變量相關性與統計案例

§11.3變量的相關性與統計案例高考文數

(課標Ⅱ專用)考點一變量的相關性五年高考A組

統一命題·課標卷題組1.(2018課標全國Ⅱ,18,12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)

的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根

據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:

=-30.4+13.5t;根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:

=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.解析(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為

=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為

=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上

下,這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資

額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數據

對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性

增長趨勢,利用2010年至2016年的數據建立的線性模型

=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠.(ii)從計算結果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1

億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預

測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.方法總結利用回歸直線方程進行預測是對總體的估計,此估計值不是準確值,把自變量代入

回歸直線方程即可對因變量進行估計,但需注意自變量的取值范圍.2.(2017課標全國Ⅰ,19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每隔30min

從該生產線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的

16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得

=

xi=9.97,s=

=

≈0.212,

≈18.439,

(xi-

)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過

程的進行而系統地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統

地變大或變小);(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(

-3s,

+3s)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.(i)從這一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產過程進行檢查?(ii)在(

-3s,

+3s)之外的數據稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關系數r=

.

≈0.09.解析本題考查統計問題中的相關系數及樣本數據的均值與方差.(1)由樣本數據得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數為r=

=

≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小.(2)(i)由于

=9.97,s≈0.212,由樣本數據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(

-3s,

+3s)以外,因此需對當天的生產過程進行檢查.(ii)剔除離群值,即第13個數據,剩下數據的平均數為

×(16×9.97-9.22)=10.02,這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.

=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13個數據,剩下數據的樣本方差為

×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為

≈0.09.方法總結樣本的數字特征.(1)樣本數據的相關系數r,r=

反映樣本數據的相關程度,|r|越大,則相關性越強.(2)樣本數據的均值反映樣本數據的平均水平;樣本數據的方差反映樣本數據的穩(wěn)定性,方差越

小,數據越穩(wěn)定;樣本數據的標準差為方差的算術平方根.3.(2016課標全國Ⅲ,18,12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)

的折線圖.

(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明;(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數據:

yi=9.32,

tiyi=40.17,

=0.55,

≈2.646.參考公式:相關系數r=

,回歸方程

=

+

t中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:

=

,

=

-

.解析(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得

=4,

(ti-

)2=28,

=0.55,

(ti-

)(yi-

)=

tiyi-

yi=40.17-4×9.32=2.89,r≈

≈0.99.

(4分)因為y與t的相關系數近似為0.99,說明y與t的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬

合y與t的關系.

(6分)(2)由

=

≈1.331及(1)得

=

=

≈0.10,

=

-

=1.331-0.10×4≈0.93.所以y關于t的回歸方程為

=0.93+0.10t.

(10分)將2016年對應的t=9代入回歸方程得:

=0.93+0.10×9=1.83.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.83億噸.(12分)評析本題考查線性回歸知識,了解參考公式中每個變量的意義是求解關鍵,屬中檔題.24.(2015課標Ⅰ,19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單

位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi

(i=1,2,…,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.

(xi-

)2

(wi-

)2

(xi-

)(yi-

)

(wi-

)(yi-

)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=

,

=

wi.(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d

哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程;(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:(i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別

為

=

,

=

-

.解析(1)由散點圖可以判斷,y=c+d

適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.

(2分)(2)令w=

,先建立y關于w的線性回歸方程.由于

=

=

=68,

=

-

=563-68×6.8=100.6,所以y關于w的線性回歸方程為

=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為

=100.6+68

.

(6分)(3)(i)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值

=100.6+68

=576.6,年利潤z的預報值

=576.6×0.2-49=66.32.

(9分)(ii)根據(2)的結果知,年利潤z的預報值

=0.2(100.6+68

)-x=-x+13.6

+20.12.所以當

=

=6.8,即x=46.24時,

取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.

(12分)1.(2019課標全國Ⅰ,17,12分)某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每

位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯表:(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率;(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異?附:K2=

.

