2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)19 相似【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)19相似一、綜合題1.已知點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,OD=OC,∠ABC=∠DOC=a.圖3圖3(1)如圖1,α=60°,探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)如圖2,α=120°,探究線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)結(jié)合上面的活動經(jīng)驗(yàn)探究，請直接寫出如圖3中線段AD與OB的數(shù)量關(guān)系為(直接寫出答案)(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD,CE.求證：BD=CE.(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.連接BD,CE.請直接寫(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△ADE都是直角三角形，∠3.某校數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組在一次活動中，對一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AM,以AM(2)類比探究：如圖2,在等腰△ABC中，∠B=30°,AB=BC,AC=8,點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，以AM為腰作等腰△AMN,使AM=MN,∠AMN=∠B.在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，AN是否存在最小值?若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由.(3)拓展應(yīng)用：如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG,H是正方形DEFG的中心，連接CH.若正方形DEFG的邊長為8,CH=3√2,求△CDH的面積.4.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折得到△BEF,延長EF交CD邊于點(diǎn)G.求證：△BFG≥△BCG;(2)【類比遷移】如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8,AB=6,BE翻折得到△BEF,延長EF交BC邊于點(diǎn)G,延長BF交CD邊于點(diǎn)H,且FH=CH,將△AEB沿(3)【實(shí)踐創(chuàng)新】如圖，Rt△ABC為等腰三角形，∠ABC=90°,O(1)【操作發(fā)現(xiàn)】請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過點(diǎn)M作BC的平行線MN,交AB于點(diǎn)N;(2)在(1)的條件下，線段AB與AN的數(shù)量關(guān)系是(3)【類比探究】如圖2,線段AB與射線AC有公共端點(diǎn)A,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺在線段AB上作一個點(diǎn)N,6.【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.我們知道：如圖1,如那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).C(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,請直接寫出CB與(2)【尺規(guī)作黃金分割點(diǎn)】如圖2,在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=1,AC=2,的值為在BA上截取BD=BC,則AD=_,在AC上截取的值為:(3)【問題解決】如圖3,用邊長為4的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN,連接EN,點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)H,得折痕CE,試說明：C是AB的黃金分割點(diǎn)；(4)【拓展延伸】如圖4,正方形ABCD中，M為對角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N在邊CD上，且CN<DN,當(dāng)N為CD的黃金分割點(diǎn)時(shí)，∠AMB=∠ANB,連NM,延長NM交AD于E,請用相似的知識求出AE;DE的值為問題情境：如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)E分別作AC,BE的垂線，分別交直線BC,CD于點(diǎn)F,G.試猜想線段BF和CG的數(shù)量關(guān)系并加以證明.(1)數(shù)學(xué)思考：(2)問題解決：如圖2,在圖1的條件下，將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”,其他條件不變.若AB=2,BC=3,(3)問題拓展：在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出△CEG的面積.(1)課本再現(xiàn)如圖1,在Rt△ABC和Rt△A'BC中，∠C=90°,∠C'=90°,圖1請你根據(jù)以上分析，完成證明.(2)知識應(yīng)用(1)如圖1,如果△ABC是等邊三角形，求證BD是OO的切線；(2)如圖2,如果60°<∠BAC<90°,BD,CD分別交⊙O于E,F,研究五邊形ABEFC的性質(zhì)；數(shù)學(xué)活動課上，老師給出如下基礎(chǔ)模型：如圖①,已知Rt△ABC,∠ACB=90°,過點(diǎn)C任作一條直線1(不與CA、CB重合),過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)A、B在直線1同側(cè)時(shí)，易證△ACD~△CBE(下列解題可直接用此結(jié)論).圖①(2)模型應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線1:y=kx-4k(k為常數(shù)，k≠0)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,以AB為邊、B為直角頂點(diǎn)作直角三角形ABC且tan∠ACB=2.若直線1經(jīng)過點(diǎn)(2,-3),當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3)若點(diǎn)D是函數(shù)y=2x(x<0)圖象上的點(diǎn)，且BD|x軸，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，連接CD交y軸于點(diǎn)E,求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)(用含k的式子表示)及BE的長.