變量相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例

§11.3變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點(diǎn)一變量的相關(guān)性五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,18,12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)

的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根

據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:

=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:

=99+17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.解析(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上

下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

額的變化趨勢.2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性

增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型

=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1

億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)

測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.方法總結(jié)利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測是對(duì)總體的估計(jì),此估計(jì)值不是準(zhǔn)確值,把自變量代入

回歸直線方程即可對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì),但需注意自變量的取值范圍.2.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30min

從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的

16個(gè)零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得

=

xi=9.97,s=

=

≈0.212,

≈18.439,

(xi-

)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過

程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)

地變大或變小);(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(

-3s,

+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?(ii)在(

-3s,

+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r=

.

≈0.09.解析本題考查統(tǒng)計(jì)問題中的相關(guān)系數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的均值與方差.(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)為r=

=

≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)(i)由于

=9.97,s≈0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(

-3s,

+3s)以外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(ii)剔除離群值,即第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

×(16×9.97-9.22)=10.02,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.

=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為

≈0.09.方法總結(jié)樣本的數(shù)字特征.(1)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r,r=

反映樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,|r|越大,則相關(guān)性越強(qiáng).(2)樣本數(shù)據(jù)的均值反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平;樣本數(shù)據(jù)的方差反映樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,方差越

小,數(shù)據(jù)越穩(wěn)定;樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為方差的算術(shù)平方根.3.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,18,12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)

的折線圖.

(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):

yi=9.32,

tiyi=40.17,

=0.55,

≈2.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=

,回歸方程

=

+

t中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:

=

,

=

-

.解析(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得

=4,

(ti-

)2=28,

=0.55,

(ti-

)(yi-

)=

tiyi-

yi=40.17-4×9.32=2.89,r≈

≈0.99.

(4分)因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬

合y與t的關(guān)系.

(6分)(2)由

=

≈1.331及(1)得

=

=

≈0.10,

=

-

=1.331-0.10×4≈0.93.所以y關(guān)于t的回歸方程為

=0.93+0.10t.

(10分)將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得:

=0.93+0.10×9=1.83.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.83億噸.(12分)評(píng)析本題考查線性回歸知識(shí),了解參考公式中每個(gè)變量的意義是求解關(guān)鍵,屬中檔題.24.(2015課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單

位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi

(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(xi-

)2

(wi-

)2

(xi-

)(yi-

)

(wi-

)(yi-

)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=

,

=

wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d

哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:(i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

為

=

,

=

-

.解析(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d

適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.

(2分)(2)令w=

,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于

=

=

=68,

=

-

=563-68×6.8=100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為

=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為

=100.6+68

.

(6分)(3)(i)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值

=100.6+68

=576.6,年利潤z的預(yù)報(bào)值

=576.6×0.2-49=66.32.

(9分)(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報(bào)值

=0.2(100.6+68

)-x=-x+13.6

+20.12.所以當(dāng)

=

=6.8,即x=46.24時(shí),

取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大.

(12分)1.(2019課標(biāo)全國Ⅰ,17,12分)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每

位顧客對(duì)該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到下面列聯(lián)表:(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率;(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?附:K2=

.

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析本題通過對(duì)概率與頻率的關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例中兩變量相關(guān)性檢驗(yàn)考查學(xué)生的抽象概括

能力與數(shù)據(jù)處理能力,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng);倡導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生

活,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).(1)由調(diào)查數(shù)據(jù),男顧客中對(duì)該商場服務(wù)滿意的比率為

=0.8,因此男顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對(duì)該商場服務(wù)滿意的比率為

=0.6,因此女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6.(2)K2=

≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.思路分析(1)計(jì)算頻率,通過頻率估計(jì)概率.(2)將數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算K2,與附表中的k比較大小,

作出判斷.2.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,18,12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)

任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,

每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任

務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高,并說明理由;(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過

m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表;

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=

,

.解析本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的含義及應(yīng)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用.(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分

鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種

生產(chǎn)方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第

二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效

率更高.(iii)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二

種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于

莖8大致呈對(duì)稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)

于莖7大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所

需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m=

=80.列聯(lián)表如下:

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2=

=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.思路分析(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖,作出判斷;(2)通過莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù),按要求完成2×2列聯(lián)表;(3)根據(jù)(2)中2×2列聯(lián)表,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K2的值,借助臨界值表作出統(tǒng)計(jì)推斷.方法總結(jié)解決此類問題的步驟:(1)審清題意:弄清題意,理順條件和結(jié)論;(2)找數(shù)量關(guān)系:把圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字,找關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系;(3)建立解決方案:找準(zhǔn)公式,將2×2列聯(lián)表中的數(shù)值代入公式計(jì)算;(4)作出結(jié)論:依據(jù)數(shù)據(jù),借助臨界值表作出正確判斷.解后反思獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的常見類型及解題策略:(1)已知分類變量的數(shù)據(jù),判斷兩個(gè)分類變量的相關(guān)性,可依據(jù)數(shù)據(jù)及公式計(jì)算K2,然后作出判

斷;(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率統(tǒng)計(jì)的綜合問題,關(guān)鍵是根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟,作出判斷,再根據(jù)

概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)求解.3.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,19,12分)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收

獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:

(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計(jì)A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.附:

,K2=

.解析(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表:

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=

≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間,

舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度

較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)

殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.考點(diǎn)變量的相關(guān)性B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2015湖北,4,5分)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是

()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)

B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)

D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)答案

C由y=-0.1x+1,知x與y負(fù)相關(guān),即y隨x的增大而減小,又y與z正相關(guān),所以z隨y的增大而

增大,減小而減小,所以z隨x的增大而減小,x與z負(fù)相關(guān),故選C.2.(2015重慶,17,13分)隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民

幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程

=

t+

;(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.附:回歸方程

=

t+

中,

=

=

-

.解析(1)列表計(jì)算如下:這里n=5,

=

ti=

=3,

=

yi=

=7.2.又ltt=

-n

=55-5×32=10,lty=

tiyi-n

=120-5×3×7.2=12,從而

=

=

=1.2,

=

-

=7.2-1.2×3=3.6,故所求回歸方程為

=1.2t+3.6.(2)將t=6代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為

=1.2×6+3.6=10.8(千億元).itiyi

tiyi11515226412337921448163255102550

153655120C組

教師專用題組考點(diǎn)一變量的相關(guān)性1.(2014湖北,6,5分)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為

=bx+a,則

()A.a>0,b<0

B.a>0,b>0C.a<0,b<0

D.a<0,b>0x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0答案

A由題中數(shù)據(jù)知,b<0,∵

=

=

,

=

=

,∴

=

b+a,∴a=

-

b.又∵b<0,∴a>0,故選A.2.(2012課標(biāo)全國,3,5分)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點(diǎn)

圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=

x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為

()A.-1

B.0

C.

D.1答案

D所有點(diǎn)均在直線上,則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1,故選D.評(píng)析本題考查了線性回歸,掌握線性回歸系數(shù)的含義是解題關(guān)鍵,本題易錯(cuò)選C.3.(2014課標(biāo)Ⅱ,19,12分,0.866)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的

數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,

并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

=

,

=

-

.解析(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得

=

×(1+2+3+4+5+6+7)=4,

=

×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

(ti-

)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

(ti-

)(yi-

)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

=

=

=0.5,

=

-

=4.3-0.5×4=2.3,所求回歸方程為

=0.5t+2.3.(2)由(1)知,

=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號(hào)t=9代入(1)中的回歸方程,得

=0.5×9+2.3=6.8,故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.1.(2014江西,7,5分)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系,隨

機(jī)抽查了52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是

()考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)答案

D

=

,令

=m,則

=82m,同理,

=m×(4×20-12×16)2=1122m,

=m×(8×24-8×12)2=962m,

=m×(14×30-6×2)2=4082m,∴

>

>

>

,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量,故選D.2.(2014遼寧,18,12分)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽

樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方

面有差異”?(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨

機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.附:χ2=

,

喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得χ2=

=

=

≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有

差異.(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),

(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生,i=1,2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生,j=1,2,3.Ω由10個(gè)基本事件組成,且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件,則A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,

b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7個(gè)基本事件組成的,因而P(A)=

.評(píng)析本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及古典概型,考查數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)算求解能力.3.(2014安徽,17,12分)某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)

