量子信息學導論 課件 第1-4章 緒論、量子信息學的數(shù)學與物理基礎 -量子密碼術

第1章緒論1.1量子計算1.2量子密碼學1.3量子通信1.4量子模擬1.5量子度量學1.6量子信息物理基礎

1.1量子計算

1.1.1量子計算的興起

當今，電子計算機以其強大的信息處理功能深刻影響著人類社會的方方面面，它是經典圖靈(Turing)機的物理實現(xiàn)，相對于正在發(fā)展中的量子計算機來說，它被稱為傳統(tǒng)計算機(或經典計算機、通用計算機)。它可以被描述為對輸入信號序列按一定算法進行變換的機器，其算法由計算機的內部邏輯電路來實現(xiàn)。它有以下特點：

(1)其輸入態(tài)和輸出態(tài)都是傳統(tǒng)信號，若用量子力學的語言來描述，亦即：其輸入態(tài)和輸出態(tài)都是某一力學量的本征態(tài)，如輸入二進制串行碼0110110，用量子力學標記，就是|0110110>，所有的輸入態(tài)均相互正交。對于經典計算機不可能輸入如下疊加態(tài)：c1|0110110+c2|1101101>。

(2)傳統(tǒng)計算機內部的每一步變換都演化為正交態(tài)，而一般的量子變換沒有這個性質，因此，傳統(tǒng)計算機中的變換(或計算)只對應一類特殊集。

相應于經典計算機的以上兩個限制，量子計算機分別作了推廣。量子計算機的輸入用一個具有有限能級的量子系統(tǒng)來描述，如二能級系統(tǒng)(稱為量子比特)，量子計算機的變換(即量子計算)包括所有可能的幺正變換。因此量子計算機的特點為：

①量子計算機的輸入態(tài)和輸出態(tài)為一般的疊加態(tài)，其相互之間通常不正交；

②量子計算機中的變換為所有可能的幺正變換。

得出輸出態(tài)之后，量子計算機對輸出態(tài)進行一定的測量，給出計算結果。由此可見，量子計算對傳統(tǒng)計算作了極大的擴充，傳統(tǒng)計算是一類特殊的量子計算。量子計算最本質的特征為量子疊加性和量子相干性。量子計算機對每一個疊加分量實現(xiàn)的變換相當于一種經典計算，所有這些傳統(tǒng)計算同時完成，并按一定的概率振幅疊加起來，給出量子計算機的輸出結果。這種計算稱為量子并行計算。

1985年，DavidDeutsch深入地研究了量子計算機是否比經典計算機更有效的問題，他定義了量子圖靈機(見圖1.1)，描述了量子計算機的一般模型。量子圖靈機的計算與經典圖靈機計算的最大區(qū)別是：表征基本信息單元的比特是一個兩能級的量子系統(tǒng)，它的狀態(tài)由Hilber(希爾伯特)空間的基矢量疊加而成，不同于經典比特只能處于0、1兩種可能，它不僅可以處于0、1兩種狀態(tài)，還可以處于0和1的任意疊加態(tài)；對信息的操控滿足閉系統(tǒng)的量子力學演化規(guī)律，由薛定諤方程控制。這樣一來，對Ｎ個量子比特的單次操縱，等效于同時對2N個基矢量同時做了變換，這就是量子并行性。

圖1.1量子圖靈機示意圖

盡管目前量子計算機還處于研制的初級階段，但是，量子算法與量子計算機的研究已經從最初的僅是學術上的興趣研究領域變成對計算機科學、密碼技術、通信技術以及國家安全和商業(yè)都有潛在重大影響的領域，使得量子算法和量子計算機研究很快成為人們關注的焦點。人們一方面在理論上不斷嘗試提出新的量子算法，另一方面力圖制造出能夠運行量子算法的量子計算機。目前，量子計算研究大體有計算模式的研究、硬件研究、軟件研究和算法研究四個方向。

1.1.2量子計算的模式

量子計算模式研究大體上可分為標準量子計算模式、基于測量的量子計算模式、拓撲量子計算模式和絕熱量子計算模式四類。

1.標準量子計算模式

Deutsch在建立量子圖靈機的理論模型之后，把建立一個普適量子計算機的任務轉化為建立由量子邏輯門所構成的邏輯網絡，并指出構成這種邏輯的普適部件應是Deutsch門。對照經典的邏輯電路，Deutsch門的角色就像是異或門，在經典電路模型中，所有的邏輯電路都可以由異或門構建。同樣，對于量子邏輯電路，級聯(lián)量子Deutsch門可以構建任意的量子邏輯電路。

1995年，美國的Bennett等人進一步簡化了Deutsch門的設計，獲得了更為簡單的普適邏輯門集合：采用單量子比特的任意旋轉和兩量子比特的受控非門，就可以構建

任意的量子邏輯電路。由此可見，標準量子計算模式的理論發(fā)展與經典計算機的理論發(fā)展非常相似。

量子計算也面臨與經典計算類似的糾錯問題，量子錯誤更甚于經典錯誤。因為量子錯誤本身可以看成一個不可控的量子操作，它會對量子態(tài)造成并行影響。多次連續(xù)量子錯誤的累積效果會造成量子相干性的退化(簡稱為退相干)或消失。克服量子退相干的主要手段是量子糾錯碼。最早的量子糾錯碼方法是由Shor在1995年提出的。

在有了量子計算過程的物理圖像后，量子計算的物理實現(xiàn)問題就變得清晰起來。美國物理學家Divincenzo將量子計算的物理實現(xiàn)對物理系統(tǒng)的條件和人為操控能力劃分為五條，即Divincenzo判據(jù)：

(1)系統(tǒng)要有能很好地表征量子信息的基本單元——qubit，即一個兩能級的Hilbert空間。

(2)在計算開始時，要能夠對系統(tǒng)進行有效的初態(tài)制備，將每一個qubit制備到0狀態(tài)。

(3)要有能力對系統(tǒng)的qubit實施普適量子邏輯門操作。具體來說，要能夠對單個量子比特實施任意的單qubit的幺正變換，以及對任意兩個量子比特實施受控非門操作。

(4)要能夠對量子計算機幺正演化的終態(tài)實施有效的量子測量。

(5)系統(tǒng)要有長的相干時間，能夠使得量子操作(包括糾錯)和測量在相干時間內完成。這就是標準量子計算模式。

其他幾種計算模式或是為了簡化操作過程(如基于測量的量子計算模式)，或是出于克服環(huán)境退相干的考慮(如拓撲量子計算模式和絕熱量子計算模式)，最終都需要滿足Divincenzo判據(jù)這一標準量子計算。

2.基于測量的量子計算模式

基于測量的量子計算模式最先為奧地利Innsbruck大學的Raussendorf和Briegel于2000年提出，當時被命名為單向量子計算機，其特點是：在計算的初始階段，先制備出一個超大規(guī)模的稱為圖態(tài)的糾纏態(tài)，該糾纏態(tài)被命名為圖態(tài)。這種圖態(tài)相對來說很容易制備，只需要對初始化的qubit進行局域操作和緊鄰的伊辛(Ising)相互作用即可。圖態(tài)制備完畢后，相當于完成了初始化過程，接下來，量子計算機的所有邏輯門操作被證明只需要在圖態(tài)上進行相應的局域測量和經典通信即可。

局域操作和經典通信過程在很多物理體系中是最簡單的操控手段，而這種基于測量的量子計算模式將量子邏輯電路中兩比特門的實現(xiàn)難度都退化到圖態(tài)的制備上。如今已證明，很多多體糾纏態(tài)都能夠承擔實現(xiàn)基于測量模式的量子計算的任務。

3.拓撲量子計算模式

拓撲量子計算模式方案最早由Kitaev于1997年提出，他構造了一個具有特殊拓撲量子性質的強關聯(lián)系統(tǒng)，該系統(tǒng)低能激發(fā)的準粒子是一種非阿貝爾任意子，這些任意子可以編碼qubit信息；同時，任意子的交換滿足群論中的辨群規(guī)則，通過任意子之間的交換來完成邏輯門操作；最后通過對任意子進行干涉測量來讀出計算結果。拓撲量子計算的最大特點是：在該系統(tǒng)中，表征量子信息的量子態(tài)是一種拓撲態(tài)，它基本上不受局域噪聲的影響，具有很強的天然容錯功能。

4.絕熱量子計算模式

該方案最早為美國Goldstone等人提出。該方案的核心思想是通過絕熱演化特征來等效地實現(xiàn)幺正變換：如果將系統(tǒng)冷卻到零溫，則系統(tǒng)處于體系的基態(tài)(假定基態(tài)無簡并)。此時如果絕熱地改變系統(tǒng)哈密頓量的參數(shù)，則體系會絕熱地跟隨系統(tǒng)演化，如果系統(tǒng)不會出現(xiàn)基態(tài)和激發(fā)態(tài)的能級交叉并且絕熱演化的條件始終成立，則系統(tǒng)量子態(tài)會一直處于系統(tǒng)的基態(tài)。

