蘇教版八年級上冊數(shù)學(xué)期中試卷

2015-2016學(xué)年江蘇省連云港市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.下列圖形是幾家電信公司的標(biāo)志，其中是軸對稱圖形的是（）

2.如圖，△ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，以下結(jié)論:

（1）△ABD^AACD；

（2）AD±BC；

（3）ZB=ZC；

（4）AD是^ABC的角平分線.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.等腰三角形兩邊分別為5和10,那么它的周長為（）

A.20B.25C.15D.20或25

4.如圖，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC的中

點(diǎn)，連接DE,則ACDE的周長為（）

5.如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與

書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

6.如圖，兩條筆直的公路11、12相交于點(diǎn)o,村莊C的村民在公路的旁邊建三個加工廠A、

B、D.已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路h的距離為4公里，則村莊C到公路

12的距離是（）

A.3kmB.4kmC.5kmD.6km

7.已知一直角三角形的木板，三邊的平方和為18005?,則斜邊長為（）

A.30cmB.80cmC.90cmD.120cm

8.如圖，A,B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)C也在

格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)C有（）

：3

A.6個B.7個C.8個D.9個

二、填空題（每小題3分）

9.在"線段、圓、等邊三角形、正方形、角"這五個圖形中，對稱軸最多的圖形是

10.已知三角形三邊長分別是6,8,10,則此三角形的面積為

11.如圖，若AOAD之△OBC,且NO=65。，ZC=20°,則NOAD=度

12.如圖所示，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)Pi，P2,連接

P1P2交OA于M,交OB于N,PIP2=15,則△PMN的周長為.

p

2B

13.如圖，從電線桿離地面6m處向地面拉一條長10m的固定纜繩，這條纜繩在地面的固

定點(diǎn)距離電線桿底部有m.

14.如圖，Z1=Z2,要使AABE絲AACE,還需添加一個條件是（填上你認(rèn)為

適當(dāng)?shù)囊粋€條件即可）.

15.如圖，已知△ABC和△DBE均為等邊三角形，連接AD,CE,若NBAD=36。，那么

ZACE=__________.

16.如圖，ZACB=90°,AD是/CAB的平分線，BC=12,CD=4.5,則AC=

三、解答題

17.已知/O及其邊上兩點(diǎn)A和B(如圖)，用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到/O的兩邊

的距離相等，且到點(diǎn)A、B的距離也相等.(保留作圖痕跡)

18.方格紙中每個小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格

點(diǎn)多邊形".

圖1圖2圖3

(1)在圖1中確定格點(diǎn)D,并畫出一個以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖

形；

(2)在圖2中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；

(3)直接寫出圖3中4FGH的面積是.

19.己知：如圖，AB=AE,Z1=Z2,ZB=ZE.求證：BC=ED.

20.等腰△ABC中，腰長AB=8cm,BC=5cm,NCBD=18。，AB的垂直平分線MN交AC

于點(diǎn)D.

(1)求4BCD的周長；

(2)求/A的度數(shù).

21.如圖，一個特大型設(shè)備人字梁，工人師傅要檢查人字梁的AB和AC是否相等，但是他

直接測量不方便，身邊只有一個刻度尺(長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠).它是這樣操作的：①分別在BA

和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米，如果a=b,

則說明AB和AC是相等的，他的這種做法合理嗎？為什么？

22.如圖，已知在△ABC中，CD_LAB于D,AC=20,BC=15,DB=9.

(1)求DC的長；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.

23.如圖，△ABC是一張直角三角形紙片，其中/C=90。，BC=8cm,AB=10cm,將紙片折

疊，使點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)D處，折痕為MN.

(1)求DC的長；

(2)求AM的長.

24.已知，如圖，AC平分/BAD,CE_LAB于E,CDJ_AD于F,且BC=DC.

(1)BE與DF是否相等？請說明理由；

(2)若DF=1,AD=3,求AB的長；

(3)若△ABC的面積是23,AADC面積是18,直接寫出ABEC的面積.

25.如圖1,點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、

點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M.

(1)求證：△ABQ^ACAP：

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時，NQMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不

變，求出它的度數(shù).

(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)

為M,則/QMC變化嗎？若變化，請說明理由；,若不變，則求出它的度數(shù).

26.(14分)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,AACB和ADCE均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同

一直線上，連接BE,則/AEB的度數(shù)為,線段AD、BE之間的關(guān)系.

