云南省曲靖市宣威市第九中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

云南省曲靖市宣威市第九中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求（）A． B． C． D．2．的展開式中，的系數(shù)為（）A．15 B．-15 C．60 D．-603．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．24．設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．若存在兩個正實數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．7．期末考試結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)預(yù)測數(shù)學(xué)成績甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.?。阂俏夷芗案?，大家都能及格.成績公布后，四人中恰有一人的預(yù)測是錯誤的，則預(yù)測錯誤的同學(xué)是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．若函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．命題的否定是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若且，則n-m的最小值為()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．211．對于一個數(shù)的三次方，我們可以分解為若干個數(shù)字的和如下所示：…，根據(jù)上述規(guī)律，的分解式中，等號右邊的所有數(shù)的個位數(shù)之和為（）A．71 B．75 C．83 D．8812．已知f(x)=2x,x<0a+log2x,x≥0A．-2 B．2 C．0 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽，則含有不合格品的概率為________.14．函數(shù)的定義域為________．15．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_________________．16．已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極值.(1)求常數(shù)的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.18．（12分）在數(shù)列中，，，其中實數(shù)．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)的結(jié)論．19．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別是，已知.(1)求；(2)若的面積為，，，求，.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.21．（12分）已知拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)若，求直線的方程.22．（10分）如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)，判斷奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【題目詳解】解：函數(shù)設(shè)，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】試題分析：依題意有，故系數(shù)為.考點(diǎn)：二項式．3、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出A的坐標(biāo)，然后求出AF的方程求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為，設(shè)A（x，y），則，故x=4，此時y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的弦長的計算，根據(jù)拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．一般和拋物線有關(guān)的小題，可以應(yīng)用結(jié)論來處理；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。4、A【解題分析】試題分析：函數(shù)定義域是，，，設(shè)，則，設(shè)，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個零點(diǎn)，則，．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的知識，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負(fù)與零點(diǎn)，又要對求導(dǎo)，得，此時再研究其分子，于是又一次求導(dǎo)，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時多次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．5、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設(shè)，則，則條件等價為，即有解，設(shè)，為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．6、D【解題分析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率．【題目詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．7、A【解題分析】分析：若甲預(yù)測正確，顯然導(dǎo)出矛盾．詳解：若甲預(yù)測正確，則乙，丙，丁都正確，乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.?。阂俏夷芗案?，大家都能及格.，即四人都及格顯然矛盾，故甲預(yù)測錯誤.故選A.點(diǎn)睛：本題考查推理與論證，根據(jù)已知分別假設(shè)得出矛盾進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．8、B【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，得到，再用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，又函數(shù)在處取得極小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等，屬于常考題型.9、A【解題分析】

根據(jù)命題“”是特稱命題，其否定為全稱命題，將“?”改為“?”，“≤“改為“＞”即可得答案【題目詳解】∵命題“”是特稱命題∴命題的否定為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化問題．這里注意全稱命題的否定為特稱命題，反過來特稱命題的否定是全稱命題．10、C【解題分析】

作出函數(shù)的圖象，由題意可得，求得，可得，，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值，即可得解．【題目詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下，，且，可得，，即為，可得，，，令，則當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增．則在處取得極小值，也為最小值，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個正奇數(shù)，因此，，故所有數(shù)的個位數(shù)之和為83.【題目詳解】觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個正奇數(shù)，所以的分解式中第一個數(shù)為，最后一個是，因此，所有數(shù)的個位數(shù)之和為83，故選C。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的歸納推理能力。12、C【解題分析】

由函數(shù)fx=2x,x<0a+log2【題目詳解】∵函數(shù)fx∴f（﹣1）＝12∴f[f（﹣1）]=f12解得：a＝0，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

含有不合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【題目詳解】質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查超幾何分布的相關(guān)計算，難度不大.14、【解題分析】分析：直接解不等式組得函數(shù)的定義域.詳解：由題得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：點(diǎn)睛：（1）本題主要考查函數(shù)定義域的求法和對數(shù)不等式的解法，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)考慮函數(shù)的定義域時，要考慮全面，不能遺漏，本題不要漏掉了15、2【解題分析】

將復(fù)數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式,取實部為0得到答案.【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計算,屬于簡單題.16、【解題分析】分析：當(dāng)時，求得；當(dāng)時，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式.詳解：當(dāng)時，，得當(dāng)時，由，得，兩式相減，，得數(shù)列是以1為首項為公比的等比數(shù)列通項公式故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查已知數(shù)列的前項和與關(guān)系，求數(shù)列的通項公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當(dāng)時，求出；（2）當(dāng)時，用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式；（3）對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確定確定函數(shù)的積分區(qū)間，被積函數(shù)，再求出原函數(shù)，利用微積分基本定理，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得結(jié)論.【題目詳解】(1)由題意知,且,即,解得.(2)如圖,由1問知.作出曲線的草圖,所求面積為陰影部分的面積.

由得曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是,和,而是上的奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.所以軸右側(cè)陰影面積與軸左側(cè)陰影面積相等.所以所求圖形的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、定積分的幾何意義以及微積分基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的一般步驟是：（1）列方程求參數(shù)；（2）檢驗方程的解的兩邊導(dǎo)函數(shù)符號是否相反.18、(1)(2)見解析【解題分析】試題分析：（1），，可歸納猜測；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明原理，當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即只需證明當(dāng)時，即可..試題解析：(1)由，及得，于是猜測:(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時結(jié)論成立，即那么，當(dāng)時，由顯然結(jié)論成立．由、知，對任何都有19、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由正弦定理得；（2）由，再由余弦訂立的得.試題解析：（1）由已知結(jié)合正弦定理得所以即，亦即因為，所以.（2）由，，得，即，又，得所以，又，∴20、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）由實數(shù)定義可知虛部為零，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）由純虛數(shù)定義可知實部為零且虛部不為零，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】（1）令，解得：或當(dāng)或時，復(fù)數(shù)是實數(shù)（2）令，解得：或又，即：且當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)和純虛數(shù)的定義；易錯點(diǎn)是在復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時，忽略的要求，造成求解錯誤.21、(Ⅰ)拋物線的方程為;(Ⅱ)直線的方程為或.【解題分析】分析：(Ⅰ)由題意可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得,結(jié)合韋達(dá)定理可得則,解得．直線的方程為或．詳解：(Ⅰ)因為橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,而拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，所以,解得，所以拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,整理得,由題意,,所以或．則.則,.則又已知,所以,解得．所以直線的方程為或．化簡得直線的方程為或．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．22、（1）見解析（2）【解