2024屆云南省曲靖市沾益縣第四中學高二數(shù)學第二學期期末預測試題含解析

2024屆云南省曲靖市沾益縣第四中學高二數(shù)學第二學期期末預測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術，即從半徑為1尺的圓內接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內接正六邊形，若向圓內隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．2．已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布，從中隨機取一件.其長度誤差落在區(qū)間內的概率為（）(附:若隨機變量服從正態(tài)分布N，則，)A． B． C． D．3．若，則，就稱A是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．4．若復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．5．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內所有直線與l異面B．α內只存在有限條直線與l共面C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內存在無數(shù)條直線與l相交6．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，為坐標原點，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．27．已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．如圖，在直角梯形中，，是的中點，若在直角梯形中投擲一點，則以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．9．如圖分別是橢圓的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在其定義域內既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．不等式的解集是（）A． B． C． D．12．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．有下列函數(shù):①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知.經計算，，，，則根據(jù)以上式子得到第個式子為______.14．在一棟6層樓房里，每個房間的門牌號均為三位數(shù)，首位代表樓層號，后兩位代表房間號，如218表示的是第2層第18號房間，現(xiàn)已知有寶箱藏在如下圖18個房間里的某一間，其中甲同學只知道樓層號，乙同學只知道房間號，不知道樓層號，現(xiàn)有以下甲乙兩人的一段對話：甲同學說：我不知道，你肯定也不知道；乙同學說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；甲同學說：我也知道了.根據(jù)上述對話，假設甲乙都能做出正確的推斷，則藏有寶箱的房間的門牌號是______.15．在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值為__________．16．若三角形內切圓半徑為r，三邊長為a,b,c，則，利用類比思想：若四面體內切球半徑為R，四個面的面積為，則四面體的體積________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，圓錐的頂點是S，底面中心為O，OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點．設圓往的高為4，異面直線AD與BC所成角為，求圓錐的體積；當圓錐的高和底面半徑是中的值時，求二面角的大?。?1．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點，在y軸上是否存在點D，使直線AD與BD關于y軸對稱？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在“陽馬”中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為“鱉臑”，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正切值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【題目詳解】由圖可知：，故選D.【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎題。2、B【解題分析】

利用原則，分別求出的值，再利用對稱性求出.【題目詳解】正態(tài)分布中，，所以，，所以，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布知識，考查利用正態(tài)分布曲線的對稱性求隨機變量在給定區(qū)間的概率.3、A【解題分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【題目詳解】根據(jù)伙伴關系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為24－1＝15.故選A.【題目點撥】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個數(shù)以及非空子集的個數(shù)，屬于基礎題.4、B【解題分析】

根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【題目詳解】因為復數(shù)是純虛數(shù),故,解得.故選：B【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎題.5、D【解題分析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【題目詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【題目點撥】本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.6、D【解題分析】

設點位于第一象限，點，并設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出，由拋物線的定義得出點的坐標，可得出點的縱坐標的值，最后得出的面積與的面積之比為的值.【題目詳解】設點位于第一象限，點，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得，，由拋物線的定義得，得，，，，可得出，，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的綜合問題，考查韋達定理在直線與拋物線綜合問題中的應用，解題的關鍵在于利用拋物線的定義以及韋達定理求點的坐標，并將三角形的面積比轉化為高之比來處理，考查運算求解能力，屬于中等題。7、C【解題分析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調性，進行綜合分析．8、C【解題分析】

根據(jù)，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形建立不等式，其幾何意義為以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分，用此部分去掉即為符合條件的的運動區(qū)域，作出面積比即可【題目詳解】由題，，，故設為最長邊長，以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形，即以原點為圓心，半徑為的圓，，故選【題目點撥】本題考查鈍角三角形的三邊關系，幾何意義轉化的能力及幾何概型9、D【解題分析】

根據(jù)等邊三角形的性質，求得A點坐標，代入橢圓方程，結合橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【題目詳解】由題意知A，把A代入橢圓(a＞b＞0)，得，∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，∴，故選D.【題目點撥】本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)在其定義域內既有極大值也有極小值，則.在有兩個不相等實根求解.【題目詳解】因為所以.因為函數(shù)在其定義域內既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個不相等實根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.11、C【解題分析】