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020考點二獨立性檢驗P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析本題通過對概率與頻率的關系、統計案例中兩變量相關性檢驗考查學生的抽象概括

能力與數據處理能力,重點考查數學抽象、數據分析、數學運算的核心素養(yǎng);倡導學生關注生

活,提高數學應用意識.(1)由調查數據,男顧客中對該商場服務滿意的比率為

=0.8,因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務滿意的比率為

=0.6,因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.6.(2)K2=

≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.思路分析(1)計算頻率,通過頻率估計概率.(2)將數據代入公式計算K2,與附表中的k比較大小,

作出判斷.2.(2018課標全國Ⅲ,18,12分)某工廠為提高生產效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產

任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,

每組20人.第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任

務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高,并說明理由;(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過

m的工人數填入下面的列聯表;

超過m不超過m第一種生產方式

第二種生產方式

(3)根據(2)中的列聯表,能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異?附:K2=

,

.解析本題考查統計圖表的含義及應用、獨立性檢驗的基本思想及其應用.(1)第二種生產方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分

鐘,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種

生產方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘,用第

二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效

率更高.(iii)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二

種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,關于

莖8大致呈對稱分布;用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關

于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所

需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m=

=80.列聯表如下:

超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由于K2=

=10>6.635,所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.思路分析(1)根據莖葉圖中的數據大致集中在哪個莖,作出判斷;(2)通過莖葉圖確定數據的中位數,按要求完成2×2列聯表;(3)根據(2)中2×2列聯表,將有關數據代入公式計算得K2的值,借助臨界值表作出統計推斷.方法總結解決此類問題的步驟:(1)審清題意:弄清題意,理順條件和結論;(2)找數量關系:把圖形語言轉化為數字,找關鍵數量關系;(3)建立解決方案:找準公式,將2×2列聯表中的數值代入公式計算;(4)作出結論:依據數據,借助臨界值表作出正確判斷.解后反思獨立性檢驗問題的常見類型及解題策略:(1)已知分類變量的數據,判斷兩個分類變量的相關性,可依據數據及公式計算K2,然后作出判

斷;(2)獨立性檢驗與概率統計的綜合問題,關鍵是根據獨立性檢驗的一般步驟,作出判斷,再根據

概率統計的相關知識求解.3.(2017課標全國Ⅱ,19,12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收

獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:

(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯表,并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關;

箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據箱產量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附:

,K2=

.解析(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.因此,事件A的概率估計值為0.62.(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表:

箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=

≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.(3)箱產量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在50kg到55kg之間,

舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度

較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高,因此,可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)

殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.考點變量的相關性B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2015湖北,4,5分)已知變量x和y滿足關系y=-0.1x+1,變量y與z正相關.下列結論中正確的是

()A.x與y正相關,x與z負相關

B.x與y正相關,x與z正相關C.x與y負相關,x與z負相關

D.x與y負相關,x與z正相關答案

C由y=-0.1x+1,知x與y負相關,即y隨x的增大而減小,又y與z正相關,所以z隨y的增大而

增大,減小而減小,所以z隨x的增大而減小,x與z負相關,故選C.2.(2015重慶,17,13分)隨著我國經濟的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民

幣儲蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關于t的回歸方程

=

t+

;(2)用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲蓄存款.附:回歸方程

=

t+

中,

=

=

-

.解析(1)列表計算如下:這里n=5,

=

ti=

=3,

=

yi=

=7.2.又ltt=

-n

=55-5×32=10,lty=

tiyi-n

=120-5×3×7.2=12,從而

=

=

=1.2,

=

-

=7.2-1.2×3=3.6,故所求回歸方程為

=1.2t+3.6.(2)將t=6代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為

=1.2×6+3.6=10.8(千億元).itiyi

tiyi11515226412337921448163255102550

153655120C組

教師專用題組考點一變量的相關性1.(2014湖北,6,5分)根據如下樣本數據得到的回歸方程為

=bx+a,則

()A.a>0,b<0

B.a>0,b>0C.a<0,b<0

D.a<0,b>0x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0答案

A由題中數據知,b<0,∵

=

=

,

=

=

,∴

=

b+a,∴a=

-

b.又∵b<0,∴a>0,故選A.2.(2012課標全國,3,5分)在一組樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點

圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=

x+1上,則這組樣本數據的樣本相關系數為

()A.-1

B.0

C.