但是，由于體系的哈密頓量已經改變，所以此基態(tài)非彼基態(tài)，演化后的基態(tài)同初始的基態(tài)之間相差一個幺正變換，因此，絕熱過程有實現(xiàn)幺正演化的功效。該方案的優(yōu)點在于：理想情況下，系統(tǒng)始終處于基態(tài)，不存在退相干的問題。它的缺點是：絕熱條件依賴于基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)之間的能隙。能隙越窄，所需的絕熱演化的時間就越長。如果隨問題的變大，絕熱演化時間指數(shù)地變長，那么就失去了量子計算的意義。這個問題于2004年由以色列的Aharonov等人解決，他們證明了絕熱量子計算與標準量子計算模型的等價性。

1.1.3量子計算機的物理實現(xiàn)

1.超導約瑟夫森結系統(tǒng)

第一個基于超導量子比特的量子計算理論方案是在1997年由Shirman等提出的。其核心元件是超導約瑟夫森結，這是一種“超導體—絕緣體—超導體”的三層結構，其中的絕緣層很薄，一般不超過10nm，這樣的厚度可以使得兩塊超導體內的庫柏對產生相互隧穿，從而使得兩塊超導體的波函數(shù)的相位差根據(jù)器件的外界電磁偏置產生確定的聯(lián)系，這種約瑟夫森結隧穿效應是構建和調控超導量子比特的物理基礎。

按照所調控的物理自由度不同，超導量子比特在目前分為超導電荷、超導磁通和超導相位比特三大類型。它們的物理構建和能級結構如圖1.2所示。同傳統(tǒng)的原子、光子之類的天然量子體系相比較，超導量子比特系統(tǒng)具有以下特點：

(1)超導量子比特的能級結構依賴于超導量子電路的具體設計和外加電磁信號的控制，可稱其為人工原子；

(2)基于現(xiàn)有的微電子制造工藝，約瑟夫森結量子電路具有良好的可擴展性，易于實現(xiàn)大規(guī)模量子比特的集成化，同時也易于實現(xiàn)同其他量子體系之間的耦合。

圖1.2超導電荷、超導磁通和超導相位比特

2012年，美國加州大學河邊分校和圣芭芭拉分校的研究者們又提出了超導量子計算的RezQu(振子—零態(tài)—量子比特)構建(見圖1.3)，其基本思想是：將每個量子比特分別同兩個超導傳輸線腔耦合起來，其中的一個傳輸線腔作為存儲器，另外一個傳輸線腔作為所有量子比特的數(shù)據(jù)總線。

該構建方案的優(yōu)點是：除了能夠保持超導電路良好的可擴展性，由于用作存儲器的量子振子的退相干時間要長于超導比特的退相干時間，所以系統(tǒng)的相干性能夠得到很好的保持。

圖1.3超導RezQu構建示意圖及其超導芯片照片

超導量子比特系統(tǒng)除了用于標準量子計算模型的探索之外，還是絕熱量子計算模式的可能候選者。通過構建耦合的磁通量子比特陣列，該系統(tǒng)可以模擬量子伊辛相互作用模型，通過調節(jié)系統(tǒng)的控制參數(shù)，可以對這個多體哈密頓系統(tǒng)進行絕熱演化，來尋找變參數(shù)情況下體系的基態(tài)。這種所謂的量子退火算法，可用于解決特定的數(shù)學問題。2011年，加拿大Dwave公司實現(xiàn)了8比特的量子退火算法。

由于超導系統(tǒng)具有高度可控性和易于集成的優(yōu)點，它也有可能成為檢驗拓撲量子計算模式的候選體系。驗證拓撲量子計算的第一步是獲得具有非阿貝爾統(tǒng)計的任意子激發(fā)。

2012年，中國復旦大學游建強等人提出在超導約瑟夫森結陣列中操縱和探測Majorana費米子的方案。Majorana費米子是一種已經被人們預言但迄今未被發(fā)現(xiàn)的具有非阿貝爾統(tǒng)計的準粒子，如能在實驗體系中探測和證實，則具有重要的學術價值。

2.基于門控量子點的量子計算系統(tǒng)

在量子計算中，通常用作量子比特的半導體量子點有兩種，一種被稱為“自組織生長的量子點”，一種被稱為“門控量子點”。最早提出基于門控量子點上操縱單電子自旋的量

子計算理論方案是瑞士巴塞爾大學的Loss和美國IBM研究院的Divincenzo。所謂門控量子點，是指使用分子束外延方法生長出高純凈和高遷移率的GaAs--AlGaAs半導體異質結晶片，在其上刻蝕出金屬門電極，在門電極上加負壓，排空在門電極周圍的二維電子氣，形成一個電子受限的空間，使得只有少數(shù)電子甚至是單電子在百納米大小的區(qū)域內運動。

當只有單個電子被放置在這個受限的空間中時，系統(tǒng)很像一個氫原子。在外加磁場的作用下，由于塞曼效應，每個電子軌道會劈裂成自旋向上和自旋向下的兩能級結構，以此來表示量子比特的0和1。量子比特之間的相互作用可以通過控制兩個量子點區(qū)域之間的門電極的電壓來實現(xiàn)，這等效調控了兩量子點區(qū)域的電子云之間的交疊(見圖1.4)。圖1.4通過門控量子點實現(xiàn)量子計算的示意圖

2004年，美國加州大學洛杉磯分校的江宏文研究組和Kouwenhoven研究組也用量子點接觸的方法實現(xiàn)了對單量子點樣品中自旋本征狀態(tài)的讀取。2005年，哈佛大學的Marcus研究組在一塊雙量子點樣品中通過調控連接兩個量子點區(qū)域的電極上的電壓，等效實現(xiàn)了兩個受限空間中電子波函數(shù)之間的交疊程度的調控，從而實現(xiàn)了平方根交換門的操作。2006年，Kouwenhoven研究組同樣在一塊雙量子點樣品中實現(xiàn)了用射頻場對其中一個量子點中的自旋比特的單比特操作，在100ns時間內觀測到自旋比特的多個周期的Rabi振蕩，顯示了自旋量子比特的量子相干性。

2008年，日本的Tarucha研究組用一個傾斜的塞曼場，實現(xiàn)了對樣品中單個電子自旋的共振操作。這兩類操作的實現(xiàn)，就構成了量子計算的普適量子邏輯門集。2007年年底，荷蘭Delft大學的Vanderspyen研究組在同一塊半導體量子點器件上用全電學技術實驗實現(xiàn)了量子計算的全部要素：量子比特的制備、量子門的操作、量子測量和量子相干性的演示(見圖1.5)。該系統(tǒng)退相干的特征時間T1在1ms左右，T2在10～25ms左右，通過自旋回聲和動力學極化自旋的手段，T2可以延長到1μs左右，從而能夠在自旋退相干的時間之內完成多于105個平方根交換門操作，這在所有固體系統(tǒng)中是相當高的。

圖1.5同一塊半導體量子點器件上實現(xiàn)量子計算的全部要素所采用的實驗裝置、原理和結果

3.基于金剛石NV色心的量子計算系統(tǒng)

在金剛石中，氮原子可以取代其中的一個碳原子，并與鄰近的碳空位形成一個NV色心。帶負電荷的NV色心光學躍遷遠離金剛石材料自身的能級躍遷，不會被金剛石吸收并具有良好的光學性質，其激發(fā)態(tài)與基態(tài)間躍遷的零聲子線在367nm左右，帶寬為幾十兆赫茲，自發(fā)輻射速率達百兆赫茲(見圖1.6)。

圖1.6金剛石NV色心的能級及其壽命示意圖

金剛石中的NV色心可以通過共聚焦顯微方式進行探測，單個NV色心即是良好的單光子源，脈沖寬度為幾納秒，對應數(shù)百兆赫茲的發(fā)射效率。實驗上已經利用光學微納結構，如微環(huán)腔、光子晶體腔、微柱和微透鏡等提高光子發(fā)射速率以及收集效率。此外，可以利用光學泵浦把NV色心制備在ms=0基態(tài)上；與此同時，利用電子能級的躍遷選擇定則，通過自發(fā)輻射熒光的探測，可以識別電子處于ms=0或ms=±1態(tài)上。實驗上已經可以直接利用光學泵浦方式調節(jié)電子躍遷，并已經觀察到兩個NV色心發(fā)出熒光的雙光子干涉現(xiàn)象，產生了光子態(tài)與電子能級的糾纏態(tài)，并通過對光子的坍縮測量，實現(xiàn)兩個遠距離NV色心的糾纏，為實現(xiàn)基于NV色心的可擴展量子信息操作提供了良好方式。

NV色心電子能級在ms=0與ms=±1間的磁共振躍遷對應2.88kMHz，因為碳12的核自旋是零，其相干時間較長，普通的NV色心可達10μs量級；而在高純度樣品中，可以利用動力學去耦方式，把相干時間延長到毫秒(其能級及壽命示意圖見圖1.6)。因此，室溫下可以利用微波進行電子態(tài)的相干操控，實驗上觀察到單個NV色心的拉比振蕩，并可以實現(xiàn)電子態(tài)的單比特旋轉操作，操作頻率可達千兆赫茲。中國科學技術大學的杜江峰研究組在研究NV色心的相干性方面做出了重要成果，并實現(xiàn)了量子算法的演示。通過與周圍核自旋的耦合，實驗上已經實現(xiàn)了三個量子比特的糾纏。

