng)于n年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)加上生存保險(xiǎn)金現(xiàn)值之和。其現(xiàn)金流圖如圖6.5所示。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY在此不再給出詳細(xì)推算過(guò)程，僅給出換算函數(shù)計(jì)算躉繳保費(fèi)的公式，為：【例6-5】：仍以上例30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%。計(jì)算20年兩全險(xiǎn)躉繳保費(fèi)。解：A．保險(xiǎn)金支出現(xiàn)值如例6-2計(jì)算所得，20年定期保險(xiǎn)死亡保險(xiǎn)保障成本為17510789.22元，而20年期滿(mǎn)的生存保險(xiǎn)保障成本為20年兩全保險(xiǎn)的保障成本為上述兩項(xiàng)之和，等于313675284.75（元）6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARYB．按收支相等原則，上述成本由30歲期初的984635人共同承擔(dān)。C．因此可以計(jì)算得到純保費(fèi)以換算函數(shù)表示，躉繳純保費(fèi)為以下計(jì)算案例為方便，不再詳細(xì)列出三步計(jì)算的原理，僅給出換算函數(shù)表示方法。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY（2）被保險(xiǎn)人（x）投保遞延n年的m年生死合險(xiǎn)，保險(xiǎn)金1元，其躉純保費(fèi)以

表示。由于遞延n年之m年生死合險(xiǎn)表示n到n+m年內(nèi)死亡或n+m年到期仍生存時(shí)均給付保險(xiǎn)金。故其躉繳純保費(fèi)相當(dāng)于遞延n年的m年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)加上生存保險(xiǎn)金之和在此不再給出現(xiàn)金流圖，也不對(duì)詳細(xì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行闡述，僅給出換算函數(shù)計(jì)算躉繳保費(fèi)的公式如下：6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY【例6-6】：仍以上例30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%。計(jì)算延期10年保障20年的兩全險(xiǎn)躉繳保費(fèi)。解：

上述各險(xiǎn)種躉繳保費(fèi)確定公式可以歸納為下表。6.2.1死亡期末給付的壽險(xiǎn)ACTUARY

死亡保險(xiǎn)生死合約終身一般

遞延n年

定期（m年）一般

遞延n年

6.2.2死亡即時(shí)給付壽險(xiǎn)ACTUARY1.引言前一單元討論的是保費(fèi)年初收取、保險(xiǎn)金在死亡年度末給付，但現(xiàn)實(shí)中不太可能讓所有當(dāng)年發(fā)生死亡的保單的受益人到年底才領(lǐng)取死亡保險(xiǎn)金，因此這里對(duì)比較符合實(shí)際情況的情形，即保費(fèi)期初收取、死亡即時(shí)給付的情形，進(jìn)行討論。為討論死亡即時(shí)給付，首先回顧一下死力與利息力的概念。（1）死力前文我們給出了死力的定義：由該式可見(jiàn)，死力實(shí)際就是瞬時(shí)時(shí)刻上的全年名義死亡率（Nominalannualrateofmortality）。

（2）利息力前面我們給出過(guò)利息力的定義，

，其實(shí)質(zhì)是年化的瞬時(shí)利率。

6.2.2死亡即時(shí)給付壽險(xiǎn)ACTUARY2．死亡即時(shí)給付躉繳純保費(fèi)確定（1）終身壽險(xiǎn)。以

表示x歲投保，死亡即時(shí)給付一單位保額的現(xiàn)值。1）躉繳保費(fèi)確定。為便于理解，假設(shè)一年分m期，仍然是死亡期末給付，那么當(dāng)m趨向無(wú)限大時(shí)，也就是死亡即刻給付。

該式意思是，瞬間保險(xiǎn)金現(xiàn)值對(duì)保障期間t的積分即可得到躉繳保費(fèi)。該式加入利息力函數(shù)，可以寫(xiě)成：

6.2.2死亡即時(shí)給付壽險(xiǎn)ACTUARY2）連續(xù)給付終身壽險(xiǎn)與年金的關(guān)系該式表示，已知利息力為

的情況下，某人在期初投資1元本金，可以獲得兩種給付：一是在生存之時(shí)的連續(xù)利息給付（即連續(xù)生存年金），其現(xiàn)值之和為

；另一類(lèi)給付是在死亡時(shí)立即獲得死亡保險(xiǎn)給付，金額為當(dāng)初投資的本金1元，其現(xiàn)值為

。（2）定期壽險(xiǎn)：以

表示一單位保額n年即時(shí)給付定期壽險(xiǎn)的保費(fèi)，即保險(xiǎn)金現(xiàn)值，則有6.2.2死亡即時(shí)給付壽險(xiǎn)ACTUARY（3）遞延終身壽險(xiǎn)：以