D.1答案

D所有點均在直線上,則樣本相關系數最大即為1,故選D.評析本題考查了線性回歸,掌握線性回歸系數的含義是解題關鍵,本題易錯選C.3.(2014課標Ⅱ,19,12分,0.866)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的

數據如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況,

并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

=

,

=

-

.解析(1)由所給數據計算得

=

×(1+2+3+4+5+6+7)=4,

=

×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

(ti-

)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

(ti-

)(yi-

)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

=

=

=0.5,

=

-

=4.3-0.5×4=2.3,所求回歸方程為

=0.5t+2.3.(2)由(1)知,

=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得

=0.5×9+2.3=6.8,故預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.1.(2014江西,7,5分)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系,隨

機抽查了52名中學生,得到統計數據如表1至表4,則與性別有關聯的可能性最大的變量是

()考點二獨立性檢驗答案

D

=

,令

=m,則

=82m,同理,

=m×(4×20-12×16)2=1122m,

=m×(8×24-8×12)2=962m,

=m×(14×30-6×2)2=4082m,∴

>

>

>

,則與性別有關聯的可能性最大的變量是閱讀量,故選D.2.(2014遼寧,18,12分)某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽

樣調查,調查結果如下表所示:(1)根據表中數據,問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方

面有差異”?(2)已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生,其中2名喜歡甜品,現在從這5名學生中隨

機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.附:χ2=

,

喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)將2×2列聯表中的數據代入公式計算,得χ2=

=

=

≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握認為南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有

差異.(2)從5名數學系學生中任取3人的一切可能結果所組成的基本事件空間Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),

(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中ai表示喜歡甜品的學生,i=1,2.bj表示不喜歡甜品的學生,j=1,2,3.Ω由10個基本事件組成,且這些基本事件的出現是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件,則A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,

b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7個基本事件組成的,因而P(A)=

.評析本題主要考查獨立性檢驗及古典概型,考查數據處理能力及運算求解能力.3.(2014安徽,17,12分)某高校共有學生15000人,其中男生10500人,女生4500人.為調查該校學

生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時

間的樣本數據(單位:小時).(1)應收集多少位女生的樣本數據?(2)根據這300個樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其

中樣本數據的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計該校學生每周平均體育運動

時間超過4小時的概率;(3)在樣本數據中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動

時間與性別列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性

別有關”.附:K2=

P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879

解析(1)300×

=90,所以應收集90位女生的樣本數據.(2)由頻率分布直方圖得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以該校學生每周平均體育運動時間超過4

小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知,300位學生中有300×0.75=225人的每周平均體育運動時間超過4小時,75人的每周平

均體育運動時間不超過4小時.又因為樣本數據中有210份是關于男生的,90份是關于女生的,所

以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下:每周平均體育運動時間與性別列聯表

男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯表可算得K2=

=

≈4.762>3.841.所以,有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.評析本題考查抽樣方法、用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布及獨立性檢驗等知識,同

時考查處理圖表的能力和運算能力.考點一變量的相關性三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2017重慶巴蜀中學二診,2)對兩個變量x、y進行線性回歸分析,計算得到相關系數r=-0.9962,則下列說法中正確的是

()A.x與y正相關B.x與y具有較強的線性相關關系C.x與y幾乎不具有線性相關關系D.x與y的線性相關關系還需進一步確定答案

B因為相關系數r=-0.9962,所以x與y負相關,因為|r|=0.9962,非常接近1,所以相關性很

強,故選B.2.(2019陜西西安陜師大附中等八校聯考,6)設兩個變量x和y之間具有線性相關關系,它們的相

關系數為r,y關于x的回歸直線方程為

=kx+b,則

()A.k與r的符號相同

B.b與r的符號相同C.k與r的符號相反

D.b與r的符號相反答案

A∵相關系數r為正,表示正相關,回歸直線方程上升,r為負,表示負相關,回歸直線方程

下降,∴k與r的符號相同.故選A.3.(2019黑龍江哈爾濱呼蘭一中三模,5)已知x,y的取值如表所示:如果y與x呈線性相關且線性回歸方程為

=

x+

,則

等于

()A.-

B.

