2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆吉林省四平市公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．22．某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種3．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且不在直線(xiàn)上，則周長(zhǎng)的最小值為A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，P是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．0 C． D．6．在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.217．下列關(guān)于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于2；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由確定，隨著的變化曲線(xiàn)沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④8．把一枚質(zhì)地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正方形托盤(pán)上，已知硬幣平放在托盤(pán)上且沒(méi)有掉下去，則該硬幣完全落在托盤(pán)上（即沒(méi)有任何部分在托盤(pán)以外）的概率為（）A． B． C． D．9．由半橢圓與半橢圓合成的曲線(xiàn)稱(chēng)作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點(diǎn)和左橢圓的焦點(diǎn)，確定叫做“果圓”的焦點(diǎn)三角形，若“果圓”的焦點(diǎn)為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個(gè)水果，且從這周的第二天開(kāi)始，每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．12．已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則最小值為_(kāi)_______.14．已知是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，的右支上一點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為2，在另一條漸近線(xiàn)上有一點(diǎn)滿(mǎn)足，則________________．15．不等式的解集為_(kāi)______．16．從2，4，8中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2名男生、4名女生排成一排，問(wèn)：（1）男生平必須排在男生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？（2）4名女生不全相鄰的不同排法共有多少種？18．（12分）《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車(chē)行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車(chē)讓行，俗稱(chēng)“禮讓斑馬線(xiàn)”，《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第90條規(guī)定：對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線(xiàn)”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)少與月份x之間的回歸直線(xiàn)方程；（2）預(yù)測(cè)該路口7月份的不“禮讓斑馬線(xiàn)”違章駕駛員人數(shù)；（3）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過(guò)該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線(xiàn)”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下2×2列聯(lián)表：不禮讓斑馬線(xiàn)禮讓斑馬線(xiàn)合計(jì)駕齡不超過(guò)1年22830駕齡1年以上81220合計(jì)302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線(xiàn)”行為與駕齡有關(guān)？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明.21．（12分）中，三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知成等差數(shù)列．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求角的取值范圍．22．（10分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線(xiàn)且，點(diǎn)是圓柱底面面圓周上的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

令，先求出方程的三個(gè)根，，，然后分別作出直線(xiàn)，，與函數(shù)的圖象，得出交點(diǎn)的總數(shù)即為所求結(jié)果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當(dāng)時(shí)，則，得；（2）當(dāng)時(shí)，則，即，解得，.如下圖所示：直線(xiàn)，，與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為、、，所以，方程的根的個(gè)數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題首先將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個(gè)根，再作出這些直線(xiàn)與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)總數(shù)即為方程根的個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．2、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見(jiàn)解法有：一般問(wèn)題直接法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.3、C【解題分析】

求△MAF周長(zhǎng)的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長(zhǎng)的最小值為11，故答案為：C．4、B【解題分析】

由平移變換得到，由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求.【題目詳解】由題意得：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故選B.【題目點(diǎn)撥】平移變換、伸縮變換都是針對(duì)自變量而言的，所以函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，不能錯(cuò)誤地得到.5、C【解題分析】

首先以與作為一組向量基底來(lái)表示和，然后可得，討論與共線(xiàn)同向時(shí)，有最大值為1，進(jìn)一步可得有最小值.【題目詳解】由題意得,，所以因?yàn)閳A心角為120°，所以由平行四邊形法則易得，所以當(dāng)與共線(xiàn)同向時(shí)，有最大值為1，此時(shí)有最小值.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，選擇合適的基底表示相關(guān)的向量是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、B【解題分析】