4.原子—分子—光物理量子計算系統(tǒng)

1)基于線性光學的系統(tǒng)

2000年，Knill-Laflamme-Milbuem提出了基于線性光學系統(tǒng)的量子計算方案(簡稱KLM方案)。該方案提出，僅需要優(yōu)質的量子光源、高品質的單光子探測器，再輔以線性光學器件的操作，既可實現(xiàn)普適的量子計算。此外，單向量子計算模式的實驗驗證也多在線性光學系統(tǒng)中實施。

2013年，潘建偉院士領銜的量子光學和量子信息團隊的陸朝陽、劉乃樂研究小組，發(fā)展了世界領先的多光子糾纏操控技術，首次利用線性光學系統(tǒng)成功運行了求解一個2×2線性方程組的量子線路(見圖1.7和圖1.8)，首次從原理上證明了這一量子算法的可行性。

線性方程組廣泛地應用于幾乎每一個科學和工程領域，包括數(shù)值計算、信號處理、經濟學和計算機科學等。比如與我們日常生活緊密相關的氣象預報，就需要建立并求解包含百萬個變量的線性方程組，來實現(xiàn)對大氣中各種物理參數(shù)(溫度、氣壓、濕度等)的模擬和預測。

圖1.7求解2×2線性方程組的量子電路圖

圖1.8求解2×2線性方程組的實驗裝置示意圖

2)離子阱系統(tǒng)

離子阱系統(tǒng)是世界上最早嘗試實現(xiàn)量子計算的物理體系。

首先，當離子數(shù)目大時，很難平衡掉離子間的庫侖斥力而將其束縛在一維方向上；其次，尋址和邏輯門操作也會帶來很大的困難。為了能夠升級量子比特數(shù)目，同時解決系統(tǒng)集成性的困難，美國NIST和馬里蘭大學的實驗組嘗試采用芯片阱技術，將離子分段存儲在不同的芯片阱區(qū)域里，需要相互作用時，再將擬進行相互作用的離子移動到相互作用區(qū)中來完成操作。另外一種更具潛力的做法是，利用光子來連接不同芯片阱中的離子，目前，馬里蘭大學的Monroe研究組正在為此努力。

3)中性原子系統(tǒng)

1998年和1999年，人們提出通過光學晶格束縛冷原子系統(tǒng)用于量子計算和量子模擬的方案。由于中性原子整體不顯電性，不易受外界電磁環(huán)境的干擾，系統(tǒng)退相干的時間很長，而由激光干涉所形成的周期勢場可以將大量的冷原子束縛在光學晶格上。這是目前所知最佳的量子模擬平臺。但是在這個系統(tǒng)上實現(xiàn)真正意義的大規(guī)模的量子計算有很大難度。

一方面，由于光晶格的周期為激光的1/2波長量級，所以很難再用激光尋址單個晶格格點來完成單比特的操作；另一方面，由于中性原子不顯電性，往往需要碰撞相互作用來誘導量子比特間的作用，但是基于超交換作用所誘導的兩體相互作用的強度太小，很難在原子的退相干時間內完成大量的門操作(雖然原子的退相干時間很長)。

研究人員霍爾格·斯派克特表示，使用單個原子作為存儲單元有幾大優(yōu)勢：首先單個原子很?。黄浯?，存儲在原子上的信息能被直接操作，這一點對于量子計算機內邏輯操作的執(zhí)行來說非常重要；另外，它還可以核查出光子中的量子信息是否在不破壞量子狀態(tài)的情況下被成功寫入原子中，一旦發(fā)現(xiàn)存儲出錯，就會重復該過程，直到將量子信息寫入原子中。

1.1.4量子軟件研究

如果量子計算的硬件研究獲得真正的突破，大規(guī)模的量子信息處理能夠獲得實施，那么量子軟件的開發(fā)必將處于非常關鍵的地位。由于量子系統(tǒng)與經典系統(tǒng)的本質差別，現(xiàn)有的軟件技術無法應用于量子計算機。發(fā)展量子軟件的一個基礎是量子程序設計語言的理論與實現(xiàn)。

鑒于目前物理系統(tǒng)中升級量子比特的困難，分布式的量子計算是繞過這種障礙的一種可能途徑，即用中度規(guī)模的量子處理器作為量子信息處理終端，不同終端之間用量子通信協(xié)議建立聯(lián)系。在經典計算領域，進程代數(shù)是通信協(xié)議驗證的重要工具。為了給量子通信協(xié)議驗證提供必要的形式化方法，國際上多個研究組開展了進程代數(shù)的研究，但是沒有解決并行算子保持互模擬的問題。2010年，應明生和馮元等人提出了一類新的量子進程代數(shù)解決了這個問題。

1.2量子密碼學1.2.1量子密碼術的重要性量子密碼是一種可以通過公開信道完成安全密鑰分發(fā)的技術，是量子信息技術的一個重要分支。圖1.9給出了采用量子密碼進行安全通信的基本過程。

圖1.9采用量子密碼進行安全通信的基本過程示意圖

1.2.2量子密碼術的發(fā)展簡況

2013潘建偉領銜的聯(lián)合研究小組，在國際上首次實現(xiàn)了與測量器件無關的量子密鑰分發(fā)，成功解決了現(xiàn)實環(huán)境中單光子探測系統(tǒng)易被黑客攻擊的安全隱患，大大提高了量子通信的安全性(見圖1.10)。

圖1.10與測量器件無關的量子密鑰分發(fā)示意圖

目前，國際上建成的幾個重要的量子密碼演示網絡見圖1.11。圖1.11世界上幾個重要的量子密碼演示網絡示意圖

1.2.3量子密碼的攻防安全

量子密碼的安全性是其核心價值。安全性分為協(xié)議安全性和實際系統(tǒng)安全性兩個層面。量子密碼概念提出至今，研究者已設計了多種量子密鑰分配協(xié)議，并圍繞這些通信協(xié)議的無條件安全性證明進行了大量工作。一些主要協(xié)議的安全性證明已經取得如下成果：BB84協(xié)議的無條件安全性已經獲得嚴格證明；差分相位量子密碼通信協(xié)議在無誤碼條件下的絕對安全性已經獲得證明，但在有誤碼條件下的普遍安全性尚未獲得完全的證明；基于離散調制連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)協(xié)議的安全性已經獲得證明。

1.量子態(tài)制備的安全性問題

以BB84量子密鑰分配協(xié)議來說，其要求使用單光子來編碼量子比特，然而受限于單光子源的研究狀況，在實際的實驗中普遍采用弱相干光光源替代單光子光源。但是，由于此類光源存在一定概率的多光子脈沖，如果采用分束攻擊，竊聽者原則上可以從多光子攜帶的編碼信息中獲得收發(fā)兩者建立的量子密鑰，并成功地欺騙通信雙方。韓國的Hwang、加拿大的Lo等人和清華大學的Wang提出并完善了誘騙態(tài)技術。這一技術的核心思想是：通過隨機使用幾種不同強度的弱相干光源，可以檢測出分束攻擊竊聽行為。

實現(xiàn)誘騙態(tài)方案的手段多種多樣，為了避免引入新的安全漏洞，必須對其實現(xiàn)方案進行嚴格的分析。例如，Weinfurter等人發(fā)現(xiàn)：采用多激光器來產生誘騙態(tài)，不同激光器的波長或其他物理特性可能存在差別，從而泄露部分信息，進而導致密鑰建立的不安全。此外，還有Lo等及郭弘小組提出的非可信光源等問題。

2.量子態(tài)測量的安全性問題

Lo等人從多探測器密鑰分配系統(tǒng)入手，最先對探測器的安全性進行了研究。他們發(fā)現(xiàn)，在多探頭量子密鑰分配系統(tǒng)中，不同探測器的響應時間和探測效率一般會存在差異。竊聽者利用探測效率的不匹配可以控制接收端探測器的響應，進而獲取密鑰信息。Makarow小組針對IlGsAs的紅外單光子探測器在“蓋革”和線性工作模式下的區(qū)別，利用強光使“蓋革”模式的單光子探測器變成線性模式輸出，通過控制信號的光強，可以使探測器輸出的電信號高于或略低于甄別閾值，從而控制單光子探測器輸出或不輸出探測結果，即徹底控制接收方的探測輸出，因此被稱為強光致盲攻擊。

利用這一攻擊手段，該小組完全攻破了DQuantique公司的商用量子密碼系統(tǒng)。Weinfurter小組提出了死時間攻擊，其基本的原理是：紅外單光子探測器在“蓋革”模式下，需要在探測到光子后，加入死時間以抑制雪崩效應，竊聽者可以制備強光偏振態(tài)，當接收方在探測開門之前接收到竊聽者制備的量子態(tài)后進入死時間狀態(tài)，使該探測器對在死時間內到達的合法量子信號不產生響應。發(fā)送方發(fā)送的量子態(tài)只有在與竊聽者的量子態(tài)相互正交的情況下才會引入計數(shù)，而其他編碼態(tài)在探測器的死時間內沒有響應。此外，還有Lo小組提出的時移攻擊等問題。

