江西省廣昌一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

江西省廣昌一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙三人每人準備在3個旅游景點中各選一處去游玩，則在“至少有1個景點未被選擇”的條件下，恰有2個景點未被選擇的概率是（）A．17 B．18 C．12．將4名學生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍2人，則不同的分配方法有（）A．240種 B．120種 C．90種 D．60種3．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、、中至少有一個偶數(shù)時，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)、、都是偶數(shù)B．假設(shè)、、都不是偶數(shù)C．假設(shè)、、至多有一個偶數(shù)D．假設(shè)、、至多有兩個偶數(shù)4．甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為（）A． B． C． D．5．若為虛數(shù)單位，復數(shù)與的虛部相等，則實數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．6．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)向量（為坐標原點），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式：，則（）A． B． C． D．7．一臺機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，若這臺機器一周個工作日不發(fā)生故障，可獲利萬元；發(fā)生次故障獲利為萬元；發(fā)生次或次以上故障要虧損萬元，這臺機器一周個工作日內(nèi)可能獲利的數(shù)學期望是（）萬元．（已知，）A． B． C． D．8．下列命題①多面體的面數(shù)最少為4；②正多面體只有5種；③凸多面體是簡單多面體；④一個幾何體的表面，經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910已知的數(shù)學期望，則的值為（）A． B． C． D．10．已知變量x,y之間的線性回歸方程為,且變量x,y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,則下列說法錯誤的是()x681012y6m32A．變量x,y之間呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系B．可以預測,當x=20時,y=﹣3.7C．m=4D．該回歸直線必過點(9,4)11．展開式中常數(shù)項為()A． B． C． D．12．是單調(diào)函數(shù),對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓（為參數(shù)）的焦距為________.14．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則．15．己知關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.16．在極坐標系中，過點并且與極軸垂直的直線方程是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）三棱柱中，分別是、上的點，且，．設(shè)，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長.．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.20．（12分）電子商務(wù)公司對某市50000名網(wǎng)絡(luò)購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額都在5000元到10000元之間，其頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并求出消費金額不低于8000元的購物者共多少人；（2）若將頻率視為概率，從購物者中隨機抽取50人，記消費金額在7000元到9000元的人數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差.21．（12分）已知等比數(shù)列的前項和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）（1）六個從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法有幾種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)事件A為：至少有1個景點未被選擇，事件B為：恰有2個景點未被選擇,計算P(AB)和P(A),再利用條件概率公式得到答案.【題目詳解】設(shè)事件A為：至少有1個景點未被選擇，事件B為：恰有2個景點未被選擇P(AB)=P(B故答案選A【題目點撥】本題考查了條件概率，意在考查學生對于條件概率的理解和計算.2、D【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理分兩步：先安排宿舍，再分配學生，繼而得到結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可以分兩步完成：第一步：選宿舍有10種；第二步：分配學生有6種；根據(jù)分步計數(shù)原理有：10×6＝60種．故選D．【題目點撥】本題考查排列組合及計數(shù)原理的實際應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

根據(jù)反證法的概念，可知假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，即可求解，得到答案?！绢}目詳解】根據(jù)反證法的概念，假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，所以用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)”時，假設(shè)應(yīng)為“假設(shè)都不是偶數(shù)”，故選B?！绢}目點撥】本題主要考查了反證法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記反證法的概念，準確作出所證命題的否定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點撥】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、D【解題分析】

先化簡與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因為復數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)相等的概念，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

將復數(shù)化為的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【題目詳解】【題目點撥】本題考查復數(shù)的計算，意在考查學生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.7、C【解題分析】

設(shè)獲利為隨機變量，可得出的可能取值有、、，列出隨機變量的分布列，利用數(shù)學期望公式計算出隨機變量的數(shù)學期望.【題目詳解】設(shè)獲利為隨機變量，則隨機變量的可能取值有、、，由題意可得，，則.所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，隨機變量的數(shù)學期望為，故選C.【題目點撥】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)已知條件列出隨機變量的分布列，考查運算求解能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