C.-

D.

x234y645答案

A樣本點中心(

,

)必在回歸直線上,且

=3,

=5,代入回歸方程可得b=-

.4.(2017內蒙古百校聯盟質量監(jiān)測)已知兩個隨機變量x,y之間的相關關系如下表所示:根據上述數據得到的回歸方程為

=

x+

,則大致可以判定

()A.

>0,

>0

B.

>0,

<0C.

<0,

>0

D.

<0,

<0x-4-2124y-5-3-1-0.51答案

C由題中數據知,

>0,∵

=

=0.2,

=

=-1.7,∴-1.7=0.2

+

,∴

=-1.7-0.2

.又∵

>0,∴

<0,故選C.5.(2017黑龍江哈爾濱九中二模)為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖規(guī)律,得如

下實驗數據,計算得回歸直線方程為

=0.85x-0.25,由以上信息,得到下表中c的值為

.天數x(天)34567繁殖個數y(千個)2.5344.5c答案6解析

=

=5,

=

=

,將

代入回歸直線方程得

=0.85×5-0.25,解得c=6.6.(2019甘肅蘭州一中模擬,18)某地區(qū)某農產品近幾年的產量統計如表:(1)根據表中數據,建立關于t的線性回歸方程

=

t+

;(2)根據線性回歸方程預測2019年該地區(qū)該農產品的年產量.附:對于一組數據(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn),其回歸直線

=

t+

的斜率和截距的最小二乘估計分別為

=

,

=

-

.(參考數據:

(ti-

)(yi-

)=2.8,計算結果保留小數點后兩位)年份201220132014201520162017年份代碼t123456年產量y(萬噸)6.66.777.17.27.4解析(1)由題意可知

=

=3.5,

=

=7,

(ti-

)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,∴

=

=

=0.16,又

=

-

=7-0.16×3.5=6.44,∴y關于t的線性回歸方程為

=0.16t+6.44.(2)由(1)可得,當年份為2019年時,年份代碼t=8,此時

=0.16×8+6.44=7.72,所以,可預測2019年該地區(qū)該農產品的年產量約為7.72萬噸.1.(2017內蒙古包頭十校聯考(改編))2016年1月1日起全國統一實施全面的兩孩政策.為了解適

齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后80后作為調查對象,隨機調查了100人并對

調查結果進行統計,70后不打算生二胎的占全部調查人數的15%,80后打算生二胎的占全部被

調查人數的45%,100人中共有75人打算生二胎.根據調查數據,判斷是否有90%以上的把握認為“打算生二胎與否與年齡有關”,并說明理由.附:K2=

,其中n=a+b+c+d.考點二獨立性檢驗P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由題意得列聯表如下:K2=

=

>2.706,所以有90%以上把握認為“打算生二胎與否與年齡有關”.

打算生二胎不打算生二胎合計70后30154580后451055合計75251002.(2019吉林第三次調研測試,18)2018年11月15日,我市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動員大會,

會議向全市人民發(fā)出動員令,吹響了集結號.為了了解哪些人更關注此活動,某機構隨機抽取了

年齡在15~75歲之間(包括15,不包括75)的100人進行調查,并按年齡繪制了頻率分布直方圖如

圖所示,其分組區(qū)間為[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75).把年齡落在[15,35)和[35,7

5)內的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”,經統計“青少年人”與“中老年人”的人

數之比為2∶3.

(1)求圖中a,b的值,若以每個小區(qū)間的中點值代替該區(qū)間的平均值,估計這100人年齡的平均值

;(2)若“青少年人”中有15人關注此活動,根據已知條件完成題中的2×2列聯表,根據此統計結

果,問能否有99%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關注此活動?