3.編解碼器的安全性問題

近年來，人們意識到在實際密鑰系統(tǒng)中的編解碼環(huán)節(jié)上也存在安全漏洞。Lo等人提出了所謂的“相位重映射”攻擊方法：他們針對往返式系統(tǒng)，利用調制器的有限響應時間，精確控制量子態(tài)調制時間，使量子態(tài)調制達不到既定的位置，從而誘使發(fā)送方提前或推后調制相位。在實際調相系統(tǒng)中，總是不可避免地存在調相器損耗和調制誤差，此時實際系統(tǒng)中發(fā)送的態(tài)與理想的態(tài)之間存在偏差。韓正甫小組分析了這一問題，發(fā)現(xiàn)調相器損耗和調制誤差將導致實際的編碼態(tài)和標準量子密鑰分配協(xié)議編碼態(tài)存在差異，從而帶來了安全性漏洞。他們提出了解決這些問題的方法，給出了相應的密鑰率公式。韓正甫小組利用光纖分束器件作為編解碼器的量子密碼系統(tǒng)。

總體來講，量子密碼協(xié)議的安全性是值得信賴的，但是量子密鑰分配系統(tǒng)的實現(xiàn)方案必須經過嚴格的評估。對于現(xiàn)有的實際量子密碼系統(tǒng)來說，接收端的安全性漏洞較之發(fā)射端大，往返式系統(tǒng)的安全性明顯弱于單向系統(tǒng)，單探測器系統(tǒng)的安全性強于多探測器系統(tǒng)，單激光器比多激光器安全，主動器件比被動器件安全。解決了上述器件實現(xiàn)方案中的實際安全性問題，量子密碼才能做到真正的安全。

1.3量子通信

1.3.1量子隱形傳態(tài)

量子通信最關鍵的一環(huán)是如何建立量子通道(也稱為量子信道)，通過這個量子通道來安全無誤地傳送量子態(tài)的信息。這一問題于1993年在理論上獲得了解決：量子信息領域的開拓者Bennett及其合作者提出了著名的QuantumTelportation方案，中文翻譯為“量子隱形傳態(tài)”。

所謂量子隱形傳態(tài)是指，如果能夠在量子通信的雙方之間建立最大的量子糾纏態(tài)，那么Alice和Bob可以通過經典通信來協(xié)同兩地的操作，利用量子糾纏態(tài)，可以將Alice處待發(fā)送的量子態(tài)準確無誤地傳送給Bob。作為代價，成功傳送量子態(tài)的同時，量子糾纏態(tài)被損毀在這一量子通信的過程中，承載Bob處量子態(tài)信息的物理的量子系統(tǒng)并沒有被發(fā)送出去，該系統(tǒng)仍然待在Bob處。但是，原先蘊藏在該系統(tǒng)中的量子態(tài)的信息已經借助量子糾纏態(tài)中奇妙的量子關聯(lián)被傳送到Bob處。仿佛一個量子物體的靈魂被抽走，重新裝載在遙遠異地的另外一個物體上，所以被稱為量子隱形傳態(tài)。而不受破壞？。

有了量子隱形傳態(tài)方案，我們就可以利用量子糾纏來做量子信道，充當聯(lián)系各個節(jié)點的橋梁。那么接下來的一個問題就是，如何在遙遠的異地之間建立起高品質的量子糾纏態(tài)的聯(lián)系？這牽扯到一系列的問題。因為量子糾纏態(tài)是一種由多個微觀粒子構成的復合系統(tǒng)的量子態(tài)，它如何產生？如何跨越物理空間進行分發(fā)

1.3.2量子糾纏態(tài)

量子糾纏是在1935年分別由Schrodinger及Einstein、Podolsky、Rosen在質疑量子力學的完備性時提出的。量子力學中，兩個以上的粒子(包括兩個以上的光子)組成的系統(tǒng)中的每個粒子可看做子系統(tǒng)。各子系統(tǒng)的量子狀態(tài)之間可以是無關的，也可以是相關但可分離的，還有的是相關而且是不可分離的。這種由相關而且是不可分離的兩個或者兩個以上的子系統(tǒng)的量子狀態(tài)所構成的系統(tǒng)的狀態(tài)稱為量子糾纏態(tài)。在物理上，糾纏態(tài)意味著非定域性，即不能由各個子系統(tǒng)的定域操作來實現(xiàn)；在數(shù)學上，糾纏態(tài)意味著其系統(tǒng)總的密度矩陣無法分解為各個子系統(tǒng)的態(tài)的直積態(tài)的凸和形式，具有不可分離性和不可分解性。

量子信息與經典信息的深層次區(qū)別就在于量子糾纏的性質和應用。量子糾纏沒有經典對應，因此，量子糾纏態(tài)就簡稱為糾纏態(tài)，有時也稱為交纏態(tài)。其最為突出的性質有以下四點：

(1)非局域相關性。子系統(tǒng)的局域狀態(tài)不是相互獨立的，對一個子系統(tǒng)的測量會獲取另外子系統(tǒng)的信息。

(2)量子相干性。量子比特可以處于兩個本征態(tài)的疊加態(tài)，在對量子比特的操作過程中，兩態(tài)的疊加振幅可以發(fā)生量子干涉現(xiàn)象。

(3)量子不可克隆性。量子力學的線性特性禁止對任意量子態(tài)實行精確復制，這也是由測不準關系所導致的量子糾纏特性所決定的。

(4)量子并行性。每個量子比特是由Hlbert空間的兩個基矢量疊加構成的，對一個量子比特的操作，就是同時對兩個基矢量進行了操作。

研究發(fā)現(xiàn)，存在自由糾纏態(tài)和束縛糾纏(態(tài)。束縛糾纏態(tài)不能直接用于量子通信和量子計算，但是，束縛糾纏態(tài)可激活為單個的自由糾纏粒子對。

關于如何產生糾纏態(tài)，目前已經不是困難，人們已經在各種不同的物理系統(tǒng)中產生量子糾纏態(tài)。并且，人們也找到了最適合做量子信道的物理系統(tǒng)，即光子系統(tǒng)。光子能夠在媒介中快速傳輸而不易受到環(huán)境的擾動。而世界上第一個量子隱形傳態(tài)的實驗驗證，是奧地利的Zeilinger小組于1997年在光子系統(tǒng)中完成的(見圖1.12)。迄今為止，基于糾纏光子的量子隱形傳態(tài)的研究已廣泛開展。

圖1.12世界上第一個演示量子隱形傳態(tài)的實驗示意圖

1.3.3量子存儲器

對于上述量子中繼的方案，在物理實現(xiàn)方面還需要一個重要條件，就是在每個節(jié)點上都要有量子的存儲器：能夠將光子的量子狀態(tài)較長時間地存儲下來，并能夠實施必要的量子操作步驟，以實現(xiàn)糾纏純化和糾纏鏈接。在這方面，一個重要的理論進展是Duan等人提出了利用原子系綜來做量子存儲器的量子中繼方案：將光子信息存儲在系綜原子的激發(fā)模式中，能夠維持較長時間；同樣，再次利用光和原子的相互作用，可以將存儲于原子中的量子態(tài)的信息讀出來，完成量子中繼的步驟。

但是Duan等人工作的一個不足之處在于，為了存儲光量子態(tài)的信息到原子系綜，需要單光子干涉過程：這需要將干涉的兩條路徑長度的差值控制在亞波長量級的精度，對于一個長路徑的干涉，這在實驗上是很難完成的。陳增兵和潘建偉等人改進了這一干涉過程，用雙光子干涉取代單光子干涉，將干涉路徑控制的精度提升至光子的相干長度范圍，大大提升了系綜原子中繼方案的可用性。在實驗上，他們也做了成功的演示。

1.3.4自由空間量子通信

除了量子中繼技術之外，還有一種可能增大量子通信距離的方法是在衛(wèi)星和地面之間開展光量子態(tài)的傳輸(見圖1.13)。相對于在地表大氣中的光子傳輸，在星地之間的傳輸克服了地表曲率的影響，同時也沒有障礙物的阻礙；另外，地表與人造衛(wèi)星之間只有5~10km的水平大氣等效厚度，而大氣對某些波長的光子吸收非常少，同時也能保持光子極化糾纏品質；在外太空無衰減和退相干。一個可能的展望是由星地之間的量子通信來聯(lián)系不同的城域量子網絡，完成量子密鑰分配、量子隱形傳態(tài)、類空間隔的量子非定域性的檢驗任務。

