上海市徐匯中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

上海市徐匯中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意x∈R，都有成立，且當(dāng)時(shí)，(其中為的導(dǎo)數(shù)).設(shè)，則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）3．等差數(shù)列的前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．34．若過(guò)點(diǎn)可作兩條不同直線(xiàn)與曲線(xiàn)段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．命題“”的否定是（）A． B．C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．7．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A． B． C． D．8．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．， C． D．，11．已知雙曲線(xiàn)與橢圓：有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競(jìng)賽，決出了第一名到第五名的五個(gè)名次，甲、乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，組織者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從組織者的回答分析，這五個(gè)人的名次排列的不同情形種數(shù)共有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于的方程的解為_(kāi)_______14．已知函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．15．已知橢圓，，，斜率為的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)平分線(xiàn)段，則的離心率等于__________．16．條件，條件，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)、.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）若為銳角，作線(xiàn)段的中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn).證明：為定值，并求出該定值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)．（1）如果直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求的值；（2）如果，證明直線(xiàn)必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．19．（12分）從某工廠(chǎng)的一個(gè)車(chē)間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：）落在各個(gè)小組的頻數(shù)分布如下表：數(shù)據(jù)分組頻數(shù)（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在的概率；（2）求這件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布對(duì)應(yīng)的直方圖，可以認(rèn)為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布；其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，利用正態(tài)分布，求．20．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，求z.21．（12分）為了調(diào)查某社區(qū)居民每天參加健身的時(shí)間，某機(jī)構(gòu)在該社區(qū)隨機(jī)采訪(fǎng)男性、女性各50名，其中每人每天的健身時(shí)間不少于1小時(shí)稱(chēng)為“健身族”，否則稱(chēng)其為"非健身族”，調(diào)查結(jié)果如下：健身族非健身族合計(jì)男性401050女性302050合計(jì)7030100（1）若居民每人每天的平均健身時(shí)間不低于70分鐘，則稱(chēng)該社區(qū)為“健身社區(qū)”.已知被隨機(jī)采訪(fǎng)的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分時(shí)間分別是1.2小時(shí)，0.8小時(shí)，1.5小時(shí)，0.7小時(shí)，試估計(jì)該社區(qū)可否稱(chēng)為“健身社區(qū)”？（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的情況下認(rèn)為“健身族”與“性別”有關(guān)？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8405.0246.63522．（10分）三棱柱中，分別是、上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長(zhǎng).．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：由題意得：對(duì)任意x∈R，都有，即f（x）=f（2-x）成立，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x-1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．因?yàn)?1＜0＜，所以f（-1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故選B．考點(diǎn)：本題主要考查熟練函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。點(diǎn)評(píng)：中檔題，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值為非正，函數(shù)為減函數(shù)。自左向右看，函數(shù)圖象上升，函數(shù)增；函數(shù)圖象下降，函數(shù)減。2、C【解題分析】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫(huà)出直線(xiàn)，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫(huà)出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫(huà)出直線(xiàn)，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足，即，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線(xiàn)，在直線(xiàn)移動(dòng)的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.3、A【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后再次利用等差數(shù)列的性質(zhì)確定k的值即可.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：,故，則，結(jié)合題意可知：.本題選擇A選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.4、D【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，寫(xiě)出切線(xiàn)方程為，把代入，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由方程根的分布知識(shí)可求解.【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，,則切線(xiàn)方程為，在切線(xiàn)上，可得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的分布問(wèn)題。由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)取值范圍，可采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。5、B【解題分析】

根據(jù)“全稱(chēng)命題”的否定一定是“特稱(chēng)命題”判斷.【題目詳解】“全稱(chēng)命題”的否定一定是“特稱(chēng)命題”，命題“”的否定是，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的否定，還考查理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】分析:先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再求z的虛部.詳解：由題得=，故復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi.7、A【解題分析】分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設(shè)異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查異面直線(xiàn)所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.(2)異面直線(xiàn)所成的角的常見(jiàn)求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補(bǔ)形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線(xiàn)所成的角，分別是直線(xiàn)的方向向量.8、C【解題分析】

利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式即可得出．【題目詳解】x＝cos，y＝sin，可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)其性質(zhì)解不等式得到答案.【題目詳解】對(duì)任意的，都有成立構(gòu)造函數(shù)在上遞增.是偶函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.10、D【解題分析】分析：結(jié)合函數(shù)的圖象求出成立的的取值范圍，即可得到結(jié)論．詳解：結(jié)合函數(shù)的圖象可知：和時(shí)，，又由，則，令，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間，其中結(jié)合圖象，得到，進(jìn)而得到的解集是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．11、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線(xiàn)的離心率，從而得到雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的離心率為，則雙曲線(xiàn)的離心率為．設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為m，則，得，則虛半軸長(zhǎng)，雙曲線(xiàn)的方程是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查了橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是中檔題．12、D【解題分析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.詳解：先排乙，有種，再排甲，有種，最后排剩余三人，有種因此共有，選D.點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——“間接法”；（5）“在”與“不在”問(wèn)題——“分類(lèi)法”.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4或7【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，列出方程，求出的值即可.【題目詳解】解：∵，

∴或，

解得或.故答案為：4或7.【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.14、m=2或m≥3【解題分析】分析：畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求出m的范圍即可.詳解：畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖：若函數(shù)y=f（x）﹣m有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象：或.故答案為：或.點(diǎn)睛：對(duì)于“a＝f(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)y＝f(x)的值域來(lái)解決，解的個(gè)數(shù)也可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線(xiàn)y＝a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．15、【解題分析】

利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【題目詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【題目點(diǎn)撥】圓錐曲線(xiàn)中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可用點(diǎn)差法求解．16、【解題分析】

解：是的充分而不必要條件，，等價(jià)于，的解為，或，，故答案為：．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）為定值，證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用拋物線(xiàn)的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程求出的值，于此可得出拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出直線(xiàn)的方程，并得出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和的表達(dá)式，可得出，然后利用二倍角公式可計(jì)算出為定值，進(jìn)而證明題中結(jié)論成立.【題目詳解】（1）由拋物線(xiàn)的定義知，，.將點(diǎn)代入，得，得.拋物線(xiàn)的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，消去得：，則，，.設(shè)直線(xiàn)中垂線(xiàn)的方程為：，令，得：，則點(diǎn)，，.，故為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線(xiàn)的定義求拋物線(xiàn)的方程，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題，常將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算，解題時(shí)要合理假設(shè)直線(xiàn)方程，可簡(jiǎn)化計(jì)算.18、（Ⅰ）-3（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.【解題分析】

Ⅰ根據(jù)拋物線(xiàn)的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)和直線(xiàn)方程，是直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．Ⅱ設(shè)出直線(xiàn)的方程，同拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．【題目詳解】Ⅰ由題意：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為設(shè)l：代入拋物線(xiàn)消去x得，，設(shè)，則，．Ⅱ設(shè)l：代入拋物線(xiàn)，消去x得設(shè)，則，令，．直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．【題目點(diǎn)撥】從最近幾年命題來(lái)看，向量為每年必考考點(diǎn)，都是以選擇題呈現(xiàn)，從2006到現(xiàn)在幾乎各省都對(duì)向量的運(yùn)算進(jìn)行了考查，主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合最近幾年的高考題，向量同解析幾何，三角函數(shù)，立體幾何結(jié)合起來(lái)考的比較多．19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)條件得到概率為；（2）由平均數(shù)的概念得到數(shù)值；（3）結(jié)合第二問(wèn)得到的均值，以條件中所給的得到