第28章 銳角三角函數(shù) 人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)章末測(cè)試(含答案)

第二十八章銳角三角函數(shù)（章末測(cè)試）一、單選題（每題4分，共40分）1．如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（）A． B．1 C． D．【詳解】如圖，連接BC，由網(wǎng)格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，則tan∠BAC=1，故選：B．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，．若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值等于（

）A．10 B．24 C．48 D．50【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，∴，∵．∴，∴∴點(diǎn)C坐標(biāo)∵若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴故選C．3．2sin45°的值等于（

）A．1 B． C． D．2【詳解】解：2sin45°=2×故選：B．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，則BC的長(zhǎng)度為()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【詳解】已知sinA=，設(shè)BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故選：C．5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個(gè)三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【詳解】試題解析：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．6．如圖，一艘船由港沿北偏東65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏東20°方向，則，兩港之間的距離為（

）.A． B． C． D．【詳解】解：根據(jù)題意作BD垂直于AC于點(diǎn)D.可得AB=，所以可得因此可得故選B.7．如圖，小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)D處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡長(zhǎng)BC=10米，則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米【詳解】如圖，延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作CQ⊥AP于點(diǎn)Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四邊形CEPQ為矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=，∴設(shè)CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2或x=?2(舍)，則CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP=≈13.1，∴AB=AP?BQ?PQ=13.1?6?2=5.1，故選A.8．如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【詳解】解：如圖，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在RtDEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴＝＝，設(shè)DE＝4x，則EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在RtADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故選：B．9．如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=1：0.75、坡長(zhǎng)為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米【詳解】作BM⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵，設(shè)CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四邊形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故選A．10．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（

）A． B． C． D．【詳解】∵在中，，∴在中，，故選：A．二、填空題（每題4分，共20分）11．如圖，某校教學(xué)樓與實(shí)驗(yàn)樓的水平間距米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部點(diǎn)的仰角是，底部點(diǎn)的俯角是，則教學(xué)樓的高度是____米（結(jié)果保留根號(hào)）.【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC，垂足為E，則∠ABE=30°，∠CBE=45°，四邊形CDBE是矩形，∴BE=CD=15，∵∠CEB=90°，∴∠CEB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，∴CE=BE=15，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，即，∴AE=15，∴AC=AE+CE=15+15，即教學(xué)樓AC的高度是(15+15)米，故答案為(15+15).12．如圖，小明在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：,則斜坡AB的長(zhǎng)是__________米．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵斜面坡度為1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，∵在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案為：.13．如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為________海里．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為：20．14．如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是_____．【詳解】如圖，延長(zhǎng)BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周長(zhǎng)，AD=DB，∴BE=CE+AC，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC?sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案為．15．如圖是小明畫的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β，則tanβ的值是______．【詳解】解：如圖，作AT//BC，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=a觀察圖像可知：所以tanβ＝．故答案為．三、解答題（16題8分，17-19題每題9分，20題11分，21題14分）16．計(jì)算：.【詳解】原式=17．由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)處時(shí)，測(cè)得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處，測(cè)得小島位于它的北偏東方向．如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【詳解】解：由題知：，，．在中，，，（海里）．在中，，，（海里）．答：還需要航行的距離的長(zhǎng)為20.4海里．18．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【詳解】（1），，，，，，是直徑，，，是的切線；（2），，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得（舍去），．19．如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若，求的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設(shè)，∴，又∵，∴，在中，．∴．20．如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的南偏東的方向航行．（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島最近(結(jié)果保留根號(hào))？（2）漁船到達(dá)距離小島最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行到點(diǎn)處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少(結(jié)果保留根號(hào))？【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，∵垂線段最短，上的點(diǎn)距離點(diǎn)最近，即為所求，由題意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴，∴漁船航行時(shí)，距離小島最近．（2）在中，，∠DBC=60°，∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，.答：從處沿南偏東出發(fā)，最短行程.21．閱讀理解：如圖1，Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，∠C＝90°，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（規(guī)定sin90°＝1）．探究活動(dòng)：如圖2，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，其外接圓半徑為R，那么：（用＞、＝或＜連接），并說(shuō)明理由．事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形．初步應(yīng)用：在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．綜合應(yīng)用：如圖3，在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小鳳同學(xué)測(cè)量一古塔CD的高度，在A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂C的仰角為15°，又沿古塔的方向前行了100m到達(dá)B處，此時(shí)A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，在B處測(cè)得塔頂C的仰角為45°，求