圖1.13星地量子通信示意圖

1.3.5量子網絡

隨著人們對光纖量子通信和自由空間量子通信的可行性研究與逐步實現(xiàn)，量子網絡的構建引起了人們極大的關注。在當前量子計算機的可擴展性遇到阻礙的情況下，利用量子網絡可提升量子計算的能力，同時，利用量子網絡，可以行使全量子的通信協(xié)議，利用量子信息來完成特殊的信息處理功能；利用量子網絡在處理多節(jié)點計算時，會大大降低通信的復雜度；另外，利用量子網絡也可以行使經典信息的功能，如直接利用量子網絡中的量子糾纏來達到安全的密鑰分發(fā)的目的。

綜上所述，構建一個全量子的通信網絡，需要有通信波段的糾纏光源、高品質的量子存儲器、高效的量子中繼技術、節(jié)點的量子信息處理技術等環(huán)節(jié)。目前的進展主要有以下幾方面：

(2)在量子通信協(xié)議方面：基于糾纏光子信號的量子隱形傳態(tài)協(xié)議、量子密集編碼協(xié)議、Ekert91量子通信協(xié)議；基于單光子信號的BB84量子通信協(xié)議、B92協(xié)議及六態(tài)量子通信協(xié)議、誘騙態(tài)量子通信協(xié)議；基于連續(xù)變量信號的連續(xù)變量量子隱形傳態(tài)協(xié)議、連續(xù)變量量子密集編碼通信協(xié)議、基于相干態(tài)的連續(xù)變量量子通信協(xié)議等。

(2)在量子信號的產生技術方面：糾纏光子信號產生技術(參量下轉化糾纏光子產生技術、光子晶體光纖糾纏光子產生技術)、單光子信號產生技術(單光子槍、弱相干光脈沖產生技術)、連續(xù)變量量子信號產生技術(壓縮態(tài)的產生技術、連續(xù)變量糾纏態(tài)的產生技術、連續(xù)變量相干態(tài)信號產生技術)。

(3)在量子信號的調制技術方面：真隨機數(shù)的產生技術(基于光子路徑的真隨機數(shù)源、基于真空態(tài)量子噪聲的真隨機源)、單光子量子信號的調制技術(偏振調制、相位調制、頻率調制)、連續(xù)變量量子信號調制技術(高斯調制、離散調制)等；2013年日本東京大學研究小組針對光波傳播時易偏離，造成粒子崩潰，直接影響傳輸成功率的難點，采用獨特方法，利用500個以上的折鏡組合，制作出精密、安定的光回路，成功開發(fā)出可以消減光波偏離的“gain-tuning”信號調節(jié)技術，使量子傳輸成功率提高了100倍以上，達到61%。

(4)在量子信號探測技術方面：單光子信號探測技術(基于雪崩光電二極管單光子信號探測技術、基于超導體單光子信號探測技術)、連續(xù)變量體系的探測技術(平衡零拍探測技術、光電轉換探測技術)有了很大發(fā)展。

(5)在量子中繼技術方面：基于拉曼散射的量子中繼技術(基于單光子測量的糾纏產生、基于單光子的糾纏交換)、基于雙光子測量的量子中繼技術(基于雙光子測量的糾纏產生、基于雙光子的糾纏交換)、基于“薛定諤貓”態(tài)的連續(xù)變量量子中繼方案(光學薛定諤貓態(tài)的制備、糾纏態(tài)的非局域制備、接近確定性的糾纏交換)應運而生。2012年，潘建偉在國際上首次實現(xiàn)了八光子“薛定諤貓”態(tài)，刷新了糾纏態(tài)制備的世界紀錄。

(6)在量子通信網絡技術方面：量子交換技術(量子空分交換、基于量子門的交換)、量子通信網絡的體系結構(功能體系、協(xié)議體系、拓撲體系)等?，F(xiàn)在人們還開發(fā)了一些典型的量子通信系統(tǒng)，如有線量子通信系統(tǒng)(基于單光子的光纖量子通信系統(tǒng)、基于連續(xù)變量的光纖量子通信系統(tǒng))、無線量子通信系統(tǒng)(基于單光子的自由空間量子通信系統(tǒng)、基于糾纏光子的自由空間量子隱形傳態(tài))和一些量子通信實驗網絡(DARPA量子保密通信網絡、SECOQC量子保密通信網絡、TokyoQuantumNetwork高速量子保密通信網絡、量子電話網等)。

(7)在量子存儲方面：2012年，潘建偉小組實現(xiàn)了3.2ms的存儲壽命及743%的讀出效率的量子存儲；2013年，郭光燦院士領導的中科院量子信息重點實驗室史保森研究小組，在國際上首次實現(xiàn)攜帶軌道角動量、具有空間結構的單光子脈沖在冷原子系綜中的存儲，從而邁出了基于高維量子中繼器實現(xiàn)遠距離大信息量量子信息傳輸?shù)年P鍵一步。

(8)在星地量子通信方面：2005年，潘建偉小組在世界上第一次實現(xiàn)了13km自由空間量子通信實驗，證實了星地量子通信的可行性；2011年10月，我國在國際上首次成功實現(xiàn)了百公里內量子信息傳輸，這為我國發(fā)射全球首顆“量子通信衛(wèi)星”奠定了技術基礎。

1.3.6連續(xù)變量量子信息學

前面提到的用作量子信道的光子糾纏態(tài)，都利用了離散的Hilbert空間中的量子態(tài)，具有分離的自由度。對于無限維Hilbert空間中的量子光場，我們可以用所謂的連續(xù)變量的物理量(如光學模的正交分量)來刻畫光場的量子性。此時，光場的糾纏特性體現(xiàn)在光場間的量子起伏上。采用連續(xù)變量的量子態(tài)依然可以行使量子通信中的計算功能。就量子通信而言，在連續(xù)變量的糾纏態(tài)系統(tǒng)中，人們也實驗驗證了量子隱形傳態(tài)和量子密集編碼協(xié)議，完成了以連續(xù)變量表征的光量子態(tài)在原子系綜中的存儲。

連續(xù)變量量子信息學已具備進一步發(fā)展的理論和實驗基礎，形成了實現(xiàn)量子通信的另一種有效的可能途徑。連續(xù)變量的糾纏光與現(xiàn)有的光通信技術兼容，能夠無條件運轉。連續(xù)變量量子通信技術各個方面的發(fā)展已在1.3.5節(jié)中列出，目前存在的主要問題是保真度還比較低。一種可能的克服途徑是建立分離變量和連續(xù)變量混合的雜化量子信息系統(tǒng)，兼容二者的優(yōu)勢，提高量子通信的品質。

毫無疑問，在量子信息學的各個主要分支技術發(fā)展中，量子通信技術是進展最快的一個分支。

1.4量子模擬

所謂量子模擬，就是指在一個人工構建的量子多體系統(tǒng)的實驗平臺上去模擬在當前實驗條件下難以操控和研究的物理系統(tǒng)，獲得對一些未知現(xiàn)象的定性或定量的信息，促進被模擬的物理系統(tǒng)的研究。量子模擬的概念最初由諾貝爾獎得主費曼于1982年提出。費曼最初意識到，由于支配微觀世界的基本規(guī)律是量子力學，所以要想模擬一個微觀多體系統(tǒng)的演化，需要求解多體的薛定諤方程。費曼發(fā)現(xiàn)，這對于經典計算機來說，是不可能完成的任務。

其主要原因在于，量子多體系統(tǒng)需要由量子波函數(shù)刻畫，而波函數(shù)所處的Hilbert空間的維數(shù)隨量子客體的數(shù)目指數(shù)增長，而經典計算機的存儲空間根本不足以存儲波函數(shù)的信息，所以也就無法刻畫系統(tǒng)演化的規(guī)律。費曼當時的一個想法是：如果我們所用于模擬的機器本身就服從量子力學規(guī)律，即機器的狀態(tài)也由量子波函數(shù)來刻畫，我們用人工方法來控制機器，使之具有與被模擬對象相同的等效哈密頓量，于是，我們就可以用這臺“量子模擬機”來模擬量子多體系統(tǒng)的演化。

迄今為止，量子模擬的研究內容十分廣泛，除了模擬多體系統(tǒng)的演化、強關聯(lián)系統(tǒng)的量子相變之外，還可能被用于模擬物態(tài)方程、各種規(guī)范場、量子化學、中子星和黑洞、理論上預言但尚未被觀測到的準粒子，以及新的物質的態(tài)等。

用于量子模擬可能的物理平臺大致可以分為原子、離子和電子三類。原子系綜中除了被人們所熟知的光晶格束縛冷原子系綜外，還有微腔束縛原子的陣列系統(tǒng)等；離子主要是指離子阱系統(tǒng)；電子有超導約瑟夫森結陣列系統(tǒng)、量子點自旋的陣列系統(tǒng)以及液氦表面的電子系統(tǒng)等(見圖1.14)。這些可能的候選者中，冷原子系統(tǒng)以其獨特的優(yōu)勢，處于上述所有提及的系統(tǒng)中最優(yōu)越的地位。

