2024屆山東省濟(jì)南市市中區(qū)實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

2024屆山東省濟(jì)南市市中區(qū)實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．命題p:?x∈Ν，x3<x2；命題q:?a∈0,1A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真3．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．4．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-45．且，可進(jìn)行如下“分解”：若的“分解”中有一個數(shù)是2019，則（）A．44 B．45 C．46 D．476．某巨型摩天輪．其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點距地面110米，運(yùn)行一周大約21分鐘．某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．1107．若曲線y＝x3﹣2x2+2在點A處的切線方程為y＝4x﹣6，且點A在直線mx+ny﹣2＝0（其中m＞0，n＞0）上，則（）A．m+7n﹣1＝0 B．m+n﹣1＝0C．m+13n﹣3＝0 D．m+n﹣1＝0或m+13n﹣3＝08．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為()A． B． C． D．或9．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)10．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．11．已知，若，則的值為（）A． B． C． D．12．已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則的取值范圍為_______.15．從總體中抽取一個樣本是5，6，7，8，9，則總體方差的估計值是____________.16．用反證法證明“若，則”時，應(yīng)假設(shè)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）與函數(shù)在處的切線互相平行．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方．18．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．20．（12分）已知函數(shù)，.(1)解不等式；(2)若對任意，都有，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的值．22．（10分）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，，.（1）若，①求的值；②猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，證明：當(dāng)時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（2，﹣1）．故選D．【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】試題分析：∵x3<x2，∴x2∵loga(2-1)=loga1=0考點：命題的真假．3、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！绢}目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問題時，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡化計算，考查計算能力，屬于中等題。5、B【解題分析】

探尋規(guī)律，利用等差數(shù)列求和進(jìn)行判斷【題目詳解】由題意得底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，則底數(shù)是數(shù)分裂成個奇數(shù)，則共有個奇數(shù)，是從開始的第個奇數(shù)，，第個奇數(shù)是底數(shù)為的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個，即，故選【題目點撥】本題考查了數(shù)字的變化，找出其中的規(guī)律，運(yùn)用等差數(shù)列求出奇數(shù)的個數(shù)，然后進(jìn)行匹配，最終還是考查了數(shù)列的相關(guān)知識。6、B【解題分析】分析：設(shè)出P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設(shè)P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因為f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求，一般用最高點或最低點求．7、B【解題分析】

設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，然后根據(jù)切線方程盡量關(guān)于的方程組，再結(jié)合條件，即可求得的關(guān)系，得到答案．【題目詳解】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，又由切線方程為，所以，解得，因為點在直線上，所以，故選B．【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線方程列出相應(yīng)的方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】分析：先利用雙曲線的漸近線相互垂直得出該雙曲線為等軸雙曲線，再利用焦點位置確定雙曲線的類型，最后利用幾何元素間的等量關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因為該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即，又雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，所以，即，即該雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，要注意以下等價關(guān)系的應(yīng)用：等軸雙曲線的離心率為，其兩條漸近線相互垂直.9、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點屬于已知區(qū)間即可.【題目詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點，因為函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選:D.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.11、B【解題分析】

分析：由定積分的幾何意義求得定積分，在二項展開式中令可求解．詳解：由積分的幾何意義知，在中，，令，則，∴．故選B．點睛：本題考查定積分的幾何意義，考查二項式定理的應(yīng)用．在二項展開式中求與系數(shù)和有關(guān)的問題通常用賦值法．根據(jù)所求和式的結(jié)構(gòu)對變量賦予不同的值可得對應(yīng)的恒等式．如本題賦值，如果只求系數(shù)和，則賦值等等．12、A【解題分析】

由圓的一般方程得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，由直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以最小值為1【題目詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過圓心C，，即，因此，，、，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．由此可得當(dāng)，即且時，的最小值為1．故選A．【題目點撥】若圓的一般方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：時，不等式為，恒成立，當(dāng)時，有解得，綜上有．考點：不等式恒成立問題，二次不等式的解集．14、【解題分析】

若函數(shù)恰有4個不同的零點，令，即，討論或，由求得，結(jié)合圖象進(jìn)而得到答案.【題目詳解】函數(shù)，當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，所以在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，可令，再令，即有，當(dāng)時，，只有，只有兩解；當(dāng)時，有兩解，可得或，由和各有兩解，共4解，有，解得，可得的范圍是：，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有畫函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，屬于較難題目.15、【解題分析】

先求出樣本平均數(shù)，由此能求出樣本方差，由此能求出總體方差的估計值．【題目詳解】解：從總體中抽取一個樣本是5，6，7，8，9，樣本平均數(shù)為，樣本方差為，總體方差的估計值是1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查總體方差的估計值的求法，考查平均數(shù)、總體方差等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立?！绢}目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，所以應(yīng)假設(shè)，填?！绢}目點撥】反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小值為，最大值為；（2）見解析【解題分析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值與最小值；（2）令，則只須證恒成立即可，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明．詳解：（1），，由已知有，解得．當(dāng)時，．令，解得．∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又，，．∴最小值為，最大值為．（2）令，則只須證恒成立即可．∵．顯然，單調(diào)遞增（也可再次求導(dǎo)證明之），且．∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；∴恒成立，所以得證．點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計算二面角，解題的關(guān)鍵就是計算出兩個平面的法向量，利用空間向量法來進(jìn)行計算，考查計算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．19、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因為G.、F為EC和PC的中點，，又平面，平面，所以平面（II）因為菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因為平面，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.20、（1）；（2）[-3,1].【解題分析】試題分析:（1）由，得，去掉絕對值寫出不等式的解集;(2)對任意，都有，使得成立,則的值域為值域的子集,分別求出函數(shù)值域,建立不等式解出a的范圍即可.試題解析:（1）由，得，解得或.故不等式的解集為.（2）因為對任意，都有，使得成立，所以.又因為，.所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）可通過化簡計算出的值，然后解出的值。（2）可通過計算和的值來計算的值?！绢}目詳解】（1）由得，又，所以，得，所以。（2）由的面積為及得，即，又，從而由余弦定理得，所以，所以?！绢}目點撥】本題考察的是對解三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，需要對相關(guān)的公式有著足夠的了解。22、(1)①；；②(2)見證明【解題分析】

（1）①根據(jù)遞推公式，代入求值即