河南省新野縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

河南省新野縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．2．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么的值為（）A． B．64 C． D．3．過點(diǎn)且與平行的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A,B兩點(diǎn),則的值是A． B． C．3 D．35．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若，則A． B． C． D．7．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足，則的值是（）A． B． C． D．9．已知集合，，則（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A．-1 B．1 C． D．11．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是__________（填上所有正確的序號）．①②③④14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________15．正方體的邊長為，P是正方體表面上任意一點(diǎn)，集合，滿足的點(diǎn)P在正方體表面覆蓋的面積為_________；16．半徑為的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的值并求函數(shù)的值域；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，則是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）設(shè)拋擲5次的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求恰好得到分的概率.19．（12分）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)的一個零點(diǎn)是．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若，求的值域．21．（12分）已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)記函數(shù)的值域?yàn)镸，若，證明：．22．（10分）遇龍塔建于明代萬歷年間，簡體磚石結(jié)構(gòu)，屹立于永州市城北瀟水東岸，為湖南省重點(diǎn)文物保護(hù)單位之一．游客乘船進(jìn)行觀光，到達(dá)瀟水河河面的處時測得塔頂在北偏東45°的方向上，然后向正北方向行駛后到達(dá)處，測得此塔頂在南偏東的方向上，仰角為，且，若塔底與河面在同一水平面上，求此塔的高度．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先由題得出函數(shù)的周期，再將變量調(diào)節(jié)到范圍內(nèi)進(jìn)行求解．【題目詳解】因?yàn)椋?，則，所以可得，即，所以函數(shù)的周期為，則，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，所以故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性，奇偶性，解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的周期，屬于一般題．2、A【解題分析】

設(shè)冪函數(shù)的解析式為∵冪函數(shù)的圖象過點(diǎn).選A3、D【解題分析】

由題意可得直線，求得圓心到直線距離，再由弦長公式即可求解【題目詳解】設(shè)直線過點(diǎn)，可得，則直線圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，圓心到直線距離，，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查用設(shè)一般方程求平行直線方程以及幾何法求圓的弦長問題4、B【解題分析】拋物線的焦點(diǎn)為,當(dāng)直線l與x軸垂直時，,所以5、B【解題分析】試題分析：采用分步計(jì)數(shù)原理來求解：分3步，每一步4種方法，不同方法種數(shù)有種考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理6、D【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由可求得.詳解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由可得選D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的概念及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)得到答案.【題目詳解】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，排除單調(diào)遞減的情況是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】

先用復(fù)數(shù)除法進(jìn)行化簡，之后求共軛復(fù)數(shù)即可.【題目詳解】因?yàn)楣剩汗势涔曹棌?fù)數(shù)為：故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

先求解絕對值不等式得到集合A，然后直接利用交集運(yùn)算可得答案?！绢}目詳解】解：因?yàn)椋裕茫约希忠驗(yàn)?，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對值不等式及交集運(yùn)算，較基礎(chǔ).10、C【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，然后利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則，可得結(jié)果.【題目詳解】，，，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意細(xì)節(jié)，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】分析：由題意可知，，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開，使之與進(jìn)行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點(diǎn)睛：本題主要考查了二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關(guān)鍵，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開求出結(jié)果12、A【解題分析】

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間，可以求出函數(shù)的定義域，再算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，最后解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蟪龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)：，；令，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題，在做題時應(yīng)該避免忽略函數(shù)的定義域而導(dǎo)致的錯誤．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解題分析】分析：為倍值函數(shù)等價于，的圖象與有兩個交點(diǎn)，且在上遞增，由此逐一判斷所給函數(shù)是否符合題意即可.詳解：為倍值函數(shù)等價于，的圖象與有兩個交點(diǎn)，且在上遞增：對于①，與，有兩個交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，①符合題意.對于②，與，有兩個交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，②符合題意.對于③，與，沒有交點(diǎn)，不存在，，值域?yàn)?，③不合題意.對于④，與兩個交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，④合題意，故答案為①②④.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.14、或【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，然后在定義域內(nèi)解不等式得減區(qū)間．【題目詳解】，由，又得．∴減區(qū)間為，答也對．故答案為或．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．15、【解題分析】

分別在六個側(cè)面上找到滿足到點(diǎn)的距離小于等于的點(diǎn)的集合，可大致分為兩類；從而確定滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，通過計(jì)算圖形面積加和得到結(jié)果.【題目詳解】在正方形、、上，滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、、覆蓋的面積：在正方形、、上，滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、、覆蓋的面積：滿足的點(diǎn)在正方體表面覆蓋的面積為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中的距離類問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過給定集合的含義，確定在正方體側(cè)面上滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，對于學(xué)生的空間想象能力有一定要求.16、【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），值域?yàn)椋?）（3）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)在圖象上，代入計(jì)算即可求解，因?yàn)?，所以，所以，可得函?shù)的值域?yàn)?；?）原方程等價于的圖象與直線有交點(diǎn)，先證明的單調(diào)性，可得到的值域，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)，，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值問題，討論函數(shù)的最大值，求解實(shí)數(shù)即可.試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，即方程有實(shí)根，即函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，令，則函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，又任取，則，所以，所以，所以，所以在R上是減函數(shù)（或由復(fù)合函數(shù)判斷為單調(diào)遞減），因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由題意知，，令，則，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以（舍去），綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）拋擲5次的得分可能為，且正面向上和反面向上的概率相等，都為，所以得分的概率為，即可得分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面．，因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有，即，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，即求得恰好得到分的概率．【題目詳解】（1）所拋5次得分的概率為，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面．因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有，即．于是是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．所以，即．恰好得到分的概率是．【題目點(diǎn)撥】此題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項(xiàng)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的題意理解能力及計(jì)算能力．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點(diǎn)在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運(yùn)用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，借助韋達(dá)定理，結(jié)合向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系，然后經(jīng)過計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值.20、(1)a=1;(2).【解題分析】

分析：（1）令即可求得結(jié)果；（2）將原解析式代入，結(jié)合二倍角公式、輔助角公式等求得，將x的范圍帶入解析式，結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求出值域.【題目詳解】：（Ⅰ）依題意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得當(dāng)即時，取得最大值2，當(dāng)即時，取得最小值-1.所以的值域是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角函數(shù)的公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.21、(1)(2)見解析【解題分析】

（1）根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，即得值域?yàn)椋僮鞑畈⒁蚴椒纸?，根?jù)各因子符號確定差的符號即得結(jié)果.【題目詳解】（1）依題意，得于是得或或解得.即不等式的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，∴.原不等式等價于.∵，∴，.