關注不關注合計青少年人15

中老年人

合計5050100P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附參考公式:K2=

,n=a+b+c+d.解析(1)依題意,青少年人,中老年人的頻率分別為

,

,由10a+10×0.030=

,10b+10×0.015+20×0.005=

,得a=0.010,b=0.035,

=20×0.1+30×0.3+40×0.35+50×0.15+60×0.05+70×0.05=39.(2)由題意可知,“青少年人”共有100×

=40,“中老年人”共有100-40=60人.補全的2×2列聯表如下:

關注不關注合計青少年人152540中老年人352560合計5050100所以K2=

≈4.17<6.635,故沒有99%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關注此活動.3.(2019陜西漢中略陽天津高級中學等12校聯考,19)某市為了了解民眾對開展創(chuàng)建文明城市工

作以來的滿意度,隨機調查了40名群眾,并將他們隨機分成A,B兩組,每組20人,A組群眾給第一

階段的創(chuàng)文工作評分,B組群眾給第二階段的創(chuàng)文工作評分,根據兩組群眾的評分繪制了如圖

所示的莖葉圖.

(1)根據莖葉圖比較群眾對兩個階段的創(chuàng)文工作滿意度評分的平均值和集中程度(不要求計算

出具體值,給出結論即可);(2)完成下面的2×2列聯表,并通過計算判斷是否有99%的把握認為民眾對兩個階段創(chuàng)文工作

的滿意度存在差異?參考公式:K2=

,n=a+b+c+d.

低于70分不低于70分合計第一階段

第二階段

合計

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析(1)根據題中莖葉圖可以看出,B組群眾給第二階段創(chuàng)文工作滿意度評分的平均值高于A

組群眾給第一階段創(chuàng)文工作滿意度評分的平均值,且給分相對于A組更集中些.(2)填寫2×2列聯表如下:

低于70分不低于70分合計第一階段11920第二階段31720合計142640∴K2=

≈7.033>6.635,∴有99%的把握認為民眾對兩個階段創(chuàng)文工作的滿意度存在差異.4.(2019陜西一模,18)按照國家質量標準:某種工業(yè)產品的質量指標值落在[100,120)內,則為合

格品,否則為不合格品.某企業(yè)有甲、乙兩套設備生產這種產品,為了檢測這兩套設備的生產質

量情況,隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本對規(guī)定的質量指標值

進行檢測.下面是甲套設備的樣本頻數分布表和乙套設備的樣本頻率分布直方圖.甲套設備的樣本頻數分布表質量指標值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]頻數14192051(1)將頻率視為概率,若乙套設備生產了5000件產品,則其中合格品約有多少件?(2)填寫下面2×2列聯表,并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為這種產品的質量指標值與

甲、乙兩套設備的選擇有關;

甲套設備乙套設備合計合格品

不合格品

合計

(3)根據表和圖,對甲、乙兩套設備的優(yōu)劣進行比較.參考公式及數據:K2=

.P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)由題圖知,乙套設備生產的不合格品率約為(0.01+0.022)×5=0.16,∴乙套設備生產的5000件產品中不合格品約為5000×0.16=800(件).(2)填寫2×2列聯表如下:

甲套設備乙套設備合計合格品484290不合格品2810合計5050100將列聯表中的數據代入公式計算得K2=

=4>3.841,∴有95%的把握認為產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關.(3)由題意知,甲套設備生產的合格品的概率約為

=0.96,乙套設備生產的合格品的概率約為1-0.16=0.84,且甲套設備生產的產品的質量指標值主要集中在[105,115)之間,乙套設備生產的產品的質量

指標值與甲套設備相比較為分散,因此,可以認為甲套設備生產的合格品的概率更高,且質量指標值更穩(wěn)定,所以甲套設備優(yōu)于乙套設備.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時間:45分鐘分值:85分)一、選擇題(共5分)1.(2017甘肅蘭州一模,5)已知某種商品的廣告費支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)之間

的部分對應數據如下表:根據表中提供的數據,用最小二乘法得出x與y的線性回歸方程為

=6.5x+17.5,則表中的M值為

()A.45

B.50C.55

D.60x24568y304050M70答案

D

=

=5,

=

=38+

,將點

代入

=6.5x+17.5中,解得M=60.故D正確.二、填空題(每小題5分,共20分)2.(2018東北三省三校二模)寫出下列命題中所有真命題的序號:

