復(fù)數(shù)四則運(yùn)算

PAGEPAGE5復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算[本周教學(xué)內(nèi)容]：復(fù)數(shù)

[重點(diǎn)]：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的一些應(yīng)用三部分。

復(fù)數(shù)的概念：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的模，輻角，共軛復(fù)數(shù)，規(guī)定了復(fù)數(shù)的加，減，乘，除運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的相等求平方根，一元二次方程求根，復(fù)數(shù)的幾何意義：點(diǎn)，向量與解析幾何的聯(lián)系。

[難點(diǎn)]：一元二次方程根的討論。

[例題講解]：

例1．m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)零。

解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i

(1)當(dāng)m=1或m=2時(shí)，Z是實(shí)數(shù)。

(2)當(dāng)m≠1且m≠2時(shí)，Z是虛數(shù)。

(3)當(dāng)

即當(dāng)時(shí)，Z是純虛數(shù)。

(4)當(dāng)

即m=2時(shí)，Z是零。

例2．已知：，求實(shí)數(shù)x。

解：

即或x≥8。

例3．計(jì)算：

解：原式=

例4．求的平方根。

解：設(shè)的平方根為x+yi(x,y∈R)，

則

由復(fù)數(shù)相等的定義得

(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25

x2+y2=5(舍去負(fù)值)(3)

(1)+(3)，x2=3,x=,

(3)-(1),y2=2,。

∵，∴或

∴的平方根為。

例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

解：|Z-(-2+2i)|=1，幾何意義：Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)集是以O(shè)＇(-2,2)為圓心，r=1的圓。

|Z|的幾何意義是⊙O＇上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；

，

∴,。

例6．說明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲線。

6．已知f(z)=1-，且z1=2+3i，z2=5-i，則的值是（）。

A、-3+4iB、3-4iC、4-4iD、4+4i7．若復(fù)數(shù)z滿足|z+3-4i|=2，則|z|的最小值和最大值分別是（）。

A、1和9B、3和7C、5和11D、4和108．(1+i)15-(1-i)15的值是（）。

A、-256iB、256iC、256D、-2569．若，則(z2-z)-1的值等于（）。

A、-2B、-1C、1D、±110．若x3-1=0有一個(gè)虛根，那么ω2n+ωn+1(n∈N)的值是（）。

A、0B、1C、3D、0或3答案與解析答案：1.D2.B3.A4.A5.D6.C7.B8.A9.B10.D

解析：略。數(shù)的由來和發(fā)展你是否看過雜技團(tuán)演出中“小狗做算術(shù)”這個(gè)節(jié)目？臺下觀眾出一道10以內(nèi)的加法題，比如“2+5”，由演員寫到黑板上。小狗看到后就會(huì)“汪汪汪……”叫7聲。臺下觀眾會(huì)報(bào)以熱烈的掌聲，對這只狗中的“數(shù)學(xué)尖子”表示由衷的贊許，并常常驚嘆和懷疑狗怎么會(huì)這么聰明？因?yàn)樵谝话闳丝磥砉肥遣粫?huì)有數(shù)量概念的。

人類是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物，最初也完全沒有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達(dá)的大腦對客觀世界的認(rèn)識已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表，捕獲了3頭，就放3塊石子?！敖Y(jié)繩記事”也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經(jīng)》中有“結(jié)繩而治”的記載。傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù)。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號。

數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的，但是記數(shù)的符號卻大不相同。

古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。

實(shí)際上，羅馬數(shù)字的符號一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個(gè)符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)：

1．重復(fù)次數(shù)：一個(gè)羅馬數(shù)字符號重復(fù)幾次，就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。

2．右加左減：一個(gè)代表大數(shù)字的符號右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一個(gè)代表大數(shù)字的符號左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。

3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。

我國古代也很重視記數(shù)符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號，不過難寫難認(rèn)，后人沒有沿用。到春秋戰(zhàn)國時(shí)期，生產(chǎn)迅速發(fā)展，適應(yīng)這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。

從算籌數(shù)碼中沒有“10”這個(gè)數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開始沒有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示為“┴╥”。數(shù)字中沒有“零”，是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯(cuò)，這或許與“零”的出現(xiàn)有關(guān)。不過多數(shù)人認(rèn)為，“0”這一數(shù)學(xué)符號的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)（·）表示零，后來逐漸變成了“0”。

說起“0”的出現(xiàn)，應(yīng)該指出，我國古代文字中，“零”字出現(xiàn)很早。不過那時(shí)它不表示“空無所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零頭”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)?！?05”恰恰讀作“一百零五”，“零”字與“0”恰好對應(yīng)，“零”也就具有了“0”的含義。

如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有“0”。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，“0”已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何人使用“0”。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。

但“0”的出現(xiàn)，誰也阻擋不住。現(xiàn)在，“0”已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號?！?”可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫，并不是說沒有氣溫；“0”是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）。

除了十進(jìn)制以外，在數(shù)學(xué)萌芽的早期，還出現(xiàn)過五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長期實(shí)際生活的應(yīng)用中，十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。

現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去，又把這一簡便易寫的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。

數(shù)的概念、數(shù)碼的寫法和十進(jìn)制的形成都是人類長期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。

隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時(shí)，5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國對分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零，通稱為算術(shù)數(shù)。自然數(shù)也稱為正整數(shù)。

隨著社會(huì)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計(jì)算起來感到方便多了。

但是，在數(shù)字的發(fā)展過程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大約2500年前的希臘，那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。他們認(rèn)為“數(shù)”是萬物的本源，支配整個(gè)自然界和人類社會(huì)。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使“數(shù)”不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動(dòng)搖。但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X，顯然，推導(dǎo)的結(jié)果是。他畫了一個(gè)邊長為1的正方形，設(shè)對角線為x，根據(jù)勾股定理，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)肯定是存在的?？伤嵌嗌伲坑衷撛鯓颖硎舅?？希帕索斯等人百思不得其解，最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見過的新數(shù)。這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚，動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心。為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌，他們規(guī)定對新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去。據(jù)說他后來被扔進(jìn)大海喂了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們后來又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率π就是最重要的一個(gè)。人們把它們稱為無理數(shù)。

有理數(shù)和無理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論達(dá)到了相當(dāng)高深和豐富的程度。這時(shí)人類的歷史已進(jìn)入19世紀(jì)。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極，數(shù)字的形式也不會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)了。但在解方程的時(shí)候常常需要開平方，如果被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號“ｉ”表示“-1”的平方根。虛數(shù)就這樣誕生了，“ｉ”成了虛數(shù)的單位。后人將實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成a+bi的形式（a、b均為實(shí)數(shù)），這就是復(fù)數(shù)。在很長一段時(shí)間里，人們在實(shí)際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量，所以虛數(shù)總讓人感到虛無縹緲。隨著科學(xué)的發(fā)展，虛數(shù)現(xiàn)在在水力學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，在掌握和會(huì)使用虛數(shù)的科學(xué)家眼中，虛數(shù)一點(diǎn)也不“虛”了。

數(shù)的概念發(fā)展到虛數(shù)和復(fù)數(shù)以后，在很長一段時(shí)間內(nèi)，連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了，數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了?？墒?843年10月16日，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了“四元數(shù)”的概念。它是由一個(gè)標(biāo)量（實(shí)數(shù)）和一個(gè)向量（其中x、y、z為實(shí)數(shù)）組成的。四元數(shù)在數(shù)論、群論、量子理論以