(2)拓展探究：如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，/ACB=NDCE=90。，點(diǎn)

A、D、E在同一直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE.①請判斷/AEB的度

數(shù)，并說明理由；②當(dāng)CM=5時，AC比BE的長度多6時，求AE的長.

B

圖1B圖2

2015-2016學(xué)年江蘇省連云港市八年級(上)期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題(共8小題，每小題3分，滿分24分)

1.下列圖形是幾家電信公司的標(biāo)志，其中是軸對稱圖形的是()

A.%⑥A密D(D

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故錯誤；

B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故錯誤；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故正確；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故錯誤.

故選C.

【點(diǎn)評】此題考查軸對稱圖形問題，掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.

軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；

中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合.

2.如圖，△ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，以下結(jié)論:

(1)△ABD^AACD；

(2)AD1BC；

(3)ZB=ZC；

(4)AD是4ABC的角平分線.

其中正確的有()

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【分析】由"三線合一"可知(2)(4)正確，由等邊對等角可知(3)正確，且容易證明

△ABD^AACD,可得出答案.

【解答】解：

：AB=AC,

.*.ZB=ZC,

/.(3)正確，

為BC的中點(diǎn)，

.-.AD±BC,ZBAD=ZCAD,

，(2)(4)正確，

在4ABD^lAACD中

'AB二AC

<AD=AD

,BD=CD

.,.△ABD^AACD(SSS),

，(1)正確，

...正確的有4個，

故選D.

【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂

角的角平分線相互重合是解題的關(guān)鍵.

3.等腰三角形兩邊分別為5和10,那么它的周長為()

A.20B.25C.15D.20或25

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

【分析】分別從若腰長為5,底邊長為10,與若腰長為10,底邊長為5,去分析求解即可求

得答案.

【解答】解：若腰長為5,底邊長為10,則5+5=10,不能組成三角形，舍去；

若腰長為10,底邊長為5,則它的周長為：10+10+5=25.

故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系.注意利用分類討論思想求解是

關(guān)鍵.

4.如圖，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC的中

點(diǎn)，連接DE,則ACDE的周長為()

A.20B.14C.13D.12

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)AB=AC,可知△ABC為等腰三角形，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得

AD±BC,AD為AABC的中線，故CD=2BC,NADC=90。，又因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，可

得DE姮BC,從而可以得到ACDE的周長.

【解答】解：：AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形.

又：AD平分NBAC,

.,.AD±BC,AD是△ABC的中線，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn).

/.ZADG=90°,AC=2DE,AE=EC.

VAB=AC=10,BC=8,

；.DE=5,CD=4,CE=5.

.?.△CDE的周長為：DE+EC+CD=5+5+4=14.

故選項(xiàng)A錯誤，故選項(xiàng)B正確，故選項(xiàng)C錯誤，故選項(xiàng)D錯誤.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查三角形的周長，等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半，關(guān)鍵是正確分析題目，從中得出需要的信息.

5.如圖所示”亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與

書上,完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)"角邊角”畫出.

【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用"角邊角”定理

作出完全一樣的三角形.

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等的判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖，兩條筆直的公路h、12相交于點(diǎn)0,村莊C的村民在公路的旁邊建三個加工廠A、

B、D.已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路11的距離為4公里，則村莊C到公路

12的距離是（）

A.3kmB.4kmC.5kmD.6km

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【分析】首先連接AC,過點(diǎn)C作CE，b于E,作CF_Lh于F,由AB=BC=CD=DA,即可

判定四邊形ABCD是菱形，由菱形的性質(zhì)，可得AC平分/BAD,然后根據(jù)角平分線的性

質(zhì)，即可求得答案.

【解答】解：連接AC,過點(diǎn)C作CEL2于E,作CFJJi于F,

?.?村莊C到公路h的距離為4千米，

；.CF=4千米，

VAB=BC=CD=DA,

...四邊形ABCD是菱形，

AAC平分/BAD,

；.CE=CF=4千米，

即C到公路12的距離是4千米.

故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,

得到C到公路12的距離.

7.己知一直角三角形的木板，三邊的平方和為1800cm2,則斜邊長為（）

A.30cmB.80cmC.90cmD.120cm

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】先求出斜邊的平方，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長為X,

?.?三邊的平方和為1800cn?,

x=900cm~,解得x=30cm.