首先，在現(xiàn)有的技術條件下，它是目前所有提及的

系統(tǒng)中唯一能夠對大量粒子進行初始化的體系。其次，該系統(tǒng)具有很好的可調節(jié)性。以光晶格束縛冷原子為例，晶格的維度、晶格參數(shù)和幾何以及格點間的隧穿強度，都可以通過調節(jié)光晶格勢場來實現(xiàn)，而粒子之間的散射強度，則可通過Feshbach共振技術來調節(jié)。此外，人們還可以自由地控制原子的組分。到目前為止，人們操控冷原子晶格的能力也越來越強。

圖1.14潛在的可以用于實現(xiàn)量子模擬的物理系統(tǒng)

采用冷原子系統(tǒng)進行量子模擬的先決條件是：首先要對原子系綜進行一系列的激光冷卻和蒸發(fā)冷卻，使其達到幾納開(nK)的溫度。這時，對于玻色子而言，將處于玻色愛因斯坦凝聚(BEC)的狀態(tài)；對于費米子，則處于量子簡并的狀態(tài)。此時，原子的相對熱運動被高度抑制，由于原子間相互作用所導致的量子特性則被顯現(xiàn)出來。我國的冷原子技術經歷了幾十年的發(fā)展，目前已經逐漸追上了世界的步伐。

從技術上講，量子模擬平臺同量子計算機緊密相關，量子比特數(shù)目可升級也是對兩者共同的要求。對于用作量子模擬的系統(tǒng)，在操控難度和相干時間長度上的要求比量子計算低很多，于是人們預期量子模擬機很有可能在實現(xiàn)大規(guī)模的量子計算之前就獲得實際的應用，有可能對物理學、化學、材料化學等學科產生重要的影響，甚至有可能促成材料科學、能源等重要問題的解決。

1.5量子度量學

人類的發(fā)展進程從某種意義上講就是測量技術不斷發(fā)展進步的過程。從早期用手或者腳等的長度作為長度單位，到目前人們通常使用的直尺、卷尺、游標卡尺等，人類的測量精度得到了極大的提高。在科學實驗以及一些重要的應用中，人們利用光的干涉以及激光等手段大大提高了測量的精度。測量精度的提高不僅可以用來驗證已有的物理學理論，而且可以推動新的理論和技術的發(fā)展。

1.5.1原子鐘

為了提高時間(頻率)的計量精度，人們一直在尋求一個更準確的時間頻率標準。量子力學和微波波譜學的發(fā)展促成了原子鐘的實現(xiàn)。1936年，Babi在哥倫比亞大學提出了原子和分子束諧振技術理論，并實驗得到原子躍遷只與其內部固有特征相關而與外界電磁場無關的結果，提供了原子躍遷作為頻率標準的可能性。1948年，Smith和Lyon在美國國家標準局利用Babi的理論做成了第一臺氨分子鐘，但這個鐘是吸收型的，因為多普勒效應，其長期穩(wěn)定度也只有10-7，沒有實用價值。

但是，隨著技術的發(fā)展，原子鐘的精度有了極大的提高。1996年，法國國家標準實驗室的Chairon和法國高等師范大學的Salomon建成了基于冷原子噴泉概念的第一個銫原子時間頻率基準。當前這種基準的不確定度已經進入10-16量級。

隨著飛秒激光的出現(xiàn)，可以直接通過拍頻法測量激光的絕對頻率，使光頻與飛秒光梳結合為鐘成為可能?；诟鞣N元素的光頻標研究成為時間頻率領域的新熱點，光鐘與微波鐘類似，只是光鐘的原子被激光冷卻囚禁到很低的溫度以消除躍遷的多普勒增寬，然后用鐘激光進行探測。鐘探測光頻率鎖定在原子的躍遷共振線上，作為光鐘的振蕩器，光鐘又有離子光鐘、原子光鐘和光晶格光鐘三種形式。目前光鐘的不確定度已經達到了

10-18量級。

中國科學院上海光學精密機械研究所的王育竹院士研究組在小型星載原子鐘的基礎研究方面取得了若干進展。他們將量子信息存儲的技術應用到原子鐘。將探測光信息存儲于原子介質中，將光的信息轉變?yōu)樵拥淖孕ǎ斘⒉ㄌ綔y原子躍遷頻率時，由于已無光場存在，消除了光場作用于原子產生的光頻移效應，當控制光誘發(fā)原子自旋波轉化為信號光輸出時，信號光攜帶了微波探測原子躍遷的信息(誤差信息)。誤差信號的探測是將粒子數(shù)差的探測轉變?yōu)樵酉喔尚缘奶綔y，進而極大地提高了信號的對比度和信噪比，從而改善了原子鐘的性能。

1.5.2量子高精密相位測量

量子高精密相位測量是利用非經典光場的特殊形式實現(xiàn)對任意光學相位的高精密測量，其精度可以突破標準量子極限。假設有N個光子，如果這N個光子處于經典關聯(lián)態(tài)，那么由于輸出的隨機性(散粒噪聲)導致了相位測量的精度將小于標準量子極限。然而量子關聯(lián)可以幫助我們克服這個限制。20世紀80年代，人們利用壓縮光場證明了這一性質。

隨后，理論物理學家開始研究利用一般的量子態(tài)如何實現(xiàn)最佳的相位測量，但是當時的實驗條件無法實現(xiàn)利用相應的量子態(tài)進行相位測量。隨著三光子和四光子路徑糾纏態(tài)NOON態(tài)的實驗制備的成功實現(xiàn)，人們又重新燃起了對量子精確測量的興趣。2007年，Nagata等人利用選擇性投影測量的方式實現(xiàn)了利用NOON完成超高精度的相位測量工作。隨后，中國科學技術大學的孫方穩(wěn)等人利用相似的方法得到了更高的測量精度。

1.5.3量子成像

量子成像是近十年提出并發(fā)展起來的一個新的研究領域?，F(xiàn)在很多時候人們把“鬼”成像也叫做量子成像，然而“鬼”成像完全可以用經典關聯(lián)來實現(xiàn)，例如現(xiàn)在逐步開始在軍事方面用的基于“鬼”成像的量子雷達也可以用微波的經典關聯(lián)來實現(xiàn)。另外一種利用光與原子相互作用的受激發(fā)射損耗的方式進行超越衍射極限的成像方法也發(fā)展了十年有余，已經逐步商用化。本書所介紹的量子成像是利用量子光場實現(xiàn)的超高分辨率的成像。

上面的方法只是提高了成像的對比度，而分辨率并沒有得到改進。我們知道，在傳統(tǒng)的刻蝕中，要想減小條紋間距，就必須減小光子的波長，但是光子的能量(頻率)必然隨著增加，當光子的能量足夠高時，就會對被刻蝕的基板和上面的物質造成損害，而量子刻蝕束可以通過N個光子的糾纏特性，得到Ｎ光子的整體波長為實際波長的1/N。這樣，在同樣波長的條件下將條紋間距擴大N倍，該方法將會在未來的芯片工業(yè)加工技術以及成像等方面有廣泛的應用。量子刻蝕的概念首先由Scully和Rathe于1995年提出，但是該方向引起大家的興趣是在2000年Boto介紹了一種基于光子吸收的測量方案之后。

由于實驗上的困難，目前人們只能實現(xiàn)兩光子的量子刻蝕實驗。2010年，Tsang提出的基于質心測量的量子刻蝕方案大大提高了量子刻蝕的效率，并且大大降低了實驗難度。緊接著，Shin等人利用該方法實驗實現(xiàn)了兩光子的量子刻蝕，得到了相比于標準量子刻蝕方法更高的探測效率。當然，由于NOON制備的困難，更高精度(更多光子數(shù))的實驗實現(xiàn)還比較困難。

總之，量子度量學利用量子力學特性，尤其是量子糾纏，為我們提供了更高精度的測量方法和技術。但是要真正實用化，如最近提出的量子雷達以及量子定時定位技術，還有大量的基礎工作以及實驗技術需要解決。

1.6量子信息物理基礎

近年來，隨著量子信息領域研究的不斷深入，反過來進一步推動了量子力學的發(fā)展，豐富了量子物理的內涵，加深了人們對量子世界的理解。本節(jié)主要論述量子信息的發(fā)展推動量子力學研究的若干事例，如量子關聯(lián)、基于熵的不確定關系、量子開放系統(tǒng)環(huán)境的控制等問題。

關聯(lián)是自然界中普遍存在的現(xiàn)象。在經典領域，關聯(lián)可以很好地在Shannon信息理論框架內進行刻畫，但是在量子世界中則不是那么簡單。最初人們認識到量子糾纏是不同量子體系之間的一種特殊關聯(lián)，它不同于經典關聯(lián)。但是反過來，量子世界中所有的非經典關聯(lián)特性并不都是量子糾纏導致的。最近，人們認識到量子關聯(lián)比量子糾纏更普通，除了量子糾纏作為一種特殊的量子關聯(lián)以外，進一步人們發(fā)現(xiàn)即便是可分離的量子狀態(tài)中也含有非經典關聯(lián)，即在沒有量子糾纏的情況下，量子關聯(lián)依然可能存在。人們理論上發(fā)現(xiàn)這種非糾纏的量子關聯(lián)可以在非幺正的量子計算模型中實現(xiàn)計算的加速，并已經在實驗上獲得了驗證。

