常微分方程求解與動(dòng)畫架構(gòu)

一、前言

日常生活中公路的造線。在圓曲線路段內(nèi)車輛有一定的離心力，這路線方向的調(diào)整、路面傾斜度的漸變以及路面加寬通常會(huì)由曲率來決定。數(shù)學(xué)應(yīng)用上，曲率主要是用來描述曲線上某處，曲線彎曲變化的程度，通常使用微積分技巧求曲率。當(dāng)曲線軌跡推至三維後，描述線段軌跡的因素則多了一項(xiàng)扭率。在材料力學(xué)梁翹曲中，計(jì)算正向應(yīng)力時(shí)的推導(dǎo)，亦需使用到曲率觀念。本計(jì)畫延伸平面曲線的概念，探討空間曲線。利用向量微積分的觀點(diǎn)與曲線弧長(zhǎng)參數(shù)表示法做切入點(diǎn)。透過Mathematica軟體建構(gòu)軌跡動(dòng)畫。希望本計(jì)畫對(duì)日後學(xué)生學(xué)習(xí)、老師教學(xué)與工程運(yùn)用都會(huì)有相當(dāng)?shù)膸椭?。二、研究議題1.空間曲線之時(shí)間與弧長(zhǎng)參數(shù)表示法的建立及其關(guān)係。2.討論曲線之曲率與扭率在空間曲線之幾何、力學(xué)與物理意義。3.將Frenetformula轉(zhuǎn)成狀態(tài)方程配合初位置與初架構(gòu)(frame)求解。4.提出一套空間曲線三維建構(gòu)模型。5.探討三種向量，切向量、法向量與Binormal向量，所對(duì)應(yīng)的幾何意義及其工程應(yīng)用。6.符號(hào)運(yùn)算軟體Mathematica使用能力建立。7.矩陣函數(shù)的求解技巧與應(yīng)用。三、研究方法與過程給一空間曲線，其時(shí)間參數(shù)表示式為，藉由弧長(zhǎng)關(guān)係將時(shí)間參數(shù)表示法轉(zhuǎn)成至空間參數(shù)表示法，，為位置向量單位切向量為微小弧長(zhǎng)單位法向量因與正交，故可令單位雙法向量(binormalvector)，則與和向量正交?？傻闷鋱D型如下經(jīng)整理運(yùn)算可得狀態(tài)空間表示式如下：

其中Ａ為Frenetformula

圖切向量、法向量與雙法向量四、研究結(jié)果因軌跡方程會(huì)滿足一狀態(tài)方程，而其解的形式為，所以以下將介紹三種方式解。狀態(tài)方程Frenetformula矩陣函數(shù)技巧與應(yīng)用1.傳統(tǒng)方法2.Jordan正則式(CanonicalForm)3.矩陣餘式定理傳統(tǒng)方法假設(shè)有一矩陣Ａ，其特徵向量組成的矩陣為Ｖ對(duì)角化而Jordan正則式(CanonicalForm)假設(shè)有一矩陣A，其特徵值有二重根，可利用JordanCanonicalForm解決重根問題，矩陣特徵值有二重根時(shí)JordanForm表示為以下為四重根矩陣餘式定理給一矩陣Ａ，其特徵方程式為特徵值為由Cayley-Hamilton定理知。透過餘式定理可知將分別代入，可求得。再由實(shí)數(shù)和矩陣可互換性質(zhì)，將實(shí)數(shù)換為矩陣可寫成代入矩陣Ａ得。五、曲線動(dòng)畫與Frenetformula參數(shù)研究G.E.初位置初向量一般軌跡方程為聯(lián)立常微分方程，因此可用求解Frenetformula切向量。法向量。雙法向量。曲線建立

給

為初始向量，再由初位置與可建構(gòu)出曲線Frenetformula參數(shù)研究a.初狀態(tài)b.初位置改變c.改變曲率半徑d.改變扭率a.動(dòng)畫與黑線為空間曲線，紅線，綠線，藍(lán)線。b.改變初位置:和黑線為第a.藍(lán)線為b.c.改變曲率半徑:黑線為其餘依順序?yàn)閐.改變扭率:黑線為其餘依順序?yàn)榱⒖臻g曲線之時(shí)間與弧長(zhǎng)參數(shù)表示法曲線時(shí)間與弧長(zhǎng)參數(shù)表示為半徑，為角度，為變數(shù)。如圖所示圖空間曲線之半徑與角度空間曲線弧長(zhǎng)參數(shù)表示法半徑角度研究a.改變半徑(固定角度)b.角度改變(固定半徑)a.改變半徑固定(角度)

紅線半徑為綠線半徑為藍(lán)線半徑為b.改變角度