生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)

間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其

中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)

時(shí)間超過4小時(shí)的概率;(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)

時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性

別有關(guān)”.附:K2=

P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879

解析(1)300×

=90,所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).(2)由頻率分布直方圖得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4

小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知,300位學(xué)生中有300×0.75=225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí),75人的每周平

均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí).又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的,90份是關(guān)于女生的,所

以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下:每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表

男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2=

=

≈4.762>3.841.所以,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.評(píng)析本題考查抽樣方法、用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布及獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí),同

時(shí)考查處理圖表的能力和運(yùn)算能力.考點(diǎn)一變量的相關(guān)性三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2017重慶巴蜀中學(xué)二診,2)對(duì)兩個(gè)變量x、y進(jìn)行線性回歸分析,計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)r=-0.9962,則下列說法中正確的是

()A.x與y正相關(guān)B.x與y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系C.x與y幾乎不具有線性相關(guān)關(guān)系D.x與y的線性相關(guān)關(guān)系還需進(jìn)一步確定答案

B因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=-0.9962,所以x與y負(fù)相關(guān),因?yàn)閨r|=0.9962,非常接近1,所以相關(guān)性很

強(qiáng),故選B.2.(2019陜西西安陜師大附中等八校聯(lián)考,6)設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,它們的相

關(guān)系數(shù)為r,y關(guān)于x的回歸直線方程為

=kx+b,則

()A.k與r的符號(hào)相同

B.b與r的符號(hào)相同C.k與r的符號(hào)相反

D.b與r的符號(hào)相反答案

A∵相關(guān)系數(shù)r為正,表示正相關(guān),回歸直線方程上升,r為負(fù),表示負(fù)相關(guān),回歸直線方程

下降,∴k與r的符號(hào)相同.故選A.3.(2019黑龍江哈爾濱呼蘭一中三模,5)已知x,y的取值如表所示:如果y與x呈線性相關(guān)且線性回歸方程為

=

x+

,則

等于

()A.-

B.

C.-

D.

x234y645答案

A樣本點(diǎn)中心(

,

)必在回歸直線上,且

=3,

=5,代入回歸方程可得b=-

.4.(2017內(nèi)蒙古百校聯(lián)盟質(zhì)量監(jiān)測)已知兩個(gè)隨機(jī)變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系如下表所示:根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為

=

x+

,則大致可以判定

()A.

>0,

>0

B.

>0,

<0C.

<0,

>0

D.

<0,

<0x-4-2124y-5-3-1-0.51答案

C由題中數(shù)據(jù)知,

>0,∵

=

=0.2,

=

=-1.7,∴-1.7=0.2

+

,∴

=-1.7-0.2

.又∵

>0,∴

<0,故選C.5.(2017黑龍江哈爾濱九中二模)為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖規(guī)律,得如

下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),計(jì)算得回歸直線方程為

=0.85x-0.25,由以上信息,得到下表中c的值為

.天數(shù)x(天)34567繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè))2.5344.5c答案6解析

=

=5,

=

=

,將

代入回歸直線方程得

=0.85×5-0.25,解得c=6.6.(2019甘肅蘭州一中模擬,18)某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如表:(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于t的線性回歸方程

=

t+

;(2)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn),其回歸直線

=

t+

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

=

,

=

-

.(參考數(shù)據(jù):

(ti-

)(yi-

)=2.8,計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)年份201220132014201520162017年份代碼t123456年產(chǎn)量y(萬噸)6.66.777.17.27.4解析(1)由題意可知

=

=3.5,

=

=7,

(ti-

)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,∴

=

=

=0.16,又

=

-

=7-0.16×3.5=6.44,∴y關(guān)于t的線性回歸方程為

=0.16t+6.44.(2)由(1)可得,當(dāng)年份為2019年時(shí),年份代碼t=8,此時(shí)

=0.16×8+6.44=7.72,所以,可預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量約為7.72萬噸.1.(2017內(nèi)蒙古包頭十校聯(lián)考(改編))2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面的兩孩政策.為了解適

齡民眾對(duì)放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后80后作為調(diào)查對(duì)象,隨機(jī)調(diào)查了100人并對(duì)

調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),70后不打算生二胎的占全部調(diào)查人數(shù)的15%,80后打算生二胎的占全部被

調(diào)查人數(shù)的45%,100人中共有75人打算生二胎.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“打算生二胎與否與年齡有關(guān)”,并說明理由.附:K2=

,其中n=a+b+c+d.考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由題意得列聯(lián)表如下:K2=

=

>2.706,所以有90%以上把握認(rèn)為“打算生二胎與否與年齡有關(guān)”.