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和

一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，A,B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)C也在

格點(diǎn)上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)C有（）

----

(

*

■

L......

■

■

■B

L...

—■

■

'"""…匕…

?

________.

A.6個B.7個C.8個D.9個

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.

【專題】網(wǎng)格型.

【分析】根據(jù)已知條件，可知按照點(diǎn)C所在的直線分兩種情況：①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，

AB為底邊；②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊.

【解答】解：①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個；

②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊，符合點(diǎn)C的有4個.

所以符合條件的點(diǎn)C共有9個.

故選D.

【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的判定來解決特殊的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖

形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解.注意數(shù)形結(jié)合的解題思想.

二、填空題(每小題3分)

9.在“線段、圓、等邊三角形、正方形、角”這五個圖形中，對稱軸最多的圖形是圓.

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，

這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【解答】解：線段是軸對稱圖形，有2條對稱軸；

圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸；

等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；

正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸；

角是軸對稱圖形，有1條對稱軸；

故在"線段、圓、等邊三角形、正方形、角"這五個圖形中，對稱軸最多的圖形是圓.

故答案為：圓.

【點(diǎn)評】此題主要考查了掌握軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩

部分折疊后可重合.同時要熟記一些常見圖形的對稱軸條數(shù).

10.已知三角形三邊長分別是6,8,10,則此三角形的面積為%.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】根據(jù)三角形三邊長，利用勾股定理逆定理求證此三角形是直角三角形，然后即可求

得面積.

【解答】解：；62+82=1()2,

...此三角形為直角三角形，

1

...此三角形的面積為：2x6x8-24.

故答案為:24.

【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定

理逆定理求證此三角形是直角三角形.

11.如圖，若△OAD四△OBC,且NO=65°,NC=20。，則/OAD=￡1度.

【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).

【分析】運(yùn)用全等求出/D=NC,再用三角形內(nèi)角和即可求.

【解答】解：VAOAD^AOBC,

.-.ZOAD=ZOBC；

在AOBC中，ZO=65°,NC=20°,

.?.ZOBC=180°-(65°+20")=180°-85°=95°；

ZOAD=ZOBC=95".

故答案為：95.

【點(diǎn)評】考查全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和及推理能力，本題比較簡單.

12.如圖所示，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、0B的對稱點(diǎn)Pi，P2,連接

P1P2交0A于M,交0B于N,PIP2=15,則APMN的周長為在.

耳

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【分析】P點(diǎn)關(guān)于0A的對稱是點(diǎn)P）,P點(diǎn)關(guān)于0B的對稱點(diǎn)P2,故有PM=P|M,PN=P2N.

【解答】解：VP點(diǎn)關(guān)于0A的對稱是點(diǎn)P|,P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，

；.PM=PiM,PN=P2N.

AAPMN的周長為PM+PN+MN=MN+PiM+P2N=PIP2=15.

故答案為：15

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì).對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所

連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、

線段都相等.

13.如圖，從電線桿離地面6m處向地面拉一條長10m的固定纜繩，這條纜繩在地面的固

定點(diǎn)距離電線桿底部有Hm.

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【分析】因?yàn)殡娋€桿，地面，纜繩正好構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理解答即可.

【解答】解：如圖所示，AB=6m,AC=10m,

2222

根據(jù)勾股定理可得：BC=VAC-AB=V10-6=8m.

故這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部8m.

B

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形.

14.如圖，Z1=Z2,要使AABE之4ACE,還需添加一個條件是/B=/C（填上你認(rèn)為適

當(dāng)?shù)囊粋€條件即可）.

B

1

C

【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

【專題】開放型.

【分析】根據(jù)題意，易得/AEB=/AEC,又AE公共，所以根據(jù)全等三角形的判定方法容

易尋找添加條件.

【解答】解：；N1=N2,；./AEB=/AEC,

又AE公共，

.?.當(dāng)/B=/(:時，△ABE^AACE(AAS)；

或BE=CE時，△ABE^AACE(SAS)；

或/BAE=/CAE時，△ABE^AACE(ASA).