根據(jù)多面體的定義判斷．【題目詳解】正多面體只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正確．表面經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體．棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體．所以③④正確．故：①②③④都正確【題目點撥】根據(jù)多面體的定義判斷．9、B【解題分析】

根據(jù)分布列的概率之和是，得到關(guān)于和之間的一個關(guān)系式，由變量的期望值，得到另一個關(guān)于和之間的一個關(guān)系式，聯(lián)立方程，解得的值.【題目詳解】由題意可知：，解得.故選：B.【題目點撥】本題考查期望和分布列的簡單應(yīng)用，通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學生學習數(shù)學的情感，培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)度，在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)，以及應(yīng)用，對選項進行逐一分析，即可進行選擇.【題目詳解】對于A：根據(jù)b的正負即可判斷正負相關(guān)關(guān)系.線性回歸方程為，b=﹣0.7<0，故負相關(guān).對于B：當x=20時，代入可得y=﹣3.7對于C：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：9.可得4.即，解得：m=5.對于D：由線性回歸方程一定過()，即(9，4).故選：C.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的性質(zhì)，以及回歸直線方程的應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

求出展開式的通項公式，然后進行化簡，最后讓的指數(shù)為零，最后求出常數(shù)項.【題目詳解】解:，令得展開式中常數(shù)項為，故選D.【題目點撥】本題考查了求二項式展開式中常數(shù)項問題，運用二項式展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵.12、A【解題分析】

令，根據(jù)對任意都有，對其求導，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調(diào)函數(shù)∴∴，即.∴故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中解答的關(guān)鍵是求出抽象函數(shù)解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)題意，將橢圓的參數(shù)方程變形為普通方程，據(jù)此可得a、b的值，計算可得c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，橢圓的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），則其標準方程為y1＝1，其中a，b＝1，則c1，則橢圓的焦距1c＝1；故答案為：1．【題目點撥】本題考查橢圓的參數(shù)方程，橢圓簡單的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是將橢圓的參數(shù)方程變形為普通方程．14、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以,因此點睛：利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.15、【解題分析】

對和討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：當時，對恒成立；當時，，解得，綜合得：，故答案為：.【題目點撥】本題考查二次不等式恒成立的問題，要特別注意討論二次項系數(shù)為零的情況，是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由題意畫出圖形，結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系得答案．【題目詳解】如圖，由圖可知，過點（1，0）并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ＝1．故答案為．【題目點撥】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：（1）直接利用三角形加法和減法法則得到.(2)先求，再求MN的長.詳解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本題主要考查向量的運算法則和基底法，考查向量的模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.18、(1)；(2).【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論可得不等式的解集為(2)原問題等價于，結(jié)合(1)中的結(jié)論可得時，，則實數(shù)的取值范圍為試題解析：（1）由題得，，則有或或解得或或，綜上所述，不等式的解集為（2）存在，使不等式成立等價于由（1）知，時，，∴時，，故，即∴實數(shù)的取值范圍為19、（1）或.(2)【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理，求得，進而可求解角B的大小；（2）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求解。【題目詳解】（1）根據(jù)正弦定理得，.，，或.（2），且，.，，.由正弦定理，得.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．其中在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、(1)人(2)【解題分析】

由頻率分布直方圖計算出頻率，然后用樣本估計總體計算出消費金額在到的概率，然后計算的數(shù)學期望和方差【題目詳解】（1）消費金額不低于8000元的頻率為，所以共人.（2）從購物者中任意抽取1人，消費金額在7000到9000的概率為，所以，∴∴.【題目點撥】本題結(jié)合頻率分布直方圖用樣本估計總體，并計算相應(yīng)值得數(shù)學期望和方差，只要運用公式即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ)．21、（1）（2）【解題分析】

（1）利用求出當時的通項，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項和.【題目詳解】（1）因為，當時，，當時，，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因為，所以，所以，即.【題目點撥】（1）數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系是，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.22、（1）216（2）36（3）120【解題分析】分析：（1）分兩種情況討論甲在最左端時，有，當甲不在最左端時，有(種）排法，由分類計數(shù)加法原理可得結(jié)果；（