西藏自治區(qū)拉薩市八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測試題含解析

西藏自治區(qū)拉薩市八校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖像恒過定點，若定點在直線上，則的最小值為（）A．13 B．14 C．16 D．123．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)（）A．1 B． C．i D．4．已知命題p：函數(shù)的值域為R；命題q：函數(shù)是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．或5．展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．606．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為π，最大值為B．fx的最小正周期為π，最大值為C．fx的最小正周期為2πD．fx的最小正周期為2π7．已知a，b∈R，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（）A． B． C．1 D．9．已知點為雙曲線上一點，則它的離心率為（）A． B． C． D．10．己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．11．若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為A． B． C． D．12．將函數(shù)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖像向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖像關(guān)于對稱，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集是_________.14．若對一切，復(fù)數(shù)的模始終不大于2，則實數(shù)a的取值范圍是_______；15．直線被圓截得的弦長為________.16．過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，為橢圓的左焦點，若，且該橢圓的離心率，則的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且滿足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，求的值.18．（12分）如圖，正方形的邊長為2，點，分別為，的中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點，連接.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當時，若函數(shù)在上有唯一零點，求的值20．（12分）已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：必過定點，并求出該定點的坐標．21．（12分）為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務(wù).已知有腳踏自行車與電動自行車兩種車型，采用分段計費的方式租用.型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨立地到租車點租車騎行（各租一車一次），設(shè)甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個人每人租車都不會超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車．（1）求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率；（3）設(shè)甲乙丙丁四人所付費用之和為隨機變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與均值.附:參考數(shù)據(jù)與公式若，則=0.9544，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個選項中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【題目詳解】因為直線傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【題目點撥】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

分析：利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點，將點的坐標代入，結(jié)合題意，利用基本不等式可得結(jié)果.詳解：時，函數(shù)值恒為，函數(shù)的圖象恒過定點，又點在直線上，，又，（當且僅當時取“=”），所以，的最小值為，故選D.點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.3、C【解題分析】

利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)到最簡形式．【題目詳解】解：復(fù)數(shù)，故選：．【題目點撥】本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時除以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

分別求命題為真命題時的范圍，命題為真命題時的范圍；根據(jù)或為真命題，且為假命題，得到命題，中有一個真命題，一個假命題，分命題為真命題且命題為假命題和命題為真命題且命題為假命題兩類求出的范圍．【題目詳解】解：命題為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題為真時，解得．若或為真命題，且為假命題，故和中只有一個是真命題，一個是假命題．若為真，為假時，，無解；若為假，為真時，，解得；綜上可得，故選：．【題目點撥】本題考查根據(jù)復(fù)合命題的真假得到構(gòu)成其簡單命題的真假情況，屬于中檔題．5、A【解題分析】分析：先求展開式的通項公式，根據(jù)展開式中的系數(shù)與關(guān)系，即可求得答案.詳解：展開式的通項公式，可得展開式中含項：即展開式中含的系數(shù)為.故選A.點睛：本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，利用二項展開式的通項公式求展開式中某項的系數(shù)是解題關(guān)鍵.6、B【解題分析】

首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為fx=【題目詳解】根據(jù)題意有fx所以函數(shù)fx的最小正周期為T=且最大值為fxmax=【題目點撥】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.7、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【題目詳解】解：因為，若，則等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運算是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】拋物線的焦點為：，雙曲線的漸近線為：.點到漸近線的距離為：.故選B.9、B【解題分析】

將點P帶入求出a的值，再利用公式計算離心率?！绢}目詳解】將點P帶入得，解得所以【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解題分析】

根據(jù)題目可知，過作準線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義，結(jié)合，可得，設(shè)的傾斜角為，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，即可求出的的坐標，再利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線得離心率?！绢}目詳解】由題意知，由對稱性不妨設(shè)P點在y軸的右側(cè)，過作準線的垂線，垂足為，則根據(jù)則拋物線的定義，可得，設(shè)的傾斜角為，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，令，解得可得，又此時點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上雙曲線的實軸故答案選B。【題目點撥】本題主要考查了雙曲線與拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，在解決圓錐曲線相關(guān)問題時常用到方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想。11、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數(shù)之和為.12、B【解題分析】