【點(diǎn)評】此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

15.如圖，已知△ABC和△DBE均為等邊三角形，連接AD,CE,若/BAD=36。，那么

ZACE=96：.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)SAS證明△ABD與4CBE全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：:△ABC和ADBE均為等邊三角形，

；.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZBBE=60°,

/ABD=NCBE,

在4ABC和^DBE中，

'AB=BC

<ZABD=ZCBE

BD=BE,

AAABC^ADBE(SAS),

，ZBCE=ZBAD=36°,

/ACE=60°+36°=96°.

故答案為：96°.

【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ABD與ACBE全等.

16.如圖，ZACB=90°,AD是NCAB的平分線,BC=12,CD=4.5,則AC=2

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過D作DEJ_AB于E,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE=4.5,根據(jù)勾股定理求出

BE,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于AC的方程，求出方程的解即可.

【解答】解：如圖：

VZACB=90",AD是NCAB的平分線，CD=4.5,

，DE=CD=4.5,ZAED=ZDEB=ZC=90",

22

由勾股定理得：BE=VBD-DE=V(12-4.5)2-4.52=6,

,：由勾股定理得：AE2=AD?-DE2,AC2=AD2-CD2,

；.AC=AE,

在RSACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

即AC2+122=(AC+6)2,

解得：AC=9.

故答案為:9.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE和

求出關(guān)于AC的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

三、解答題

17.已知/0及其邊上兩點(diǎn)A和B(如圖)，用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到/O的兩邊

的距離相等，且到點(diǎn)A、B的距離也相等.(保留作圖痕跡)

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】作出/0的平分線及線段AB的垂直平分線的交點(diǎn)即可.

【解答】解：.如圖所示：

A

點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查了尺規(guī)作圖，理解角平分線和線段的垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵.

18.方格紙中每個小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格

點(diǎn)多邊形".

圖1圖2圖3

(1)在圖1中確定格點(diǎn)D,并畫出一個以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖

形；

(2)在圖2中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；

(3)直接寫出圖3中△FGH的面積是幺

【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案.

【分析】(1)找出點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)即可；

(2)先構(gòu)造以1和3為直角邊的直角三角形，然后以三角形的斜邊為邊構(gòu)造正方形即可；

(3)構(gòu)造如圖所示的矩形，根據(jù)AGFH的面積=矩形面積減去三角形直角三角形的面積求

解即可.

【解答】解：(1)如圖1所示：

圖1

(2)如圖2所示:

圖2

(3)如圖3所示:

圖3

△FGH的面積=矩形ABHC的面積-△AFG的面積-△BGH的面積-△FCH的面積

JxiX3Jx3X5Jx《X6

=5x6-2-2-2

=9

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是勾股定理、軸對稱圖形的性質(zhì)，將三角形GEH的面積轉(zhuǎn)化為一

個矩形與三個直角三角形的面積的差是解題的關(guān)鍵.

19.已知：如圖，AB=AE,Z1=Z2,ZB=ZE.求證：BC=ED.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】由/1=N2可得：ZEAD=ZBAC,再有條件AB=AE,NB=NE可利用ASA證明

△ABC^AAED,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=ED.

【解答】證明：；N1=N2,

Z1+ZBAD=Z2+ZBAD,

即：ZEAD,=ZBAC,

(ZB=ZE

(AB=AE

在4EAD和4BAC中IZBAC=ZEAD,

/.△ABC^AAED(ASA),

，BC=ED.

【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：

SSS、SAS、ASA、AAS.HL.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相

等的重要工具.

20.等腰△ABC中，腰長AB=8cm,BC=5cm,ZCBD=18°,AB的垂直平分線MN交AC

于點(diǎn)D.

(1)求4BCD的周長；

(2)求NA的度數(shù).

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AD=BD,即可求出ABCD的周長=AC+BC,代

入求出即可；

(2)設(shè)NA=x。，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出NABD=NA=x。，ZABC=ZC=(x+18)°,得出

關(guān)于x的方程，求出方程的解即可.

【解答】解：(1)：AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,

；.AD=BD,

VAB=AC=8cm,BC=5cm,

.\ABCD的周長為BC+BD+CD=BC+AD+DC=BC+AC=8cm+5cm=13cm；

(2)設(shè)NA=x。，

VAD=BD,

.e.ZABD=ZA=x°,

VAB=AC,ZDCB=18°,

.\ZABC=ZC=(x+18)°,

VZA+ZABC+ZC=180°,

/.x+x+18+x+18=180,

x=48,

即NA=48°.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程組，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平

分線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出AD=BD和得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平

分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等.

