2024屆天津市部分學校高二數學第二學期期末預測試題含解析

2024屆天津市部分學校高二數學第二學期期末預測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量服從二項分布，且，則（）A． B． C． D．2．設函數（e為自然底數），則使成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．3．已知x，y的取值如下表示：若y與x線性相關，且，則a=（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.94．若復數是純虛數，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知函數，若方程有五個不同的實數根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）6．若復數滿足，則在復平面內，對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．在一次試驗中，測得的四組值分別是，，，，則與之間的線性回歸方程為()A． B． C． D．8．若集合，，則()A． B．C． D．9．已知定義在R上的偶函數，在時，，若，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．10．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．11．設集合，，，則中的元素個數為（）A． B． C． D．12．一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的●個數是（）A．10 B．9 C．8 D．11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數，且在上有最大值，則最大值為_____．14．若指數函數的圖象過點，則__________.15．西周初數學家商高在公元前1000年發(fā)現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數.現從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數中隨機抽取3個數，則這3個數能構成勾股數的概率為__________．16．在二項式展開式中，第五項為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4—4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.點的直角坐標為，直線與曲線交于兩點.（Ⅰ）寫出點的極坐標和曲線的普通方程；（Ⅱ）當時，求點到兩點的距離之積.18．（12分）已知函數．（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（2）若存在實數使得成立，求實數的取值范圍．19．（12分）已知，是雙曲線：（、為常數，）上的兩個不同點，是坐標原點，且，（1）若是等腰三角形，且它的重心是雙曲線的右頂點，求雙曲線的漸近線方程；（2）求面積的最小值.20．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數．（3）若從樣本中數學成績在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的槪率．21．（12分）已知函數，(1)若，證明：函數是上的減函數；(2)若曲線在點處的切線不直線平行，求a的值；(3)若，證明：(其中…是自然對數的底數)．22．（10分）2019年春節(jié)檔有多部優(yōu)秀電影上映，其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評網站統(tǒng)計了100名觀眾對《流浪地球》的評分情況，得到如下表格：評價等級★★★★★★★★★★★★★★★分數0～2021?4041?6061～8081?100人數5212675(1)根據以上評分情況，試估計觀眾對《流浪地球》的評價在四星以上(包括四星)的頻率；(2)以表中各評價等級對應的頻率作為各評價等級對應的概率，假設每個觀眾的評分結果相互獨立.(i)若從全國所有觀眾中隨機選取3名，求恰有2名評價為五星1名評價為一星的概率；(ii)若從全國所有觀眾中隨機選取16名，記評價為五星的人數為X，求X的方差.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由二項分布與次獨立重復實驗的模型得：，，則，得解．【題目詳解】因為服從二項分布，，，所以，，即，，則，故選：A．【題目點撥】本題考查二項分布與次獨立重復實驗的模型，屬于基礎題．2、A【解題分析】

由可得：，結合充分、必要條件的概念得解.【題目詳解】解得：又“”可以推出“”但“”不能推出“”所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了等價轉化思想及充分、必要條件的概念，屬于基礎題。3、B【解題分析】

求出，代入回歸方程可求得．【題目詳解】由題意，，所以，．故選：B.【題目點撥】本題考查回歸直線方程，掌握回歸直線方程的性質是解題關鍵．回歸直線一定過中心點．4、C【解題分析】

由純虛數的定義和三角恒等式可求得，根據二倍角公式求得；根據復數的幾何意義可求得結果.【題目詳解】為純虛數，，即，，，，對應點的坐標為，位于第二象限.則的共軛復數在復平面內對應的點位于第三象限故選：.【題目點撥】本題考查復數對應點的坐標的問題的求解，涉及到同角三角函數值的求解、二倍角公式的應用、復數的幾何意義等知識.5、D【解題分析】

由方程的解與函數圖象的交點關系得：方程有五個不同的實數根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數根等價于函數的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數圖象的交點個數問題的關系應用及利用導數求切線方程。6、A【解題分析】

由題先解出，再利用來判斷位置【題目詳解】，在復平面對應的點為，即在第一象限，故選A【題目點撥】本題考查復數的除法，復數的概念及幾何意義，是基礎題.7、D【解題分析】