備用圖111.課本再現(xiàn)(2)深入探究：將圖1中的AD延長至點(diǎn)G,使FG=BF,連接BG,CG,如圖2所示.求證：GA平分∠BGC.(第一問的結(jié)論，本問可直接使用)(3)遷移應(yīng)用：如圖3,在等腰△ABC中，AB=AC,D,E分別是邊BC,AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F.若∠BAC=∠BFD,且BF=3AF,習(xí)的值.12.矩形ABCD中，,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)E作AE的垂線EF,與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F.(1)【特例證明】如圖(1),當(dāng)k=2時(shí)，求證：AE=EF;小明不完整的證明過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整.證明：如圖，在BA上截取BH=BE,連接EH,AA5HECGDF∵CF平分∠DCG,∠DCG=90°,(只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程)(2)【類比探究】如圖(2),當(dāng)k≠2時(shí)，習(xí)的值(用含k的式子表示);(3)【拓展運(yùn)用】如圖(3),當(dāng)k=3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP,PF,∠PAE=45°,PF=√5,求BC的長.13.回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC.(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB=AC,D為邊AC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合).對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=CE.進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D,E分別運(yùn)動到邊AC,AB的延長線上，BD與CE還相等嗎?請解決下面的問題：如圖2,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并證明.(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3,在△ABC中，AB=AC=2,∠A=36°,E為邊AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),F為邊AC延長線上一點(diǎn).判斷BF與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.14.如圖問題提出：如圖(1),△ABC中，AB=AC,D是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E,使DE=DB,延(1)問題探究：先將問題特殊化.如圖(2),當(dāng)∠BAC=60(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.(3)問題拓展：延長BC如圖(3),在△ABC中，AB=AC,D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一延長BC至點(diǎn)E,使DE=DG,延長ED交AB于點(diǎn)F.直接寫出的值(用含n的式子表示).圖1(1)(問題發(fā)現(xiàn))圖3如圖1,在Rt△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連結(jié)EC,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是(2)(探究證明)在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；(3)(拓展延伸)如圖3,在Rt△BCD中，∠BCD=90°,BC=2CD=4,將△ACD繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α(0?<a<360°),當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長∴△ABC與△COD是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCO=30°,△ABC~△DOC,2.【答案】(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°,AD=DE,AB=BC∴△DAB~△EAC,∴△ABC~△ADE,都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°,∴△DAB~△EAC,∴△ABM=△ACN(SAS),,∴△ABC~△AMN,∵△ABC~△AMN,∴△ABM~△CAN,(3)解：如圖所示，連接BD,EH,過H作HQ⊥CD于Q,∴DH=EH,∠DHE=90°,即△DEH是等腰直角∴△BDE~△CDH,∴△CDH的面積4.【答案】(1)證明：由翻折的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)可得，AB=BF=BC,∠BFE=∠A=90°,(2)解：如圖，延長BH,AD交于點(diǎn)Q,∴△DQH~△AQB,∴△DQH~△FQE,(3)證明：∵Rt△ABC為等腰三角形，∠ABC=90°,O為斜邊AC的中點(diǎn)，,,tanβ=0M+ON,tana·tanβ==2-2(0M+0N)+(0M+ON)5.【答案】(1)解：過點(diǎn)M作∠AMN=∠ACB(3)解：圓規(guī)取適當(dāng)長度，在射線AC上依次截取AD=DE=EF,(3)解：如圖，設(shè)EC與MN交點(diǎn)為P過P作PQ⊥EN,∴PN=MN-PM=4-x,經(jīng)檢驗(yàn)x=√5-1為原方程的解解得x=√5-1,,∴C為AB的黃金分割點(diǎn).7.【答案】(1)證明：BF=CG,理由如下：(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴△BFE~△GCE,(3)解：過點(diǎn)E作EM⊥CD于M,EN由(2)知△BFE~△GCE,在Rt△ABC,由勾股定理，得在Rt△A'B'C,由勾股定理，得BC'=√Ab2-Ac2,(2)解：∵PQ2=PM·PN9.【答案】(1)證明：如圖1中，圖1∵BDⅡAC,CDⅡAB,∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴BD是⊙O的切線.理由：如圖2中，連接BF,EC,∴△ACD~△CBE.(3)解：如圖2,過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F.圖2令x=0,則y=-4k.令y=0,則kx-4k=