打算生二胎不打算生二胎合計(jì)70后30154580后451055合計(jì)75251002.(2019吉林第三次調(diào)研測試,18)2018年11月15日,我市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動(dòng)員大會(huì),

會(huì)議向全市人民發(fā)出動(dòng)員令,吹響了集結(jié)號(hào).為了了解哪些人更關(guān)注此活動(dòng),某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了

年齡在15~75歲之間(包括15,不包括75)的100人進(jìn)行調(diào)查,并按年齡繪制了頻率分布直方圖如

圖所示,其分組區(qū)間為[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75).把年齡落在[15,35)和[35,7

5)內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”,經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”與“中老年人”的人

數(shù)之比為2∶3.

(1)求圖中a,b的值,若以每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)值代替該區(qū)間的平均值,估計(jì)這100人年齡的平均值

;(2)若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動(dòng),根據(jù)已知條件完成題中的2×2列聯(lián)表,根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)

果,問能否有99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動(dòng)?

關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人15

中老年人

合計(jì)5050100P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附參考公式:K2=

,n=a+b+c+d.解析(1)依題意,青少年人,中老年人的頻率分別為

,

,由10a+10×0.030=

,10b+10×0.015+20×0.005=

,得a=0.010,b=0.035,

=20×0.1+30×0.3+40×0.35+50×0.15+60×0.05+70×0.05=39.(2)由題意可知,“青少年人”共有100×

=40,“中老年人”共有100-40=60人.補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下:

關(guān)注不關(guān)注合計(jì)青少年人152540中老年人352560合計(jì)5050100所以K2=

≈4.17<6.635,故沒有99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動(dòng).3.(2019陜西漢中略陽天津高級(jí)中學(xué)等12校聯(lián)考,19)某市為了了解民眾對(duì)開展創(chuàng)建文明城市工

作以來的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了40名群眾,并將他們隨機(jī)分成A,B兩組,每組20人,A組群眾給第一

階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,B組群眾給第二階段的創(chuàng)文工作評(píng)分,根據(jù)兩組群眾的評(píng)分繪制了如圖

所示的莖葉圖.

(1)根據(jù)莖葉圖比較群眾對(duì)兩個(gè)階段的創(chuàng)文工作滿意度評(píng)分的平均值和集中程度(不要求計(jì)算

出具體值,給出結(jié)論即可);(2)完成下面的2×2列聯(lián)表,并通過計(jì)算判斷是否有99%的把握認(rèn)為民眾對(duì)兩個(gè)階段創(chuàng)文工作

的滿意度存在差異?參考公式:K2=

,n=a+b+c+d.

低于70分不低于70分合計(jì)第一階段

第二階段

合計(jì)

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析(1)根據(jù)題中莖葉圖可以看出,B組群眾給第二階段創(chuàng)文工作滿意度評(píng)分的平均值高于A

組群眾給第一階段創(chuàng)文工作滿意度評(píng)分的平均值,且給分相對(duì)于A組更集中些.(2)填寫2×2列聯(lián)表如下:

低于70分不低于70分合計(jì)第一階段11920第二階段31720合計(jì)142640∴K2=

≈7.033>6.635,∴有99%的把握認(rèn)為民眾對(duì)兩個(gè)階段創(chuàng)文工作的滿意度存在差異.4.(2019陜西一模,18)按照國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在[100,120)內(nèi),則為合

格品,否則為不合格品.某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品,為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)

量情況,隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對(duì)規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值

進(jìn)行檢測.下面是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表和乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖.甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]頻數(shù)14192051(1)將頻率視為概率,若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則其中合格品約有多少件?(2)填寫下面2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與

甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān);

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品

不合格品

合計(jì)

(3)根據(jù)表和圖,對(duì)甲、乙兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.參考公式及數(shù)據(jù):K2=