2011年，中國科學技術大學的李傳鋒研究組首次驗證了新形式的海森堡不確定原理(見圖1.15)。他們在光學系統(tǒng)中利用非線性過程產生的孿生光子對制備出一種特殊的糾纏態(tài)——貝爾對角態(tài)，把其中一個光子作為被測光子，另一個光子作為存儲被測光子量子信息的輔助粒子。他們通過將輔助光子存儲在自行研制的自旋回聲式的量子存儲器中(存儲時間可以達到1.2μs)，實現(xiàn)了對被測光子的兩個不對易力學量的測量，并給出了兩個力學量輸出結果不確定度的下界。與此同時，Prevedel等人利用單模光纖作為存儲器也實現(xiàn)了新形式的海森堡不確定關系的實驗驗證。

圖1.15驗證新形式海森堡不確定原理的實驗示意圖

量子開放系統(tǒng)是量子力學的一個非常重要的研究方向。因為薛定諤方程是描述封閉系統(tǒng)中量子態(tài)的演化的，而作為一個量子系統(tǒng)，不可避免地會同環(huán)境自由度發(fā)生相互作用，從而產生信息和能量的交換，這就是量子開放系統(tǒng)。對于量子開放系統(tǒng)，其處理思路非常簡單，我們只需要將所有的環(huán)境自由度包含進來，將這個大的系統(tǒng)看成一個閉系統(tǒng)，用薛定諤方程來處理。對于某一時刻的系統(tǒng)狀態(tài)的描述，我們可以通過約化掉環(huán)境的自由度來獲得系統(tǒng)的約化密度矩陣。但是。由于這是一個量子多體系統(tǒng)，薛定諤方程的求解異常復雜，無法對一般情況進行求解。

如果量子開放系統(tǒng)是非馬爾科夫性的，那么流入環(huán)境的信息將在將來的某一時刻重新對系統(tǒng)造成影響，這種情形下，環(huán)境就相當于量子信息的存儲器。通常情況下，由于環(huán)境具有復雜的自由度，人們很難實現(xiàn)對環(huán)境的調控，使之從馬爾科夫環(huán)境變成為非馬爾科夫環(huán)境。但在2011年，李傳鋒研究組首次在實驗上模擬了量子開系統(tǒng)中，環(huán)境從馬爾科夫到非馬爾科夫的轉變。他們利用非線性晶體的自發(fā)參量下轉換過程制備出高純度糾纏光子對，并將其中一個光子的偏振比特作為量子系統(tǒng)，其頻率(或者說波長)作為環(huán)境，然后通過石英片的雙折射效應把量子系統(tǒng)與環(huán)境耦合起來，實現(xiàn)量子系統(tǒng)在環(huán)境中的演化。他們通過在光路中加入特制的法布里玻羅腔，并通過改變法布里－玻羅腔的轉動角度，利用另外一個光子輔助探測，從而實現(xiàn)了對環(huán)境(光子頻率)的調控(見圖1.16)。

圖1.16在光學系統(tǒng)中模擬從馬爾科夫環(huán)境到非馬爾科夫環(huán)境轉變的實驗示意圖

環(huán)境自由度的存在，是造成量子系統(tǒng)退相干的主要原因，這給人們相干操控量子態(tài)帶來了很大困難。為了克服這一困難，人們發(fā)展了若干方法，其中之一被稱為動力學退耦合，即對系統(tǒng)施加若干控制脈沖，來斬斷系統(tǒng)與環(huán)境自由度之間的聯(lián)系(在脈沖控制的時間段中，將系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用的哈密頓量平均掉，使開放系統(tǒng)的行為類似于一個封閉系統(tǒng))。在動力學退耦合的研究中，一個重要的理論進展是，Uhrig在2007年提出了UDD

的動力學退耦合序，大大簡化了動力學退耦合中所需要的翻轉脈沖數(shù)目。2009年，中國科學技術大學的杜江峰等人，在實驗上實現(xiàn)了UDD

的脈沖控制。他們在真實的固態(tài)系統(tǒng)中，使用7重UDD脈沖，從而將系統(tǒng)相干性提升了3個量級(見圖1.17)。

圖1.17固態(tài)系統(tǒng)中通過UDD脈沖的控制，使系統(tǒng)相干性獲得提升

量子開放系統(tǒng)中，系統(tǒng)和環(huán)境相互作用復雜性有時會展現(xiàn)出很多有違直觀的現(xiàn)象。例如，一般而言，系統(tǒng)與環(huán)境的耦合作用越強，系統(tǒng)的退相干會越顯著。但這一點并不總是正確的。香港中文大學的劉仁保等人發(fā)現(xiàn)，在自旋1的系統(tǒng)中，在動力學退耦合的控制之下，多躍遷過程可以比單躍遷過程具有更長的相干時間，雖然多躍遷過程會遭受更強的噪聲影響。他們將此命名為反常退相干。杜江峰等人在NV色心系統(tǒng)中驗證了這一點。第2章量子信息學的數(shù)學與物理基礎2.1量子信息學中的數(shù)學2.2量子信息學的物理基礎2.3密度算符2.4量子糾纏

2.1量子信息學中的數(shù)學2.1.1向量

線性代數(shù)研究的基本對象是向量空間。我們最感興趣的向量空間是所有n元復數(shù)(z1，…，zn)構成的空間Cn，向量空間的元素稱為向量，可以用列矩陣表示向量。例如，向量z可表示為

同時，向量空間Cn中的兩個向量間的加法可定義為

其中，右邊的加法運算就是復數(shù)加法。而且向量空間中還存在標量乘法運算，Cn上的標量乘運算定義為

其中，z是標量，即為一復數(shù)，右邊的乘法是普遍的復數(shù)乘法。

量子力學研究的是Hilbert空間中的量子系統(tǒng)的演化過程，所有的運算都包容于Hilbert內積空間。量子力學具有多種有效的標記形式，其中Dirac標記是常用的標記之一。在Dirac標記中的量子態(tài)即向量標記為

向量空間的張成集是一組向量|υ1〉，|

υ2，…|υn〉，它使得向量空間中的任意向量|υ〉都能表示成這組向量的線性組合，即。例如，向量空間的一組張成集是

都成立，則非零向量|υ1〉，…，|υn〉

定義為線性相關；否則，非零向量|υ1〉，…，|υn〉定義為線性無關?？梢宰C明，如果任意兩組線性無關向量都是向量空間υ的張成集，這兩個張成集一定包含相等數(shù)目的元素，稱這樣的向量組為向量空間的基。對于任一向量空間，基總是存在的，基所包含的數(shù)目稱為向量空間υ的維數(shù)。通常情況下，量子信息和量子計算更加關注有限維向量空間。

2.1.2內積

內積是向量空間上的二元復數(shù)函數(shù)，即兩個向量|υ〉

和|w

〉的內積是一個復數(shù)。向量空間中向量|υ〉

和|w

〉的內積通常標記成(|υ，|w

)，但這不是量子力學的標記形式。內積(υ〉，|w

〉)在量子力學中的標準符號為〈υ|w〉，其中|υ和

|w是內積空間中的向量，符號〈υ|表示向量|υ〉的共軛轉置，稱為左矢，也即行向量。

帶有內積的空間稱為內積空間。容易證明，任意內積(·，·)對第一個自變量都是共軛線性的，即

若在Hilbert空間考慮量子力學系統(tǒng)，希爾伯特空間就是復內積空間。在量子計算與量子信息中，我們常遇到有限維數(shù)復向量空間，此時希爾伯特空間與內積空間完全等價。因此，我們經常不加區(qū)分地使用這兩個術語。

如果向量|υ

〉和|w〉的內積為0，則稱兩向量相互正交。例如，向量|w〉≡(1，0)和|υ

≡(0，1)相對于式(2.10)定義的內積為0，它們是正交的。定義向量|υ的范數(shù)為

即如果向量是相對于某個標準正交基的，則兩個向量的內積就等于向量矩陣表示的內積表示為〈υ

|w〉。

2.1.3線性算符與矩陣

向量空間υ→W之間的線性算子定義為對于任意的線性函數(shù)A：υ→W，滿足：

設

υ、

W和X是一向量空間，且有A：υ→W的線性算子和B：W→X的線性算子，則BA(表示B和A的復合算子)可定義為

通常簡記為BA|υ〉

。

理解線性算子最方便的方法是矩陣表示。事實上，線性算子和矩陣完全等價，即線性算子可以表示成矩陣，矩陣也可表示成線性算子。為明確二者的聯(lián)系，首先要了解m×n階，以Aij為元素的矩陣A在同Cn向量進行矩陣乘法時，實際上是把Cn上的向量轉移到Cm的一個線性算子。更確切的，矩陣A