.①兩個隨機變量線性相關性越強,相關系數r越接近1;②回歸直線一定經過樣本點的中心(

,

);③若線性回歸方程為

=0.2x+10,則當樣本數據中x=10時,必有相應的y=12;④回歸分析中,相關指數R2的值越大說明殘差平方和越小.答案②④解析①兩個隨機變量線性相關性越強,相關系數|r|越接近1,原命題錯誤;②回歸直線一定經過樣本點的中心(

,

),原命題正確;③若線性回歸方程為

=0.2x+10,則當樣本數據中x=10時,可以預測y=12,但是會存在誤差,原命題錯誤;④回歸分析中,相關指數R2的值越大說明殘差平方和越小,原命題正確.綜上可得,正確命題的序號為②④.3.(2018遼寧葫蘆島二模,15)下列說法:①線性回歸方程

=

x+

必過(

,

);②命題“?x≥1,x2+3≥4”的否定是“?x<1,x2+3<4”;③相關系數r的越小,表明兩個變量相關性越弱;④在一個2×2列聯表中,由計算得K2=8.079,則有99%的把握認為這兩個變量間有關系.其中正確的說法是

.(把你認為正確的結論都寫在橫線上)本題可參考獨立性檢驗臨界值表:P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828答案①④解析線性回歸方程

=

x+

必過樣本中心點(

,

),故①正確.命題“?x≥1,x2+3≥4”的否定是“?x≥1,x2+3<4”,故②錯誤.③相關系數r絕對值越小,表明兩個變量相關性越弱,當相關系數r小于0時,越小,其絕對值反而

越大,故不正確;④在一個2×2列聯表中,由計算得K2=8.079,則有99%的把握認為這兩個變量間有關系,正確.故答案為①④.4.(2018吉林長春十一高中、東北師大附中等五校聯合模擬)已知下列命題:①在線性回歸模型中,相關指數R2表示解釋變量x對于預報變量y變化的貢獻率,R2越接近于1,

表示回歸效果越好;②兩個變量相關性越強,則相關系數r的絕對值就越接近于1;③在回歸直線方程

=-0.5x+2中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量

平均減少0.5個單位;④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關系”的把握程度越大.其中正確命題的序號是

.答案①②③解析①相關指數R2表示解釋變量x對于預報變量y變化的貢獻率,R2越接近于1,表示回歸效果

越好,是正確的;②兩個變量相關性越強,則相關系數r的絕對值就越接近于1,是正確的;③在回

歸直線方程

=-0.5x+2中,當解釋變量x每增加一個單位時,預報變量

平均減少0.5個單位,是正確的;④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關系”的把握程度越

小,故原命題錯誤.故答案為①②③.5.(2017東北師大附中等三校第四次聯考)下列命題中,正確的命題為

.①回歸直線

=

x+

過樣本點中心(

,

),且至少過一個樣本點;②將一組數據的每個數據都加上一個相同的常數后,方差不變;③用相關指數R2來刻畫回歸效果,R2越接近0,說明模型的擬合效果越好;④用系統抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本,將160名學生從1~160編號,按編號順序

平均分成20組(1~8號,9~16號,…,153~160號),若第16組抽出的號碼為126,則第一組中用抽簽法

確定的號碼為6號.答案②④解析回歸直線

=

x+

恒過樣本點中心(

,

),但樣本點可能都不在回歸直線上,①錯誤;將一組數據的每個數據都加上一個相同的常數后,數據的波動性不變,故方差不變,②正確;用相關

指數R2來刻畫回歸效果,R2越接近1,說明模型的擬合效果越好,③錯誤;按系統抽樣方法,第一組

中用簡單隨機抽樣確定的號碼為126-15×8=6號,④正確.故答案為②④.三、解答題(共60分)6.(2019陜西榆林二模,18)某城市的公交公司為了方便市民出行,科學規(guī)劃車輛投放,在一個人