.P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)由題圖知,乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為(0.01+0.022)×5=0.16,∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為5000×0.16=800(件).(2)填寫2×2列聯(lián)表如下:

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484290不合格品2810合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K2=

=4>3.841,∴有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).(3)由題意知,甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為

=0.96,乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為1-0.16=0.84,且甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在[105,115)之間,乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量

指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散,因此,可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高,且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定,所以甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時(shí)間:45分鐘分值:85分)一、選擇題(共5分)1.(2017甘肅蘭州一模,5)已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)之間

的部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法得出x與y的線性回歸方程為

=6.5x+17.5,則表中的M值為

()A.45

B.50C.55

D.60x24568y304050M70答案

D

=

=5,

=

=38+

,將點(diǎn)

代入

=6.5x+17.5中,解得M=60.故D正確.二、填空題(每小題5分,共20分)2.(2018東北三省三校二模)寫出下列命題中所有真命題的序號(hào):

.①兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)r越接近1;②回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(

,

);③若線性回歸方程為

=0.2x+10,則當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中x=10時(shí),必有相應(yīng)的y=12;④回歸分析中,相關(guān)指數(shù)R2的值越大說明殘差平方和越小.答案②④解析①兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)|r|越接近1,原命題錯(cuò)誤;②回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(

,

),原命題正確;③若線性回歸方程為

=0.2x+10,則當(dāng)樣本數(shù)據(jù)中x=10時(shí),可以預(yù)測y=12,但是會(huì)存在誤差,原命題錯(cuò)誤;④回歸分析中,相關(guān)指數(shù)R2的值越大說明殘差平方和越小,原命題正確.綜上可得,正確命題的序號(hào)為②④.3.(2018遼寧葫蘆島二模,15)下列說法:①線性回歸方程

=

x+

必過(

,

);②命題“?x≥1,x2+3≥4”的否定是“?x<1,x2+3<4”;③相關(guān)系數(shù)r的越小,表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱;④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得K2=8.079,則有99%的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量間有關(guān)系.其中正確的說法是

.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都寫在橫線上)本題可參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828答案①④解析線性回歸方程

=

x+

必過樣本中心點(diǎn)(

,

),故①正確.命題“?x≥1,x2+3≥4”的否定是“?x≥1,x2+3<4”,故②錯(cuò)誤.③相關(guān)系數(shù)r絕對(duì)值越小,表明兩個(gè)變量相關(guān)性越弱,當(dāng)相關(guān)系數(shù)r小于0時(shí),越小,其絕對(duì)值反而

越大,故不正確;④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得K2=8.079,則有99%的把握認(rèn)為這兩個(gè)變量間有關(guān)系,正確.故答案為①④.4.(2018吉林長春十一高中、東北師大附中等五校聯(lián)合模擬)已知下列命題:①在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y變化的貢獻(xiàn)率,R2越接近于1,

表示回歸效果越好;②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近于1;③在回歸直線方程

=-0.5x+2中,當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量

平均減少0.5個(gè)單位;④對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.其中正確命題的序號(hào)是

.答案①②③解析①相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y變化的貢獻(xiàn)率,R2越接近于1,表示回歸效果

越好,是正確的;②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近于1,是正確的;③在回

歸直線方程

=-0.5x+2中,當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量

平均減少0.5個(gè)單位,是正確的;④對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越

小,故原命題錯(cuò)誤.故答案為①②③.5.(2017東北師大附中等三校第四次聯(lián)考)下列命題中,正確的命題為

.①回歸直線

=

x+

過樣本點(diǎn)中心(

,

),且至少過一個(gè)樣本點(diǎn);②將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)后,方差不變;③用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越接近0,說明模型的擬合效果越好;④用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本,將160名學(xué)生從1~160編號(hào),按編號(hào)順序

平均分成20組(1~8號(hào),9~16號(hào),…,153~160號(hào)),若第16組抽出的號(hào)碼為126,則第一組中用抽簽法

確定的號(hào)碼為6號(hào).答案②④解析回歸直線

=

x+

恒過樣本點(diǎn)中心(

,

),但樣本點(diǎn)可能都不在回歸直線上,①錯(cuò)誤;將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)相同的常數(shù)后,數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變,故方差不變,②正確;用相關(guān)

