2024屆雙鴨山市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆雙鴨山市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心、為半徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出、的距離是，，，則、兩點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（）A． B．C． D．4．曲線與軸所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2 B． C． D．45．設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．6．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的極值點(diǎn)；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④7．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對(duì)任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．即將畢業(yè)，4名同學(xué)與數(shù)學(xué)老師共5人站成一排照相，要求數(shù)學(xué)老師站中間，則不同的站法種數(shù)是A．120 B．96 C．36 D．249．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)11．已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn).若過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，，則（）A． B．0 C．1 D．212．已知曲線C：y＝，曲線C關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某等腰直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為4，若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是，則_____．14．已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則__________．15．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為__________.16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且的圖像有一條對(duì)稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.18．（12分）已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程根.(1)求的值；(2)復(fù)數(shù)滿足是實(shí)數(shù)，且，求復(fù)數(shù)的值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求的值.20．（12分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.21．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求的最大值.22．（10分）已知．（1）證明：；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

取的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，根據(jù)可得，從而可求得漸近線方程.【題目詳解】如圖，取的中點(diǎn)，則為點(diǎn)到漸近線的距離則又為的中點(diǎn)，即：故漸近線方程為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用點(diǎn)到直線距離公式和中位線得到之間的關(guān)系.2、A【解題分析】

利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【題目詳解】由三角形的內(nèi)角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理在生活中的應(yīng)用，需熟記正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

由計(jì)算即可?！绢}目詳解】在相應(yīng)的極坐標(biāo)系下，由于點(diǎn)位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡(jiǎn)單題。4、D【解題分析】

曲線與軸所圍成圖形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，就是求正弦函數(shù)在上的定積分的兩倍．【題目詳解】解：曲線與軸所圍成圖形的面積為：．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，求解定積分問題，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因?yàn)椋?因此，，選B.點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡(jiǎn)單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．6、D【解題分析】分析：由條件利用導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側(cè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故-1不是極值點(diǎn).根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導(dǎo)數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調(diào)遞增，故④正確，故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)代表了原函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號(hào)零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.7、B【解題分析】

由題意直接驗(yàn)證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯(cuò)誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯(cuò)誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對(duì)于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯(cuò)誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題是新定義題，考查對(duì)封閉集概念的深刻理解，對(duì)邏輯思維能力的要求較高.8、D【解題分析】分析：數(shù)學(xué)老師位置固定，只需要排學(xué)生的位置即可.詳解：根據(jù)題意得到數(shù)學(xué)老師位置固定，其他4個(gè)學(xué)生位置任意，故方法種數(shù)有種，即24種.故答案為：D.點(diǎn)睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問題，然后逐步解決．9、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.10、A【解題分析】

畫出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。【題目詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題，在含有絕對(duì)值的題目時(shí)通常要經(jīng)過分類討論去絕對(duì)值。11、B【解題分析】

將長(zhǎng)度利用相似轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得答案.【題目詳解】易知：焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為：如圖利用和相似得到：，【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與直線的關(guān)系，相似，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、A【解題分析】

設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，由關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【題目詳解】設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)在已知曲線，所以，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線的對(duì)稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，代入已知曲線求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是點(diǎn)睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為。14、【解題分析】

運(yùn)用余弦定理可求得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式中的平方關(guān)系求得，再由題意可得O為的重心，得到，由三角形的面積公式，解方程可得所求值.【題目詳解】由余弦定理可得，因?yàn)?，且，所以，整理得，所以，從而得，滿足，且，可得O為的重心，且，即，則，故答案是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，三角形重心的性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【題目詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線．16、【解題分析】

連接，交于，連，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得結(jié)果.【題目詳解】連接，交于，連，如圖所示：因?yàn)?，且在底面?nèi)的射影是，所以由三垂線定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，所以，因?yàn)椋?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三垂線定理，考查了求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，可得最大值A(chǔ)，且能得周期并求得ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【題目詳解】（1）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且f（x）的圖象有一條對(duì)稱軸為直線，故最大值A(chǔ)＝4，且,∴，∴ω＝1．所以.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，.因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，，所以，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+）的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)(2)或.【解題分析】

（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，得出另一根為，根據(jù)韋達(dá)定理即可得解.(2)設(shè),由是實(shí)數(shù)，得出關(guān)于的方程，又得的另一個(gè)方程，聯(lián)立即可解得的值，即得解.【題目詳解】（1）實(shí)系數(shù)方程虛根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以由共軛虛根定理另一根是，根據(jù)韋達(dá)定理可得.（2）設(shè)，得又得,所以或，因此或w=.【題目點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的乘法及模的運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為由此可求出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入到中，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，利用韋達(dá)定理能求出的值.【題目詳解】解：（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，曲線的極坐標(biāo)方程為，則，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的普通方程為，點(diǎn)在直線上，且傾斜角為，將直線參數(shù)方程（為參數(shù)），代入到曲線的直角坐標(biāo)方程得：，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，由曲線的幾何意義知：.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程，考查兩線段長(zhǎng)的平方和的求法，考查運(yùn)算求解能力，考查與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.20、（1），（2）見解析【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，列表可求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）由題意，分類討論可求函數(shù)的單調(diào)性.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，則有：減極小值增極大值減因?yàn)?，，所以?（2），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大小；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用