表示投保一單位保額遞延n年死亡即時(shí)給付終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值，則（4）遞延n年死亡即刻給付m年定期壽險(xiǎn)。以表示其保險(xiǎn)金現(xiàn)值即躉繳純保費(fèi)，則（5）n年定期兩全保險(xiǎn)。以表示躉繳純保費(fèi)，則6.2.3死亡期末給付與即時(shí)給付的關(guān)系A(chǔ)CTUARY1．離散型與連續(xù)型給付本質(zhì)相同這可以從兩者公式的本質(zhì)意義看出。以終身壽險(xiǎn)為例，離散型公式

中，

部分表示被保險(xiǎn)人在第t年死亡的發(fā)生概率，只有在第t年死亡，方可于當(dāng)年底領(lǐng)取1元；而連續(xù)型公式

中的

部分，是指存活了t時(shí)段后，在x+t歲的瞬間死亡的概率，其意義

與相同，都是必須在死亡條件下才能領(lǐng)到1元；而兩個(gè)公式中的

部分意義也完全相同，均指將領(lǐng)取到的一元，按領(lǐng)取的時(shí)間貼現(xiàn)到投保的時(shí)刻。公式其他部分，積分與求和意義相似。

因此，由兩者公式的分析可見(jiàn)，離散型與連續(xù)型的公式雖然有些差異，但其基本精神卻是一致的，所考慮的都是在死亡情況下給付1元，在投保時(shí)應(yīng)準(zhǔn)備的成本。6.2.3死亡期末給付與即時(shí)給付的關(guān)系A(chǔ)CTUARY2．兩者的數(shù)學(xué)關(guān)系從死亡即時(shí)給付出發(fā)，推導(dǎo)兩者的關(guān)系如下：6.2.3死亡期末給付與即時(shí)給付的關(guān)系A(chǔ)CTUARY

∴又因?yàn)閷?shí)際有效利率大于利息力因此可知同理可推導(dǎo)出由于為實(shí)際有效利率值，

所以ACTUARY第三節(jié)非平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)6.3.1前言ACTUARY所謂非平準(zhǔn)型壽險(xiǎn)產(chǎn)品是指保險(xiǎn)金非定額、隨著給付時(shí)間的變化而改變的壽險(xiǎn)，這一類(lèi)保險(xiǎn)也是針對(duì)一定的市場(chǎng)需求而提出的較為實(shí)際的險(xiǎn)種。理財(cái)規(guī)劃中，投保人可能會(huì)根據(jù)自己的財(cái)務(wù)規(guī)劃，而選擇非定額人身保險(xiǎn)。比如有些投保人認(rèn)為，年輕時(shí)其人力資本投資遠(yuǎn)未攤回，因此需要較高額的人身保險(xiǎn)以規(guī)避早逝帶來(lái)的重大損害；而隨著工作年限的增加，經(jīng)濟(jì)實(shí)力的增加，其本人及家庭對(duì)壽險(xiǎn)的需求會(huì)逐步降低，則此時(shí)他可能需要遞減型壽險(xiǎn)；而有些投保人則認(rèn)為，年輕時(shí)家庭負(fù)擔(dān)較輕，不太需要高額保險(xiǎn)，而隨著娶妻生子，他對(duì)家庭保障的需求日益增加，此時(shí)他就需要遞增型保險(xiǎn)。所以，非平準(zhǔn)型死亡保險(xiǎn)有著實(shí)際的市場(chǎng)需求。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹遞增死亡保險(xiǎn)與遞減死亡保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的計(jì)算。6.3.2遞增終身壽險(xiǎn)ACTUARY1．死亡年末給付遞增終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)金流如圖5所示，如果被保險(xiǎn)人（x）于投保第一年內(nèi)死亡，則于年末給付一單位死亡保險(xiǎn)金，若于第二年內(nèi)死亡則第二年末給付2單位保險(xiǎn)金，依此類(lèi)推，每年增加1元直至終身，其意義可以理解為，每年都增加投保1單位終身壽險(xiǎn)。這里不給出具體推導(dǎo)過(guò)程，該保險(xiǎn)躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)為