指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越接近1,說明模型的擬合效果越好,③錯(cuò)誤;按系統(tǒng)抽樣方法,第一組

中用簡單隨機(jī)抽樣確定的號(hào)碼為126-15×8=6號(hào),④正確.故答案為②④.三、解答題(共60分)6.(2019陜西榆林二模,18)某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個(gè)人

員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,

經(jīng)過調(diào)查得出了如下數(shù)據(jù):間隔時(shí)間(x分鐘)101112131415等待人數(shù)(y人)232526292831調(diào)查小組先從這六組數(shù)據(jù)中選取四組數(shù)據(jù)作線性回歸分析,然后用剩下的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求從這六組數(shù)據(jù)中選取四組數(shù)據(jù)后,剩下的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率;(2)若先取的是后面四組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程

=

x+

;(3)規(guī)定根據(jù)(2)中線性回歸方程預(yù)測的數(shù)據(jù)與用剩下的兩組實(shí)際數(shù)據(jù)相差不超過1人,則所求

出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”,請(qǐng)判斷(2)中所求的回歸方程是不是“最佳回歸方

程”.為了使等候的乘客不超過35人,則間隔時(shí)間設(shè)置為18分鐘合適嗎?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線

=

x+

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

=

=

,

=

-

.解析(1)記這六組數(shù)據(jù)分別為1,2,3,4,5,6,剩下的兩組有以下15種可能:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,

6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).其中剩下的兩組數(shù)據(jù)相鄰的有(1,2),(2,

3),(3,4),(4,5),(5,6),這5種,故P(兩組數(shù)據(jù)不相鄰)=1-

=

.(2)

=13.5,

=28.5,

=

=1.4,

=

-

=28.5-1.4×13.5=9.6,∴y關(guān)于x的線性回歸方程為

=1.4x+9.6.(3)當(dāng)x=10時(shí),

=23.6,23.6-23=0.6<1,當(dāng)x=11時(shí),

=25,25-25=0<1,故所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.由題意得1.4x+9.6≤35,解得x≤

,故間隔時(shí)間設(shè)置為18分鐘合適.7.(2019黑龍江齊齊哈爾一模,18)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該

校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在[40,60)的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并通過計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率

不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān);平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)總?cè)藬?shù)203644504010

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)男

女

20110合計(jì)

(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男、女用分層抽樣的方法抽出5人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,再

從這5人中選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,求作重點(diǎn)發(fā)言的2人中,至少1人是女生的概率.參考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.臨界值表:P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解析(1)填寫的2×2列聯(lián)表如下:所以K2=

=

≈6.061>5.024.所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).(2)“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生有50人,男、女生人數(shù)之比為3∶2,故用分層抽樣的方法從中抽取5人,有3人是男生,記為a,b,c,有2人是女生,記為d,e,則從這5人中

選出2人,選法有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種,設(shè)事件A表示“作重點(diǎn)發(fā)言的2人中,至少有1人是女生”,則事件A發(fā)生的情況為ad,bd,cd,ae,be,ce,de,共7種.所以所求概率P(A)=

.

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)150502008.(2018吉林長春下學(xué)期二模)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)

研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援.現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

獲得的莖葉圖如下圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖

玉米.

(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān);(2)為了改良玉米品種,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選

取2株進(jìn)行雜交試驗(yàn),選取的植株均為矮莖的概率是多少?參考數(shù)據(jù):

抗倒伏易倒伏合計(jì)矮莖

高莖

合計(jì)

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析(1)2×2列聯(lián)表如下:K2=

≈7.287>6.635,因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).(2)分層抽樣后,高莖玉米有2株,設(shè)為A,B,矮莖玉米有3株,設(shè)為a,b,c,從中取出2株的取法有AB,

Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10種,其中均為矮莖的選取方式有ab,ac,bc,共3種,因此選取的植

株均為矮莖的概率是

.

