高三數(shù)學(xué)函數(shù)模型及應(yīng)用

要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)雙基回顧

能力·思維·方法

相關(guān)拓展第三章〔第二節(jié)〕

幾種不同增長的函數(shù)模型及其應(yīng)用要點(diǎn)·疑點(diǎn)·考點(diǎn)1.函數(shù)思想

就是要用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí).用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察處理問題.2.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

一是認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；二是要合理選取參變數(shù)，設(shè)定變元后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)模型；最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解.3.分析和解決函數(shù)應(yīng)用題的思維過程：實(shí)際問題函數(shù)模型實(shí)際問題的解函數(shù)模型得解抽象概括推理演算還原說明答4.幾類常見的與不同增長的函數(shù)有關(guān)函數(shù)模型有：〔1〕一次函數(shù)模型:y=kx+b〔2〕二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c〔3〕指數(shù)函數(shù)模型:y=abx+c〔4〕對數(shù)函數(shù)模型：y=mlogax+n〔5〕冪函數(shù)模型：y=axn+b5.在增長速度上，一般在區(qū)間〔0，+∞〕上，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax1.某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，以下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，那么以下四個(gè)圖形中較符合該學(xué)生的走法的是：雙基回憶D2.某種放射性元素，100年后只剩原來質(zhì)量的一半，現(xiàn)有這種元素1克，三年后剩下：D3.某商場出售甲、乙兩種不同價(jià)格的電腦，其中甲電腦供不應(yīng)求，連續(xù)兩次提價(jià)10%，而乙電腦由于外觀原因連續(xù)兩次降價(jià)10%，最后甲乙兩臺(tái)電腦均以9801元售出，假設(shè)商場同時(shí)售出甲乙兩臺(tái)電腦各一臺(tái)與價(jià)格不升不降比較，商場盈利的情況是：A.前后相同B.少賺598元C.多賺980.1元D.多賺498.5元B例1醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的開展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表：

天數(shù)t

1234567…病毒細(xì)胞總數(shù)N

1248163264…該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡。但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%?！?〕為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？〔2〕第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？〔精確到天，lg2=0.3010〕27天;6天.【解題回憶】指數(shù)函數(shù)模型，關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件寫出函數(shù)式，列出不等式。注意解題技巧：“兩邊取對數(shù)〞，這對實(shí)施指數(shù)計(jì)算很有效。能力·思維·方法【解題回憶】看似繁雜的文字題，其背景不過是兩個(gè)一次函數(shù)，當(dāng)然因x∈N*，故實(shí)際上是兩個(gè)等差數(shù)列.例2一家庭(父親、母親、孩子)去某地旅游，有兩個(gè)旅行社同時(shí)發(fā)出邀請，且有各自的優(yōu)惠政策，甲旅行社承諾：如果父親買一張全票，那么其家庭成員(母親與孩子，不管孩子多少與大)均可享受半價(jià)；乙旅行社承諾：家庭旅行算團(tuán)體票，按原價(jià)的2/3計(jì)算，這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的，假設(shè)家庭中孩子數(shù)不同(至少一個(gè))，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個(gè)數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪一家旅行社更優(yōu)惠?例3截止到1999年底，我國人口約為13億，假設(shè)今后能將人口平均增長率控制在1%，經(jīng)過x年后，我國人口為y〔億〕；〔1〕求y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；〔2〕求函數(shù)y=f(x)的定義域；〔3〕判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出函數(shù)增減性的意義。【解題回憶】原有人口P，增長率為m〔或降低率為m〕，經(jīng)x年后有：P=〔1+m〕x[或P=〔1-m〕x]相關(guān)拓展

按復(fù)利計(jì)算利率的儲(chǔ)蓄，銀行整存一年，年利率8%，零存每月利率2%，現(xiàn)把2萬元存入銀行3年半，取出后本利和應(yīng)為人民幣：A.12B.15C.25D.50【解題回憶】復(fù)利問題：本金為P，期利率為r，經(jīng)n期后本利和為：P=〔1+r〕n；單利問題：本金為P，期利率為r，經(jīng)n期后本利和為：P=〔1+nr〕；例4某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件。為了估計(jì)以后每月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)y=a.bx+c〔其中a,b,c為常數(shù)〕，4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬元，試問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由。【解題回憶】先用待定系數(shù)法分別求出兩個(gè)函數(shù)，再比較當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值哪個(gè)更接近1.37。某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)鼓勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤到達(dá)10萬元時(shí),開始按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y〔萬元〕隨銷售利潤x〔萬元〕的增加而增加，但獎(jiǎng)金總額不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？相關(guān)拓展煤氣費(fèi)=根本費(fèi)+超額費(fèi)+保險(xiǎn)費(fèi)假設(shè)每月用量不超過最低限度A米3，只付根本費(fèi)3元和每戶每月的定額保險(xiǎn)費(fèi)C元，假設(shè)每月用量超過A米3，超過局部每立方米付B元，又知保險(xiǎn)費(fèi)C不超過5元，根據(jù)上面的表格求A、B、C。