21.如圖，一個特大型設(shè)備人字梁，工人師傅要檢查人字梁的AB和AC是否相等，但是他

直接測量不方便，身邊只有一個刻度尺(長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠).它是這樣操作的：①分別在BA

和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米，如果a=b,

則說明AB和AC是相等的，他的這種做法合理嗎？為什么？

E,G

BDFC

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用；等腰三角形的判定.

【分析】利用全等三角形的判定方法得出△BDE絲4CFG(SSS),進(jìn)而得出答案.

【解答】解：合理，理由：

在4BDE和ACFG中，

'BE=CG

-BD=CF

DE=FG,

.,.△BDE^ACFG(SSS),

.,.ZB=ZC,

；.AB=AC.

【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵.

22.如圖，已知在△ABC中，CDJ_AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.

(1)求DC的長；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】(1)在RSBCD中利用勾股定理求得CD的長即可；

(2)在RtZkADC中，由勾股定理求出AD的長，得出AB的長，利用勾股定理的逆定理即

可判斷.

【解答】解：(1)VCD1AB,

.?./CDB=/CDA=90°,

在RtA.BCD中，BC=15,BD=9,

222

...DC=VBC-DBJ15-9%2;

(2)△ABC是直角三角形；理由如下：

在RtZkADC中，AC=20,CD=12,

2222

.?.AD=VAC-CDJ20-12=I6>

AAB=AD+DB=16+9=25,

JAB~=25-=625,AC2+BC-=202+15-=625,

/.AB2=AC2+BC2,

AAABC是直角三角形.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理,

通過運(yùn)用勾股定理求出AB是解決(2)的關(guān)鍵.

23.如圖，△ABC是一張直角三角形紙片，其中NC=90。，BC=8cm,AB=10cm,將紙片折

疊，使點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)D處，折痕為MN.

(1)求DC的長；

(2)求AM的長.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)的定義可求得DC的長；

(2)在Rt/kACB中，由勾股定理求得求得AC的長，設(shè)AM的長為xcm,則CM=6-x,

由翻折的性質(zhì)可知AM=MD=x,最后利用勾股定理列方程求解即可.

【解答】解：(1)是BC的中點(diǎn),BC=8cm,

DC=4cm.

(2)在4ABC中,ZC=90°,

.,.AC2+BC2=AB2,

.,.82+AC2=102.

解得：AC=6.

設(shè)AM的長為xcm,則CM=6-x,由翻折的性質(zhì)可知AM=MD=x.

在RtAMCD中，由勾股定理得：CM2+DC2=DM2,解得：(6-x)2+42=x2,

13

解得；x*.

13

AM=3.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，利用翻折的性質(zhì)和勾股定理列出

關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵.

24.已知，如圖，AC平分/BAD,CE_LAB于E,CD_LAD于F,且BC=DC.

(1)BE與DF是否相等？請說明理由；

(2)若DF=1,AD=3,求AB的長；

(3)若△ABC的面積是23,AADC面積是18,直接寫出△BEC的面積.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)HL證明RSBCE與RtADCF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(3)利用三角形的面積公式解答即可.

【解答】解：(1)相等，

：AC平分/BAD,CEJ_AB于E,CD_LAD于F,

；.CE=CF,

在RSBCE與RSDCF中，

rCE=CF

lBC=CD,

RtABCE^RtADCF(HL),

BE=DF；

(2)VRtABCE^RtADCF,

；.DF=EB,CE=CF,CE_LAB于E,CDJLAD于F,

在RtAACE與RtAACF中，

fCE=CF

lAC=AC,

；.RSACERtAACF(HL),

；.AF=AE,

VDF=1,AD=3,

AB=AF+BE=AD+DF+BE=5；

(3)VRtABCE^RtADCF,

「△ABC的面積是23,△ADC面積是18,

《義(23-18)=2.5

.二△BEC的面積=2

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和角平分線定義，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等，

對應(yīng)邊相等，直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

25.如圖1,點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、

點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M.

(1)求證：△ABQ^ACAP；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時，NQMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不

變，求出它的度數(shù).

(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)

為M,則/QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù).

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQgZXCAP；

(2)由aABQ超4CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/BAQ=NACP,從而得到/QMC=60。；

(3)由4ABQgZ\CAP根