6.3.2遞增終身壽險(xiǎn)ACTUARY有興趣的同學(xué)可以自我推導(dǎo)一遍。該式可與遞增終身年金對(duì)比理解。遞增終身年金的計(jì)算式為6.3.2遞增終身壽險(xiǎn)ACTUARY【例6-7】：仍以30歲的男性投保人為例，保額1000元，預(yù)定利率6%生命表同上。該男士購(gòu)買(mǎi)一份首年度保額一萬(wàn)，續(xù)年度保額每年遞增1000的終身壽險(xiǎn)。躉繳保費(fèi)。解：該保險(xiǎn)可視為一份9000元保額的平準(zhǔn)終身壽險(xiǎn)與一份初始保額1000，年增保額1000的兩份保險(xiǎn)的組合。因此其總躉繳保費(fèi)為2．死亡即時(shí)給付與期末給付不同的地方只在于給付時(shí)間提前到死亡發(fā)生時(shí)，根據(jù)前面的推導(dǎo)，其躉繳純保費(fèi)為6.3.3遞增定期壽險(xiǎn)ACTUARY1．死亡年末給付遞增定期壽險(xiǎn)指如果被保險(xiǎn)人于投保第一年內(nèi)死亡，則于年末給付一單位死亡保險(xiǎn)金，若于第二年內(nèi)死亡則在該年末給付2單位保險(xiǎn)金，以此類(lèi)推，每年增加1單位給付直至第n年為止，以后不再給付。其需繳純保險(xiǎn)費(fèi)為該式可與遞增定期生存年金比較理解，期初遞增生存年金計(jì)算公式為6.3.3遞增定期壽險(xiǎn)ACTUARY2．死亡即時(shí)給付其需繳純保費(fèi)為

圖6.7是對(duì)該式的幾何解釋?zhuān)搱D同樣可幫助理解死亡期末給付的離散型公式。

6.3.3遞增定期壽險(xiǎn)ACTUARY3．遞增終身壽險(xiǎn)但至

年后停止遞增，年末給付及即刻給付的躉繳純保費(fèi)分別為其原理如圖6.7中未減

的部分。及6.3.4遞減定期壽險(xiǎn)ACTUARY1．死亡年末給付遞減定期壽險(xiǎn)基本型是被保險(xiǎn)人

若于第一年內(nèi)死亡時(shí)，則在年末給付保險(xiǎn)金n元…….，如此每后一年發(fā)生死亡則于年末時(shí)較前一年減少1元的死亡保險(xiǎn)金至n年為止。但過(guò)n年仍生存，不給付任何保險(xiǎn)金且保單至此失效。其需繳純保險(xiǎn)費(fèi)為該式可與期末遞減定期年金公式對(duì)比理解，期末遞減定期年金的計(jì)算公式為：2．死亡即時(shí)給付ACTUARY第四節(jié)補(bǔ)充討論6.4.1若干關(guān)系等式ACTUARY

若干關(guān)系等式本章討論的是生存與死亡保險(xiǎn)金的計(jì)算，綜合前章所談之生存年金，試探討這之間的關(guān)系。1證明：，得證同理理解：

表示年初給予生存者

元，

代表年末生存者給付1元，而年初給付

元和年末給付1元，在本質(zhì)上是相同的，所以可視為年初活著的人每人給付1元，減年底活著的人每人給付1元，必然等于給付當(dāng)年死亡人數(shù)每人支付1元的值，即

。6.4.1若干關(guān)系等式ACTUARY理解：現(xiàn)在的1元，等于年底本金1元加上年初的貼現(xiàn)d元，因此每年初活著的人繳費(fèi)d元，即可滿(mǎn)足年底為死亡者支付1元的需求。3.該式是上式的連續(xù)型表達(dá)，意義也類(lèi)似。2.證明：6.4.1若干關(guān)系等式ACTUARY