2024屆天一大聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆天一大聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元世紀(jì)）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組人分工搜集整理種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人種、另兩人每人種計(jì)算器械，則不同的分配方法有（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．3．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．5．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．6．的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．2 B．8 C． D．-177．若當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則()A． B． C． D．8．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）A． B． C． D．9．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．10．已知方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-212．在二項(xiàng)式的展開式中任取2項(xiàng)，則取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知公比不為1的等比數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，若是與的等差中項(xiàng)，則__________．14．觀察下列各式：，，，，由此可猜想，若，則__________.15．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為________.16．在中，，，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別是且.（1）求角A；（2）若為鈍角三角形，且，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ啬撤N生物，甲乙兩個(gè)生物小組分別獨(dú)立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該次試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．(1)甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；(2)若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，求兩個(gè)小組試驗(yàn)成功至少3次的概率．20．（12分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，梯形面積為.（1）當(dāng)，時(shí)，求梯形的周長(精確到)；（2）記，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.21．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為.（1）求的值；（2）求曲線在處的切線方程.22．（10分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

本題涉及平均分組問題，先計(jì)算出分組的方法，然后乘以得出總的方法數(shù).【題目詳解】先將種計(jì)算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給個(gè)人，方法數(shù)有種，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查簡單的排列組合問題，考查平均分組要注意的地方，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，利用的單調(diào)性及奇偶性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】因?yàn)樗允桥己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價(jià)于，解得：故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題。3、A【解題分析】分析：利用橢圓定義的周長為，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用對稱性，可得橢圓的離心率.詳解：的周長為，∴故選：A點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．4、D【解題分析】

根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【題目詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．5、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.6、D【解題分析】

令得各項(xiàng)系數(shù)和，可求得，再由二項(xiàng)式定理求得的系數(shù)，注意多項(xiàng)式乘法法則的應(yīng)用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，在二項(xiàng)展開式中，通過對變量適當(dāng)?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和與奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．7、B【解題分析】

函數(shù)解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】，其中,當(dāng)，即時(shí)，取得最大值5,，則，故選B.【題目點(diǎn)撥】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.8、A【解題分析】

由二項(xiàng)分布的公式即可求得時(shí)概率值.【題目詳解】由二項(xiàng)分布公式：.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的公式，由題意代入公式即可求出.9、B【解題分析】

數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故從右到左第1行的第一個(gè)數(shù)為：2×2﹣1，從右到左第2行的第一個(gè)數(shù)為：3×20，從右到左第3行的第一個(gè)數(shù)為：4×21，…從右到左第n行的第一個(gè)數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故答案為：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納與推理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、A【解題分析】分析：由于是偶函數(shù)，因此只要在時(shí)，方程有2個(gè)根即可．用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值．詳解：由于是偶函數(shù)，所以方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根．設(shè)，則，∴時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，取得極大值也是最大值，又時(shí)，，時(shí)，，所以要使有兩個(gè)根，則．故選A．點(diǎn)睛：本題考查方程根的分布與函數(shù)的零點(diǎn)問題，方程根的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如能采用分離參數(shù)法，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值或值域．11、A【解題分析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計(jì)算可得．【題目詳解】因故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式，屬于簡單題．12、C【解題分析】

二項(xiàng)式的展開式共十項(xiàng)，從中任取2項(xiàng)，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個(gè)，從中取兩個(gè)有幾種取法得出答案．【題目詳解】二項(xiàng)式的展開式共十項(xiàng)，從中任取2項(xiàng)，共有種取法，展開式系數(shù)為偶數(shù)的有，共六個(gè)，取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有種取法，取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關(guān)鍵是找出哪些項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)，求出取出的2項(xiàng)中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2017【解題分析】由題設(shè)可得，又，故，則，應(yīng)填答案．14、.【解題分析】分析：觀察下列式子，右邊分母組成以為首項(xiàng)，為公差的對稱數(shù)列，分子組成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，即可得到答案.詳解：由題意，，，，可得，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中歸納推理的步驟是：（1）通過觀察給定的式子，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算的相同性或運(yùn)算規(guī)律，（2）從已知的相同性或運(yùn)算規(guī)律中推出一個(gè)明企鵝的一般性的題，著重考查了考生的推理與論證能力.15、3【解題分析】

將A和直線化成直角坐標(biāo)系下點(diǎn)和方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知，在直角坐標(biāo)系下，，直線方程為，所以A到直線的距離為.故答案為：3【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.16、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，，再由二倍角公式得到結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，以及二倍角公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理化簡可得，再結(jié)合余弦定理即可得到角；（2）結(jié)合（1）可得，利用正弦定理把求的范圍轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合三角形的性質(zhì)可得，由正弦函數(shù)的圖形即可得到的范圍，從而得到的取值范圍．【題目詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫?，由余弦定理可知：所以又因?yàn)?，?（2）由（1）知，又，所以，且，則因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形且，則，所以，結(jié)合圖象可知，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（1）（2）見解析【解題分析】

先求出c的值，再根據(jù)，又，即可得到橢圓的方程;假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出m的值，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)【題目詳解】由題意可得，點(diǎn)在C上，，又，解得，，橢圓C的方程為，假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，由，消去y可得，，解得，，，，，，依題意有，，由，可得，可得，由可得，，，代入上式化簡可得，則，解得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）“三次試驗(yàn)中至少兩次試驗(yàn)成功”是指三次試驗(yàn)中，有2次試驗(yàn)成功或3次試驗(yàn)全部成功，先計(jì)算出2次與3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次兩種情況求其概率相加即可【題目詳解】(1)設(shè)“甲小組做了三次實(shí)驗(yàn)，至少兩次試驗(yàn)成功”為事件A，則其概率為.(2)設(shè)“甲乙兩小組試驗(yàn)成功3次”為事件B，則，設(shè)“甲乙兩小組試驗(yàn)成功4次”為事件C，則，故兩個(gè)小組試驗(yàn)成功至少3次的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录『冒l(fā)生k次的概率、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．20、（1）周長是；（2），定義域.【解題分析】分析：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，可得橢圓方程為，由題，，則代入橢圓方程得，可求，由此可求求梯形的周長.（2）由題可得，，由此可求，進(jìn)而得到定義域.詳解：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，可得橢圓方程為，，，∴代入橢圓方程得，∴，所以梯形的周長是；（2）得，∴，，定義域.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)定義域的問題，是綜合性題目．