員密集流動地段增設一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系,

經過調查得出了如下數據:間隔時間(x分鐘)101112131415等待人數(y人)232526292831調查小組先從這六組數據中選取四組數據作線性回歸分析,然后用剩下的兩組數據進行檢驗.(1)求從這六組數據中選取四組數據后,剩下的兩組數據不相鄰的概率;(2)若先取的是后面四組數據,求y關于x的線性回歸方程

=

x+

;(3)規(guī)定根據(2)中線性回歸方程預測的數據與用剩下的兩組實際數據相差不超過1人,則所求

出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”,請判斷(2)中所求的回歸方程是不是“最佳回歸方

程”.為了使等候的乘客不超過35人,則間隔時間設置為18分鐘合適嗎?附:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線

=

x+

的斜率和截距的最小二乘估計分別為

=

=

,

=

-

.解析(1)記這六組數據分別為1,2,3,4,5,6,剩下的兩組有以下15種可能:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,

6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).其中剩下的兩組數據相鄰的有(1,2),(2,

3),(3,4),(4,5),(5,6),這5種,故P(兩組數據不相鄰)=1-

=

.(2)

=13.5,

=28.5,

=

=1.4,

=

-

=28.5-1.4×13.5=9.6,∴y關于x的線性回歸方程為

=1.4x+9.6.(3)當x=10時,

=23.6,23.6-23=0.6<1,當x=11時,

=25,25-25=0<1,故所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.由題意得1.4x+9.6≤35,解得x≤

,故間隔時間設置為18分鐘合適.7.(2019黑龍江齊齊哈爾一模,18)某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系,對該

校200名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)將學生日均體育鍛煉時間在[40,60)的學生評價為“鍛煉達標”.(1)請根據上述表格中的數據填寫下面的2×2列聯表,并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率

不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關;平均每天鍛煉的時間/分鐘[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)總人數203644504010

鍛煉不達標鍛煉達標合計男

女

20110合計

(2)在“鍛煉達標”的學生中,按男、女用分層抽樣的方法抽出5人,進行體育鍛煉體會交流,再

從這5人中選出2人作重點發(fā)言,求作重點發(fā)言的2人中,至少1人是女生的概率.參考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.臨界值表:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解析(1)填寫的2×2列聯表如下:所以K2=

=

≈6.061>5.024.所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“鍛煉達標”與性別有關.(2)“鍛煉達標”的學生有50人,男、女生人數之比為3∶2,故用分層抽樣的方法從中抽取5人,有3人是男生,記為a,b,c,有2人是女生,記為d,e,則從這5人中

選出2人,選法有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種,設事件A表示“作重點發(fā)言的2人中,至少有1人是女生”,則事件A發(fā)生的情況為ad,bd,cd,ae,be,ce,de,共7種.所以所求概率P(A)=

.

鍛煉不達標鍛煉達標合計男603090女9020110合計150502008.(2018吉林長春下學期二模)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調

研,力爭有效地改良玉米品種,為農民提供技術支援.現對已選出的一組玉米的莖高進行統計,

獲得的莖葉圖如下圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖

玉米.

(1)完成下面的2×2列聯表,并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關;(2)為了改良玉米品種,現采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選

取2株進行雜交試驗,選取的植株均為矮莖的概率是多少?參考數據:

抗倒伏易倒伏合計矮莖

高莖

合計

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析(1)2×2列聯表如下:K2=

≈7.287>6.635,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關.(2)分層抽樣后,高莖玉米有2株,設為A,B,矮莖玉米有3株,設為a,b,c,從中取出2株的取法有AB,

Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10種,其中均為矮莖的選取方式有ab,ac,bc,共3種,因此選取的植

株均為矮莖的概率是

.