根據(jù)已知條件,求出正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可求出的值,進(jìn)而可求【題目詳解】解:測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布中概率問(wèn)題的求解.在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),結(jié)合正態(tài)分布曲線(xiàn)圖像進(jìn)行求解,其關(guān)鍵是找到曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.7、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數(shù)的關(guān)系結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故①不正確，②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”；正確；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于1；故③不正確；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由確定，隨著的變化曲線(xiàn)沿軸平移.正確.故選C.點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線(xiàn)，熟練掌握正態(tài)分布的相關(guān)概念是解答的關(guān)鍵．8、B【解題分析】分析：求出硬幣完全落在托盤(pán)上硬幣圓心所在區(qū)域的面積，求出托盤(pán)面積，由測(cè)度比是面積比得答案.詳解：如圖：要使硬幣完全落在托盤(pán)上，則硬幣圓心在托盤(pán)內(nèi)以6為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)，硬幣在托盤(pán)上且沒(méi)有掉下去，則硬幣圓心在托盤(pán)內(nèi)，由測(cè)度比為面積比可得，硬幣完全落在托盤(pán)上的概率為.故選B.點(diǎn)睛：本題考查幾何概型概率的求法，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【題目詳解】解：連接，，根據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解題分析】試題分析：小明共有6次選擇，因?yàn)榈谝惶旌偷谄咛炀?個(gè)水果，所以在這6次選擇中“多一個(gè)”和“少一個(gè)”的次數(shù)應(yīng)相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù)．當(dāng)6次選擇均為“持平”時(shí)，共有種方案；當(dāng)6次選擇中有4次“持平”時(shí)，選擇“多一個(gè)”和“少一個(gè)”各一次，共有種方案；當(dāng)6次選擇中有2次“持平”時(shí)，選擇“多一個(gè)”和“少一個(gè)”各2次，共有種方案；當(dāng)6次選擇中有0次“持平”時(shí)，選擇“多一個(gè)”和“少一個(gè)”各3次，共有種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有種方案,故D正確.考點(diǎn)：排列組合，考查分類(lèi)討論思想.11、B【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義或性質(zhì)求出，然后可求出導(dǎo)函數(shù)，得切線(xiàn)斜率，從而得切線(xiàn)方程【題目詳解】∵是奇函數(shù)，∴，∴，，是奇函數(shù)，，，，切線(xiàn)方程為，即．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般．12、B【解題分析】

求得圓心角的弧度數(shù)，用求得扇形半徑.【題目詳解】依題意為，所以．故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查角度制和弧度制轉(zhuǎn)化，考查扇形的弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

把所求式子看作兩點(diǎn)間距離的平方，再根據(jù)直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系求最值【題目詳解】看作兩點(diǎn)之間距離的平方。點(diǎn)A在直線(xiàn)上，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，取所以，即最小值為4.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)間距離公式以及利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14、4【解題分析】

試題分析：雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F（，0），漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)P到漸近線(xiàn)的距離恰好跟焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離相等，所以P必在過(guò)右焦點(diǎn)與一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)上，不妨設(shè)P在直線(xiàn)上，由方程組得，所以，由方程組得，所以，所以由于，所以．考點(diǎn)：向量共線(xiàn)的應(yīng)用，雙曲線(xiàn)的方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．【方法點(diǎn)晴】要求的值，就得求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，也可結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)P的軌跡，解方程組即得P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，問(wèn)題就解決了．15、【解題分析】

原不等式等價(jià)于，解之即可.【題目詳解】原不等式等價(jià)于，解得或.所以不等式的解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查分式不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先選后排，由分步計(jì)數(shù)原理可求得方法數(shù)?！绢}目詳解】從2，4，8中任取2個(gè)數(shù)字共有方法數(shù)種，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字共有方法數(shù)種，排成四位數(shù)共有種，由分步計(jì)數(shù)原理方法數(shù)為。填216.【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類(lèi)和分步，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏，本題是典型的先選后排分步計(jì)數(shù)原理題型。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)定序法確定排列數(shù)，（2）先求相鄰的排列數(shù)（捆綁法），再用全排列相減得結(jié)果.詳解：（1）法1：，法2：；（2）．答：分別有360和576種不同的排法.點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——間接法.18、（1）；（2）66人；（3）有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線(xiàn)”行為與駕齡關(guān)．【解題分析】

（1）利用所給數(shù)據(jù)計(jì)算、，求出回歸系數(shù)，寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程；

（2）由（1）中的回歸直線(xiàn)方程計(jì)算x=7時(shí)的值即可；

（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，，∴，∴，∴所求回歸直線(xiàn)方程為．（2）由（1）知，令，則人.（3）由表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線(xiàn)”行為與駕齡關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而證明平面平面；（2）結(jié)合（1），如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：設(shè)，在矩形中，由為的中點(diǎn)，易求得：，所以．所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平?（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，得，設(shè)平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．20、見(jiàn)解析.【解題分析】分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗(yàn)證時(shí)不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，利用放縮法證明時(shí)，不等式也成立．詳解：證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，不等式成立.由①②知對(duì)于任意正整數(shù)，不等式成立.點(diǎn)睛：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，