運用三角函數(shù)的圖像變換，可得，再由余弦函數(shù)的對稱性，可得，計算可得所求值.【題目詳解】函數(shù)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），則可得，再把得到的圖像向左平移個單位長度，則可得，因為所得函數(shù)圖像關(guān)于對稱，所以，即，解得：，所以：故選：B【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換以及余弦函數(shù)的對稱性，屬于一般題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由不等式得，所以，等價于，解之得所求不等式的解集.【題目詳解】由不等式得，即，所以，此不等式等價于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【題目點撥】本題考查分式不等式的解法，一般的步驟是：移項、通分、分解因式、把每個因式未知數(shù)的系數(shù)化成正、轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或作簡圖數(shù)軸標根、得解集，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由模的定義求出模，列出不等式，用幾何意義解釋此不等式，問題為點到的距離不大于2，而點以原點為圓心的單位圓上，因此只要到圓心距離不大于1即可．【題目詳解】由題意，設(shè)，，則，而在圓上，∴，即，解得．故答案為：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，考查平面上兩點間的距離公式．解題關(guān)鍵是利用的幾何意義，把它轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，而其中一點又是單位圓上的動點，由點到圓上點的距離最大值為此點到圓心距離加半徑，從而問題可轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離不大于1，這樣問題易求解．15、4【解題分析】

將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標與半徑，利用點到直線的距離公式，運用勾股定理即可求出截得的弦長【題目詳解】由圓可得則圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長為故答案為【題目點撥】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長，由弦長公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運用勾股定理求出弦長16、【解題分析】設(shè)右焦點F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．點睛：本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)．有關(guān)橢圓的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,解決橢圓離心率的相關(guān)問題的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）解一元二次方程，得到，根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，即可判斷的取值。（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算、純虛數(shù)的概念、模的定義，聯(lián)立方程求得x、y的值，進而求得的值。詳解：（1）因為，所以，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，所以；（2）因為，又為純虛數(shù)，所以，有得，解得，或，；所以.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)相等、純虛數(shù)等概念和復(fù)數(shù)的混合運算，對基本的運算原理要清晰，屬于基礎(chǔ)題。18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由已知易證平面，可得，又由可得證；（Ⅱ）法一：在內(nèi)過點作于點，可證為所求線面角；法二：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用空間向量方法求解.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在內(nèi)過點作于點.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，則即為與平面所成角.設(shè)與交于點，連接，則，.又平面，平面，，在，，.∴，即與平面所成角的余弦值.法二：以點為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，設(shè)，則，解得，于是.又平面的一個法向量為，故.因此，與平面所成角的余弦值.【題目點撥】本題考查了線面垂直的證明和線面角的求法，考查了直觀想象能力和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.19、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無極小值.（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點，等價于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無極小值.（Ⅱ）當時，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，.【解題分析】

（I）由于兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.將兩點的坐標代入方程，聯(lián)立即可解得，從而得出的方程；（II）設(shè)直線與直線的斜率分別為，，利用設(shè)而不求方法證明．【題目詳解】（I）由于兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.因此，解得.故的方程為.（II）設(shè)直線與直線的斜率分別為，將代入得由題設(shè)可知.設(shè)，則.而由題設(shè)，故.即.解得.當且僅當時，，則由，得，所以過定點.【題目點撥】設(shè)而不求方法的一般思路，設(shè)出直線與圓錐曲線的的交點坐標，將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，通過韋達定理，弦長公式或斜率關(guān)系結(jié)合題意解答．21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”，即4人均不超過30分鐘。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3種情況。用相互獨立事件同時發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據(jù)分類可知隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望?！绢}目詳解】（1）記“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，則.答：求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率是（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，設(shè)“甲乙丙三人所付費用之和等于丁所付費用”為事件，則答：甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率是．（3）①若“4人均不超過30分鐘”此時隨機變量的值為25，即為事件，由（1）所以.②記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為事件和