是線性算子意味著

該等式的作用是將A和列向量|φ〉進行矩陣乘積。

我們已經看到矩陣可以被視為線性算子，能否給出線性算子的矩陣表示？事實上，矩陣和算子這個術語總被互換使用。假設A：υ→W是向量空間υ和W之間的一個線性算子，|υ1〉，…，|υn〉是υ的一個基，而

|w1〉，…，|wn〉是W的一個基。于是對于任意j∈1，…，m，存在復數(shù)A1j到Anj，使

2.1.4外積

外積是利用內積表示線性算符的一種有效方法。設

|υ

〉是內積空間υ中的向量，而

|w

〉是內積空間的向量，定義

|w〉〈υ|為從υ到W的線性算符：

向量空間V上算符A可用對角形式表示：

其中，向量組|i

〉是A的特征向量構成的標準正交向量組，對應的特征值為λi。通常，若一個算符能夠用對角形式表示，稱該算符為可對角化的算符，有時也稱為標準正交分解。

如果AA+=A+，則稱算符A為正規(guī)的。正規(guī)算符有一個很有用的特征，稱為譜分解定理。一個正規(guī)算符的充要條件是當且僅當它可對角化；并且，正規(guī)算符是Hermite算符，當且僅當它的特征值是實數(shù)。

以上結論的證明過程如下：

由定義，張量積滿足以下基本性質：

可用Kronecker積矩陣表示加深對張量積的理解。設A是一個m×n矩陣，B是一個p×q矩陣，則張量積的矩陣表示為

其中，A11B的項代表p×q子矩陣，其元素正比于B，全局比例常數(shù)為A11。例如，向量(1，2)和(2，3)的張量積是向量：

Pauli矩陣X和Y的張量積為

最后說明一個有用的標記|φ〉

k，它表示|φ〉自身的k次張量積，例如|φ〉

2=|φ〉

|φ〉。相應的記號也可用于張量積空間上的算符。

2.1.8算符函數(shù)

在算子和矩陣上，可以定義很多重要的函數(shù)。一般而言，給定從復數(shù)到復數(shù)的函數(shù)f，可以通過下面的步驟來定義正規(guī)矩陣上(或它的一個子類，如Hermite矩陣)的相應矩陣函數(shù)。令

是正規(guī)算符A的一個譜分解，定義算符函數(shù)

容易看出f(A)是唯一定義的。例如，正規(guī)算符的指數(shù)定義為

因為Z的特征值是+1和-1，特征向量是|0〉和|1〉。

2.1.9對易式與反對易式

在量子力學中，描述兩個算符的計算時常用到對易和反對易的概念。兩個算符A和B之間的對易式[A，B]定義為

[

A，B]≡

AB-

BA(2.55)

如果[A，B]=0，即AB＝BA，則說明A和B

對易。類似地，兩個算符A和B

的反對易式定義為

{A，B

}≡AB+BA(2.56)

如果{A，B}=0，則稱A和B

反對易。

若兩個算符對易，則該兩個算符將具有一些重要性質。如果A和B是Hermite算符，當且僅當存在一個標準正交基，使A和B在標準正交基下同時對角化，才存在[A，B]。在這種情況下，算子A和B稱為可同時對角化。這個概念在量子力學中稱A、B兩個力學量具有共同的特征態(tài)；若不對易，則A和B兩個力學量必須滿足海森堡測不準關系。

可以驗證Pauli(泡利)矩陣間是不對易的：

還可以進一步證明，Pauli算符之間滿足反對易關系：

2.1.10極式分解和奇異值分解

極式分解和奇異值分解是把線性算符分解成一系列簡單的有用方法。特別地，這些分解可以把一般線性算符分解成酉算符和半正定算符的乘積。雖然我們對一般線性算符結構并不是非常了解，但是我們對酉算符和半正定算符的性質已有一定了解，極式分解和奇異值分解使我們可以利用已掌握的知識更好地理解一般線性算符。

例2.2求矩陣的左右極式分解。

2.2量子信息學的物理基礎

2.2.1量子力學的基本概念什么是“量子”？它和“原子”、“電子”、“中子”這些客觀存在的粒子一樣也是某一種物質實體嗎？答案是否定的?！傲孔印币辉~最早出現(xiàn)在光量子理論中，是微觀系統(tǒng)中能量的一個力學單位?，F(xiàn)代物理中的“量子”不是一種粒子，實際上指的是微觀世界的一種行為傾向；物質或者說粒子(光子、電子、質子、中子等)的能量和其他一些性質(統(tǒng)稱為可觀測物理量)都傾向于不連續(xù)地變化。

普朗克于1900年在有關黑體輻射問題的研究中提出了“物質輻射(或吸收)的能量只能是某些最小單位的整數(shù)倍數(shù)”的假說，這稱為量子假說。該假說的含義是：對于一定頻率ν的電磁輻射，物體只能以此最小單位吸收或發(fā)射它(由此可見微觀世界物質的能量是不連續(xù)的)。換言之，吸收或發(fā)射電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個“量子”的能量與頻率成正比，即

其中，ｈ為一個普朗克常量。這和過去經典電動力學中電磁波的能量只與振幅有關而與頻率無關完全不同。而且能量的吸收和發(fā)射是量子化的，這在經典力學中是無法理解的。在此基礎上，愛因斯坦進一步推廣了量子的概念，提出不僅黑體和輻射場的能量交換是量子化的，而且輻射場本身就由不連續(xù)的光量子組成，從而獲得了著名的普朗克愛因斯坦關系。

微觀世界中的量子具有宏觀世界無法解釋的微觀客體的許多特性，這些特性集中表現(xiàn)在量子狀態(tài)屬性上，如量子態(tài)的疊加原理、概率性測量原理、量子態(tài)的糾纏、量子態(tài)的不可克隆、量子的“波粒二象性”以及量子客體的測量將導致量子狀態(tài)“包絡塌縮”等現(xiàn)象。這些奇異的現(xiàn)象來自于微觀世界中微觀客體間存在的相互干涉，即所謂的量子相干特性。利用微觀粒子的量子態(tài)疊加及相干特性能夠實現(xiàn)未來計算機超高速并行計算；利用微觀粒子的量子態(tài)糾纏、量子態(tài)不可克隆的力學特性能夠實現(xiàn)超高速的信息傳送，實現(xiàn)不可破譯、不可竊聽的保密通信。

1.薛定諤貓

20世紀前葉，人們逐漸發(fā)現(xiàn)微觀客體(光子、電子、質子、中子等)既有波動性，又有粒子性，即所謂“波粒二象性”?！安▌印焙汀傲Ｗ印倍际墙浀湮锢碇袕暮暧^世界獲得的概念，在我們認識的范疇之內，容易直觀地理解它們。然而，微觀客體的行為與人們日常經驗相差甚遠，對每一個觀察者來說顯得十分怪誕和神秘，很難順理成章地接受。微觀粒子的波粒二象性告訴我們：微觀客體既是粒子也是波，它是粒子和波二象性矛盾的統(tǒng)一。

此波雖不再是經典概念下的波，但它卻具有波動性最本質的東西，即波的“相干疊加性”，此粒子也不再是經典概念下的粒子，因為它不滿足“粒子有確切的軌道”的屬性，但它卻具有粒子運動最本質的現(xiàn)象，即粒子的直線運動與反射。由于微觀粒子的波粒二象性使得人們不得不引入波函數(shù)ψ(r)(量子態(tài))來描述它們的狀態(tài)。

圖2.1描述了所謂的“薛定諤貓”的假想實驗。薛定諤設想在一個封閉的容器里有個放射源和一只貓,放射源以每秒1/2的概率釋放一個粒子。換句話說,按照量子力學的疊加性原理，一秒鐘后體系處于無粒子態(tài)和一個粒子態(tài)的等概率幅疊加態(tài)。一旦粒子發(fā)射出來(狀態(tài)為0)，它將啟動一個傳動機構落下鐵錘，打破裝有氰化氫的瓶子,毒氣釋放后會導致容器里的那只貓立刻死亡(狀態(tài)為“死貓”)。當然，如果無粒子的發(fā)射(狀態(tài)為1),這一切均不會發(fā)生，貓仍然活著(狀態(tài)為“活貓”)。現(xiàn)在的問題是：一秒鐘后容器里的貓是死還是活？既然放射性粒子是處于0和1的疊加態(tài)，那么這只貓理應處于死貓和活貓的疊加態(tài)。這只在特定狀態(tài)下死了的、活著的還是半死半活的貓就是著名的“薛定諤貓”。

圖2.1“薛定諤貓”假想實驗

“薛定諤貓”的意義在于薛定諤通過這個假想實驗將看不見的微觀世界與我們熟悉的宏觀世界聯(lián)系起來，誘導觀察者本能地用已有的宏觀思維去考慮微觀客體的行為，從而得到不可思議的結論。

在這個假想實驗中，拋掉“貓”這個宏觀形象表征，薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子態(tài)疊加原理，那么，如果自然界確實按照量子力學運行，那么宏觀世界也應遵從量子態(tài)疊加原理，但宏觀物體一般量子效應并不顯著。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓連接起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。

然而。隨著量子光學的發(fā)展，人們研究了各種制備宏觀世界量子態(tài)疊加的方案，1997年，科學家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤貓”態(tài)，