例5某家庭今年一月份、二月份和三月份煤氣用量和支付費(fèi)用如下表所示：

月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4立方米4元二月份25立方米14元三月份35立方米19元【解題回憶】利用分段函數(shù)解決問題。(A=5,B=1/2,C=1)；蕨菜根uxd41vzu說中午要給我們攤雞蛋煎餅嗎，太好了！今兒個(gè)不用小青姐姐給我們?nèi)齻€(gè)送飯了，我們的水果全賣完了，我們回家來吃，我來幫您打雞蛋吧！〞喬氏此時(shí)正在背著身子用濕毛巾擦臉呢。聽到耿直歡快的呼喚，她盡量努力平靜地說：“娘娘還沒有準(zhǔn)備好面糊呢。你先去玩兒吧。一會(huì)兒準(zhǔn)備好了，娘娘喊你來打雞蛋！〞耿直容許一聲，就好似兔子一樣又蹦跳著從西屋里了躥出來，差點(diǎn)兒跟剛走進(jìn)過廳的小青撞了一個(gè)滿懷。而此時(shí)剛剛走進(jìn)過廳的小青卻感覺有點(diǎn)兒不對勁兒了：為什么耿直剛剛那樣喊叫，但耿伯伯還在大敞著門兒的東屋床上面朝里側(cè)臥著呢？進(jìn)了西屋再看一眼母親的臉色，雖然已經(jīng)擦洗過了，但仍然還能明顯地看出來哭泣過的痕跡，心里不禁“咯噔〞一下。她馬上想到，姆媽現(xiàn)在不至于為了已經(jīng)去世的爹爹再不時(shí)不晌地這樣傷心了??！假設(shè)要說母親現(xiàn)在最掛心的，莫過于自己和耿正的事情了。所以此情此景，只能讓她以為是：耿伯伯不愿意應(yīng)允耿正和她的親事，而使自己的姆媽傷心不已了。于是，她暗下決心，趁著今兒下午沒有事情，一定要向耿正挑明這件事！恰在此時(shí)，耿英和耿正一前一后走進(jìn)過廳了。耿英探頭看到爹爹正在睡覺，就伸出右手輕輕地拉上屋門，同時(shí)左手舉食指豎在嘴巴之前，無聲地噘起嘴“噓〞了一聲，和哥哥一起轉(zhuǎn)身欲往西屋里去。小青一個(gè)急轉(zhuǎn)身擋在門口，裝出很快樂的樣子對二人說：“姆媽剛剛說了，叫咱們?nèi)バ挛堇镒屑?xì)查看一番，看一看所有的墻面和頂棚是不是全都干透了。今兒個(gè)下午，她要帶我們?nèi)ベI刷家用的粉末和毛刷，順便再去街上轉(zhuǎn)悠轉(zhuǎn)悠呢！〞于是，大家一起來到新屋內(nèi)，一面一面仔仔細(xì)細(xì)地查看亮好了的墻壁。確認(rèn)所有的墻壁已經(jīng)全部干透了以后，小青又說：“不知道頂棚上的石灰泥是不是也干透了？頂棚上抹得多，只怕還沒有干透呢！〞耿正也說：“對，亮頂棚用的石灰泥很多，我們應(yīng)該特別查看一下！外面的石灰泥必須充分干透了，竹簾子里面擠進(jìn)去的石灰泥小球球才有可能也干了呢！〞于是，小青和耿英扶著高架凳子，耿正踩在上面仔細(xì)地檢查了每一間屋子的頂棚，確認(rèn)都已經(jīng)干透了。然后，大家又在各間屋子里隨便走走看看。小青環(huán)顧這些潔白的新屋，非常感謝而又深感歉意地說：“真是不容易啊，把耿伯伯累成那樣