抗倒伏易倒伏合計(jì)矮莖15419高莖101626合計(jì)2520459.(2018陜西質(zhì)量檢測(一))隨著資本市場的強(qiáng)勢進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍

布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在A市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了

問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到下表(單位:人):

經(jīng)常使用偶爾或不用合計(jì)30歲及以下703010030歲以上6040100合計(jì)13070200(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡

有關(guān)?(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.①分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);②從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.參考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解析(1)由列聯(lián)表可得,K2=

≈2.198>2.072.∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡有關(guān).(2)①依題意可得,在每層中所抽取的比例為

=

.所以從經(jīng)常使用共享單車的人中抽取60×

=3(人),從偶爾或不用共享單車的人中抽取40×

=2(人).②設(shè)這5人中,經(jīng)常使用共享單車的3人分別為a,b,c;偶爾或不用共享單車的2人分別為d,e,則從

5人中選出2人的所有可能結(jié)果為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10種.選出的2人都偶爾或不使用共享單車的可能結(jié)果為(d,e),共1種.故選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率P=1-

=

.10.(2017新疆烏魯木齊三模)對(duì)某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù),我們用兩種模型:①y=bx

+a,②y=cedx擬合,得到的回歸方程分別為

=0.24x-8.81,

=1.70e0.022x,作殘差分析,如表:身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6810141518

0.410.01

1.21-0.190.41

-0.360.070.121.69-0.34-1.12(1)求表中空格內(nèi)的值;(2)根據(jù)殘差比較模型①,②的擬合效果,決定選擇哪個(gè)模型;(3)殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),應(yīng)剔除,剔除后對(duì)(2)所選擇的模型重新建立回歸

方程.(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式

分別為

解析(1)根據(jù)殘差分析,把x=80代入

=0.24x-8.81得

=10.39,10-10.39=-0.39,所以表中空格內(nèi)的值為-0.39.(2)模型①殘差的絕對(duì)值和為0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62,模型②殘差的絕對(duì)值和為0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7,所以模型①的擬合效果比較好,選擇模型①.(3)殘差大于1kg的樣本點(diǎn)被剔除后,剩余的數(shù)據(jù)如下表:身高x(cm)607080100110體重y(kg)68101518

0.410.01-0.39-0.190.41

1.(2019吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(一),8)某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對(duì)

其身高和臂展進(jìn)行測量(單位:厘米),圖1為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,圖2為身高

與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,并求得其回歸方程為

=1.16x-30.75,以下結(jié)論中不正確的為

()

圖1C組

2017—2019年高考模擬·應(yīng)用創(chuàng)新題組

圖2A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B.15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C.可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米答案

D身高的極差為18,臂展的極差為23,故A正確;很明顯根據(jù)散點(diǎn)圖以及回歸直線得到,身高矮臂展就會(huì)短一些,身高高一些,臂展就長一些,故B

正確;身高為190厘米,代入回歸方程可得到臂展估計(jì)值等于189.65厘米,但不是準(zhǔn)確值,故C正確;身高相差10厘米的兩人臂展的估計(jì)值相差11.6厘米,但并不是準(zhǔn)確值,回歸方程上的點(diǎn)并不都

是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn),故說法不正確,即D錯(cuò).故選D.2.(2019陜西寶雞中學(xué)二模,18)物價(jià)監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價(jià)格的

合理性,對(duì)某公司的該產(chǎn)品的銷量與價(jià)格進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖:

定價(jià)x(元/kg)102030405060年銷量y(kg)115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9參考數(shù)據(jù):

(xi-

)·(yi-

)=-34580,

(xi-

)·(zi-

)=-175.5,

(yi-

)2=776840,

(yi-

)·(zi-

)=3465.2.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y與x和z與x哪一對(duì)具有的線性相關(guān)性較強(qiáng)(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字).附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線

=

x+

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

=

=

,

=

-

.解析(1)由散點(diǎn)圖可知,z與x具有的線性相關(guān)性較強(qiáng).(2)

=

=35,

=

=11.55.

=

=-

≈-0.10,所以

=

-

=15.05≈15,所以

=

x+

=15-0.10x,又

=2ln

,故y關(guān)于x的回歸方程為

=

=

.3.(2019遼寧葫蘆島調(diào)研考試,18)黨的十八大將生態(tài)文明建設(shè)納入中國特色社會(huì)主義事業(yè)“五

位一體”總體布局,“美麗中國”成為中華民族追求的新目標(biāo)