高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月11日）

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在題后括號內(nèi)．1．如圖所示，下列長方體中由如圖所示的平面圖形圍成的是()解析實際進(jìn)行操作，D成立．答案D2．將長方體截去一個四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如下圖所示，則該幾何體的俯視圖為()解析如圖所示，當(dāng)俯視時，P與B，Q與C，R與D重合，故選C.答案C3．(2013·重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(560,3) B.eq\f(580,3)C．200 D．240解析該幾何體是上、下底面均為矩形，左、右側(cè)面均為等腰梯形的多面體，求體積時把等腰梯形作為上、下底面，則幾何體為一個高為10的四棱柱，于是V＝eq\f(1,2)×(2＋8)×4×10＝200.答案C4．已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于()A．4π B．3πC．2π D．π解析如圖所示，由AB⊥BC知，AC為過A，B，C，D四點小圓直徑，所以AD⊥DC.又SA⊥平面ABCD，設(shè)SB1C1D1－ABCD為SA，AB，BC為棱長構(gòu)造的長方體，得體對角線長為eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝2R，所以R＝1，球O的表面積S＝4πR2＝4π.故選A.答案A5．(2013·湖南卷)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2)－1,2) D.eq\f(\r(2)＋1,2)解析由俯視圖的面積為1可得底面與水平面平行，當(dāng)正方體正放時，正視圖的面積最小為1，正方體旋轉(zhuǎn)其正視圖為其對角面時，面積最大為eq\r(2)，eq\f(\r(2)－1,2)<1，故不可能．答案C6．(2013·唐山一模)點A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，則該球的體積為()A．32eq\r(3)π B．48πC．64eq\r(3)π D．16eq\r(3)π解析如圖所示，O1為三角形ABC的外心，過O做OE⊥AD，∴OO1⊥面ABC，∴AO1＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3).∵OD＝OA，∴E為DA的中點．∵AD⊥面ABC，∴AD∥OO1，∴EO＝AO1＝eq\r(3).∴DO＝eq\r(DE2＋OE2)＝2eq\r(3).∴R＝DO＝2eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π.答案A二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題中橫線上．7．(2013·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________．解析由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓錐的一半，則體積V＝eq\f(1,3)π×2×eq\f(1,2)＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)8．(2013·安徽江南十校聯(lián)考)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為________．解析由三視圖可知，直觀圖為正方體ABCD－A1B1C1D1去掉三棱錐B1－A1BC1，所以其外接球的直徑為正方體的體對角線的長度：eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，V球＝eq\f(4π,3)·(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案4eq\r(3)π9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)為線段BC1的中點，E為線段A1C1上的動點，則下列結(jié)論中正確的為________．①存在點E使EF∥BD1②不存在點E使EF⊥平面AB1C1D③EF與AD1所成的角不可能等于90°④三棱錐B1－ACE的體積為定值解析①中，若存在點E使EF∥BD1，則BD1∥平面A1BC1.而BD1∩平面A1BC1＝B，故①錯；當(dāng)E為A1C1的中點時，EF∥A1B.由A1B⊥平面AB1C1D知，EF⊥平面AB1C1D，故②錯；當(dāng)E與A1重合時，△A1BC1為等邊三角形，此時EF⊥BC1而BC1∥AD1，所以EF⊥AD1，故③錯；因為B1到平面ACE的距離為定值，△ACE的面積也為定值，所以三棱錐B1－ACE的體積為定值，故④正確．答案④三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．10．(本小題10分)(2013·山西晉城一模)如圖所示，在邊長為5＋eq\r(2)的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以O(shè)為圓心畫一個圓，M，N，K為切點，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，求圓錐的表面積與體積．解設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋r＋\r(2)r＝5＋\r(2)×\r(2)，,\f(2πr,l)＝\f(π,2)，))解得r＝eq\r(2)，l＝4eq\r(2).所以S＝πrl＋πr2＝10π，h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(30)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2\r(30)π,3).11．(本小題10分)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1C的中點．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求三棱錐E－BCD的體積．解(1)證明：取BC中點G，連接AG，EG，因為E是B1C的中點，所以EG∥BB1，且EG＝eq\f(1,2)BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1.而D是AA1的中點，所以EG綊AD.所以四邊形EGAD是平行四邊形．所以ED∥AG.又DE?平面ABC，AG?平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)解：因為AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.所以VE－BCD＝VD－BCE＝VA－BCE＝VE－ABC.由(1)知，DE∥平面ABC，所以VE－ABC＝VD－ABC＝eq\f(1,3)AD·eq\f(1,2)BC·AG＝eq\f(1,6)×3×6×4＝12.12．(本小題10分)下圖是一個幾何體的直觀圖、正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．其中俯視圖為正方形，正(主)視圖為直角梯形，側(cè)(左)視圖為等腰直角三角形，且CE是中線．(1)若F為PD的中點，求證：AF⊥面PCD；(2)證明：BD∥面PEC.解(1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB.∵PA＝AD，F(xiàn)為PD的中點，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF，∴AF⊥