根據所給的這組數據，取出這組數據的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．【題目詳解】∴這組數據的樣本中心點是

把樣本中心點代入四個選項中，只有成立，

故選D．【題目點撥】本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數的運算不要出錯，注意系數的求法，運算時要細心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．8、A【解題分析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點睛：本題考查集合的綜合運算，屬基礎題.9、B【解題分析】試題分析：當時，，，∴函數在上為增函數，∵函數是定義在R上的偶函數，∴，∴，∴，即．考點：函數的單調性、奇偶性、解不等式．10、D【解題分析】分析：由已知可得水對應的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．11、C【解題分析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數即可.詳解：結合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據此可知中的元素個數為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、B【解題分析】將圓分組：第一組：○●，有個圓；第二組：○○●，有個圓；第三組：○○○●，有個，…，每組圓的總個數構成了一個等差數列，前組圓的總個數為，令，解得，即包含整組，故含有●的個數是個,故選B.【方法點睛】本題考查等差數列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

先對函數求導，求出，再由導數的方法研究函數單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；所以當時，取極大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案為3【題目點撥】本題主要考查導數的應用，由函數在給定區(qū)間有最大值求參數，只需利用導數的方法研究函數單調性，即可求解，屬于?？碱}型.14、【解題分析】

設指數函數為，代入點的坐標求出的值，再求的值.【題目詳解】設指數函數為，所以.所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查指數函數的解析式的求法和指數函數求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解題分析】

由組合數結合古典概型求解即可【題目詳解】從11個數中隨機抽取3個數有種不同的方法，其中能構成勾股數的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點撥】本題考查古典概型與數學文化，考查組合問題，數據處理能力和應用意識.16、60【解題分析】

根據二項式的通項公式求解.【題目詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.【題目點撥】本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：⑴由極坐標方程求出點的極坐標，運用求得曲線的普通方程⑵將代入，求出直線的參數方程，然后計算出結果詳解：（Ⅰ）由得，又得，∴點的極坐標為.由得，所以有，由得，所以曲線的普通方程為：.（Ⅱ）因為，點在上，∴直線的參數方程為：，將其代入并整理得，設所對應的參數分別為，且有，所以.點睛：本題考查了極坐標和普通方程之間的轉化，運用代入化簡即可，在求距離時可以運用參數方程來解答，計算量減少18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】分析：（1）根據在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分離參數得，再求右邊式子的最小值，得到a的取值范圍.詳解：（1）∵，∴，，∴，解得，不等式，即，解得或，故不等式的解集為．（2）由，得，令，問題轉化為，又故，則，所以實數的取值范圍為．點睛：（1）本題主要考查不等式的解法和求絕對值不等式的最值，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)本題易錯，得到，問題轉化為，不是轉化為,因為它是存在性問題.19、(1);(2)【解題分析】

(1)根據三角形重心的性質與是等腰三角形可求得的坐標,再代入雙曲線方程求解即可.

(2)將雙曲線：用極坐標表達,可直接設,再利用,代入求得關于的表達式再求最值即可.【題目詳解】(1)當是等腰三角形,且它的重心是雙曲線的右頂點時,可知在雙曲線的右支上,且.設,則由重心性質有,故在雙曲線上,故,可得,即.故雙曲線的漸近線方程為.(2)由雙曲線:,轉換為極坐標則有,化簡得,設則有,故,故,當且僅當,即,即時等號成立.故面積的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了圓錐曲線中面積的最值問題,因為題中有,故在求面積的最小值時,可以考慮用極坐標的方法做進行簡化計算,屬于難題.20、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質能求出的值；（2）先求出數學成績不低于分的概率，由此能求出數學成績不低于分的人數；（3）數學成績在的學生為分，數學成績在的學生人數為人，由此利用列舉法能求出這名學生的數學成績之差的絕對值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數學成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數學成績不低于60分的人數為：1000×0.85=850（人）．（3）數學成績在[40，50）的學生為40×0.05=2（人），數學成績在[90，100]的學生人數為40×0.1=4（人），設數學成績在[40，50）的學生為A，B，數學成績在[90，100]的學生為a，b，c，d，從樣本中數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的槪率為．考點：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．21、（I）詳見解析；（II）；（III）詳見解