抗倒伏易倒伏合計矮莖15419高莖101626合計2520459.(2018陜西質量檢測(一))隨著資本市場的強勢進入,互聯網共享單車“忽如一夜春風來”,遍

布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在A市的使用情況,某調查機構借助網絡進行了

問卷調查,并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析,得到下表(單位:人):

經常使用偶爾或不用合計30歲及以下703010030歲以上6040100合計13070200(1)根據以上數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為A市使用共享單車情況與年齡

有關?(2)現從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.①分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數;②從這5人中,再隨機選出2人贈送禮品,求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.參考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.參考數據:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解析(1)由列聯表可得,K2=

≈2.198>2.072.∴能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為A市使用共享單車情況與年齡有關.(2)①依題意可得,在每層中所抽取的比例為

=

.所以從經常使用共享單車的人中抽取60×

=3(人),從偶爾或不用共享單車的人中抽取40×

=2(人).②設這5人中,經常使用共享單車的3人分別為a,b,c;偶爾或不用共享單車的2人分別為d,e,則從

5人中選出2人的所有可能結果為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10種.選出的2人都偶爾或不使用共享單車的可能結果為(d,e),共1種.故選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率P=1-

=

.10.(2017新疆烏魯木齊三模)對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數據,我們用兩種模型:①y=bx

+a,②y=cedx擬合,得到的回歸方程分別為

=0.24x-8.81,

=1.70e0.022x,作殘差分析,如表:身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6810141518

0.410.01

1.21-0.190.41

-0.360.070.121.69-0.34-1.12(1)求表中空格內的值;(2)根據殘差比較模型①,②的擬合效果,決定選擇哪個模型;(3)殘差大于1kg的樣本點被認為是異常數據,應剔除,剔除后對(2)所選擇的模型重新建立回歸

方程.(結果保留到小數點后兩位)附:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計公式

分別為

解析(1)根據殘差分析,把x=80代入

=0.24x-8.81得

=10.39,10-10.39=-0.39,所以表中空格內的值為-0.39.(2)模型①殘差的絕對值和為0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62,模型②殘差的絕對值和為0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7,所以模型①的擬合效果比較好,選擇模型①.(3)殘差大于1kg的樣本點被剔除后,剩余的數據如下表:身高x(cm)607080100110體重y(kg)68101518

0.410.01-0.39-0.190.41

1.(2019吉林長春質量監(jiān)測(一),8)某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準,現選擇15名志愿者,對

其身高和臂展進行測量(單位:厘米),圖1為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,圖2為身高

與臂展所對應的散點圖,并求得其回歸方程為

=1.16x-30.75,以下結論中不正確的為

()

圖1C組

2017—2019年高考模擬·應用創(chuàng)新題組

圖2A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B.15名志愿者身高和臂展成正相關關系C.可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米答案

D身高的極差為18,臂展的極差為23,故A正確;很明顯根據散點圖以及回歸直線得到,身高矮臂展就會短一些,身高高一些,臂展就長一些,故B

正確;身高為190厘米,代入回歸方程可得到臂展估計值等于189.65厘米,但不是準確值,故C正確;身高相差10厘米的兩人臂展的估計值相差11.6厘米,但并不是準確值,回歸方程上的點并不都

是準確的樣本點,故說法不正確,即D錯.故選D.2.(2019陜西寶雞中學二模,18)物價監(jiān)督部門為調研某公司新開發(fā)上市的一種產品銷售價格的

合理性,對某公司的該產品的銷量與價格進行了統計分析,得到如下數據和散點圖:

定價x(元/kg)102030405060年銷量y(kg)115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9參考數據:

(xi-

)·(yi-

)=-34580,

(xi-

)·(zi-

)=-175.5,

(yi-

)2=776840,

(yi-

)·(zi-

)=3465.2.(1)根據散點圖判斷,y與x和z與x哪一對具有的線性相關性較強(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(1)的判斷結果及數據,建立y關于x的回歸方程(方程中的系數均保留兩位有效數字).附:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線

=

x+

的斜率和截距的最小二乘估計分別為

=

=

,

=

-

.解析(1)由散點圖可知,z與x具有的線性相關性較強.(2)

=

=35,

=

=11.55.

=

=-

≈-0.10,所以

=

-

=15.05≈15,所以

=

x+

=15-0.10x,又

=2ln

,故y關于x的回歸方程為

=

=

.3.(2019遼寧葫蘆島調研考試,18)黨的十八大將生態(tài)文明建設納入中國特色社會主義事業(yè)“五

位一體”總體布局,“美麗中國”成為中華民族追求的新目標