原不等式可轉化為，等同于，解得或故選C.12、D【解題分析】

根據(jù)新定義的“一階整點函數(shù)”的要求，對于四個函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【題目詳解】對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當x∈Z時，一定有g（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數(shù)．

故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數(shù)”．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

我們分析等式左邊數(shù)的變化規(guī)律及等式兩邊數(shù)的關系，歸納推斷后，即可得到答案.【題目詳解】觀察已知中等式：，，，，…，則，故答案為：.【題目點撥】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），屬于中檔題.14、325【解題分析】

利用演繹推理分析可得．根據(jù)房間號只出現(xiàn)一次的三個房間排除一些樓層，再在剩下的房間排除篩選可得．【題目詳解】甲同學說：我不知道，你肯定也不知道；由此可以判斷甲同學的樓層號不是1，4，6，因為房間號01，15，29都只出現(xiàn)一次，假設甲知道樓層號是1樓，若乙拿到的是01，則乙同學肯定知道自己的房間，所以甲肯定不是1層，同理可得甲也不是4，6層.101107126208211219311318325408415425507518526611619629所以只有以下可能的房間：208211219311318325507518526乙同學說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；由此可知，乙同學通過甲的信息，排除了1，4，6層，在2，3，5層中，由于211，311都是11號，所以乙同學的房間號肯定不是11號，同理排除了318和518.208211219311318325507518526所以只有以下可能的房間：208219325507526最后甲同學說：我也知道了，只有可能是325，因為只有3層的房間號是唯一的.由此判斷出藏有寶箱的門牌號是325.【題目點撥】本題考查演繹推理，掌握推理的概念是解題基礎．15、【解題分析】

∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點即可．設圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數(shù)k的最大值為.16、．【解題分析】試題分析：由題意得三角形的面積可拆分成分別由三條邊為底，其內切圓半徑為高的三個小三角形的面積之和，從而可得公式，由類比思想得，四面體的體積亦可拆分成由四個面為底，其內切圓的半徑為高的四個三棱錐的體積之和，從而可得計算公式．考點：1．合情推理；2．簡單組合體的體積（多面體內切球）．【方法點晴】此題主要考查合情推理在立體幾何中的運用方面的內容，屬于中低檔題，根據(jù)題目前半段的“分割法”求三角形面積的推理模式，即以三角形的三條邊為底、其內切圓半徑為高分割成三個三角形面積之和，類似地將四面體以四個面為底面、其內切球半徑為高分割成四個三棱錐（四面體）體積之和，從而問題可得解決．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是求出的值，然后可求各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）根據(jù)的值確定中間項，利用通項公式可求.【題目詳解】解：由題意知，展開式的通項為：，且，則第五項的系數(shù)為，第三項的系數(shù)為，則有，化簡，得，解得，展開式中各項二項式系數(shù)的和；由（1）知，展開式共有7項，中間項為第4項，令，得．【題目點撥】本題主要考查二項展開式的系數(shù)及特定項求解，通項公式是求解這類問題的鑰匙，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（1）利用正弦定理邊化角可得，整理計算可得，則，.（2）由題意可得，，，則.在中應用余弦定理有，據(jù)此計算可得.試題解析：（1）因為，所以，所以，所以，.又因為，所以，又因為，且，所以.（2）據(jù)（1）求解知.若，則.所以，（舍）又在中，，所以.所以.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個平面法向量夾角的余弦值，結合圖像即可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連接，.因為四邊形是菱形且，為的中點，所以.因為平面，所以，又，所以平面，則.因為，所以.（2）以為原點建立空間直角坐標系（其中為與的交點），如圖所示，則，，，.設平面的法向量為，則，，即，令，得.設平面的法向量為，則，，即，令，得.所以，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查空間幾何元素位置關系的證明，考查二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉化分析推理能力.20、（1）；（2）.【解題分析】

建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系的數(shù)量積求出底面半徑，然后求體積．求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【題目詳解】建立如圖坐標系，設底面半徑為r，由高為得：，則，因為異面直線與所成角為，所以，解得，所以圓錐的體積．，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的