人教版九年級上冊期中壓軸題專項突破訓(xùn)練含答案

人教版九年級上冊期中壓軸題專項突破訓(xùn)練

1.已知關(guān)于x的方程/nr2-(3〃?-1)x+2，/-2=0.

(1)求證：無論，"取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù))，=--(3m-1)x+2%-2的圖象與x軸兩交點間的距離為

2時，求拋物線的解析式；

(3)在直角坐標系X。)，中，畫出(2)中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問題：當直線y=x+6

與(2)中的函數(shù)圖象只有兩個交點時，求h的取值范圍.

2.拋物線^=〃標-8mx+12小(相＞0)與x軸交于A、8兩點(4在8的左側(cè))，與y軸交于

點C,過點C作COLAC交尤軸于點。，且點。的坐標為(-6,0).

(1)求”?的值.

(2)拋物線的對稱軸上是否存在點E,使得△E4C的周長最??？若存在，求出E的坐標.

(3)若點尸是x軸上一個動點，過P點作射線尸?！ˋC交拋物線于點。，在拋物線上是

否存在這樣的點。，使以4、P、0、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點

Q的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在邊長為2的正方形A8CQ中，P為AB的中點，。為邊CQ上一動點，設(shè)。。=

f(0W/W2),線段PQ的垂直平分線分別交邊A。、BC于點M、N,過。作。于

點E,過M作MFLBC于點F.

(1)當時，求證：4PEQWANFM；

(2)順次連接P、M、Q、N,設(shè)四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量/之間的函

4.如圖，拋物線y=-x2-2x+3與x軸相交于48兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交

于點C,點。為該拋物線的頂點.

(1)如圖1,點P是直線AC上方的拋物線上一動點，過點P作PE〃y軸，交直線AC

于點E.當線段PE長取得最大值時，在直線AC上找一點Q,使得△PQZ)周長最小，求

出這個最小周長；

(2)把拋物線沿直線AC平移，拋物線上兩點A、。平移后的對應(yīng)點分別是A'、D',

在平面內(nèi)是否存在一點M,使得以點A'、￡>'、M、8為頂點的四邊形為菱形？若存在,

直接寫出W點的坐標；若不存在，請說明理由.

5.已知等腰Rt^ABC和等腰RtZXEDF,其中。、G分別為斜邊A8、EF的中點，連CE,

又M為8C中點，N為C￡的中點，連MN、MG

(1)如圖1,當QE恰好過M點時，求證：NNMG=45°,且MG=

(2)如圖2,當?shù)妊@。點旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)時，第(1)問中的結(jié)論是否仍成

立，并證明；

(3)如圖3,連8F,已知P為8F的中點，連CF與尸M若CF=6,直接寫出里=.

CF

圖1圖2圖3

6.已知二次函數(shù)y=-/+(帆-2)x+3(加+1)與x軸交于AB兩點(A在B左側(cè))，與y

軸正半軸交于點C.

(1)當mw-4時，說明這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

(2)若OA?OB=6,求點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上找一點P,使S△網(wǎng)c的面積為15,求尸

點的坐標.

7.如圖，拋物線y=-y+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱

軸交x軸于點。，已知A(-l,0),C(0,2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCO是以CD為腰的等腰三角形？如果存

在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E

運動到什么位置時，△C8F的面積最大？請求出ACBF的最大面積及此時E點的坐標.

8.如圖①，△ABC,△(?￡>￡：都是等邊三角形.

(1)寫出AE與BO的大小關(guān)系；

(2)若把△C0E繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，上述(1)的結(jié)論仍成立嗎？請說

明理由.

(3)ZVIBC的邊長為5,△(7￡>￡的邊長為2,把△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周后回到

圖①位置，求出線段AE長的最大值和最小值.

9.如圖，ZVIBC中，NC=90°,BC=6cm,AC=Scm,點P從點4開始沿AC向點C以

2厘米/秒的速度運動；與此同時，點。從點C開始沿CB邊向點8以1厘米/秒的速度運

動；如果P、。分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.

(1)經(jīng)過幾秒，的面積等于3a〃2?

(2)在整個運動過程中，是否存在某一時刻f,使P。恰好平分△ABC的面積？若存在,

求出運動時間，；若不存在，請說明理由.

(3)是否存在某一時刻，PQ長為技，如果存在，求出運動時間八

10.如圖①，已知點。在線段A8上，在△ABC和△?￡)￡：中，AB=BC,AD=DE,ZABC

=ZADE=90°,M為EC的中點.

(1)連接。M并延長交8c于N,求證：CN=AD；

(2)直接寫出線段8M與0M的關(guān)系：；

(3)將△AOE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E在線段C4的延長線上(如圖②所示位置)，

則(2)中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

11.探究：如圖1和圖2,四邊形ABCD中，已知AB=4。，/BA￡>=90°,點E、尸分別

在BC、CQ上，NEAF=45°.

(1)①如圖1,若NB、NAOC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△AZ5G,

使AB與4。重合，直接寫出線段BE、。尸和EF之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2,若NB、NO都不是直角，則當NB與ND滿足關(guān)系時，線段BE、DF

和EF之間依然有①中的結(jié)論存在，請你寫出該結(jié)論的證明過程；

(2)拓展：如圖3,在△4BC中，NBAC=90°,AB=AC=2&,點。、E均在邊BC

軸交于點C(0,-8).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線BC下方拋物線上的一點，當△BCF的面積最大時，求出點F的坐標；

(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點。(0,〃?)，使得△BFQ為等腰三角形？如

果有，請直接寫出點。的坐標；如果沒有，請說明理由.

13.如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-

W+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C.

(1)求從c的值；

(2)如圖1,點。為AC的中點，點E在線段上，且BE=2ED,連接CE并延長交

拋物線于點求點用的坐標；

(3)將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后交＞■軸于點G,連接CG,如圖2,P

為AACG內(nèi)一點，連接PA,PC、PG,分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR,

等邊△AG。，連接QR

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當B4+PC+PG取得最小值時點P的坐標.

14.若點P為△48C所在平面上一點，且乙428=/827=/€7?4=120°,則點P叫做△

ABC的費馬點.當三角形的最大角小于120°時，可以證明費馬點就是“到三角形的三

個頂點的距離之和最小的點即用+P8+PC最小.

(1)如圖1,向aABC外作等邊三角形△AB。，△AEC.連接BE,DC相交于點尸，連

接AP.

①證明：點P就是AABC費馬點；

②證明：PA+PB+PC=BE=DC；

(2)如圖2,在△MNG中，MN=4&ZM=75°，MG=3.點。是△MNG內(nèi)一點，

則點0到△MNG三個頂點的距離和的最小值是.

AE,連接OC,點、M,P,N分別為￡>E,DC,BC的中點.

(1)觀察猜想：圖1中，線段與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MMBD,CE,

判斷△PA/N的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=4,AB=10,請直接寫出

△PMN面積的最大值.

16.如圖，已知頂點為C(0,-3)的拋物線?！眣=ax2+b與無軸交于A,B兩點,

直線L：y=x+m過頂點C和點B.

(1)求拋物線￡)i：y=ax1+b(〃W0)的解析式；

⑵點。(0,1-),在x軸上任取一點。(x,0),連接DQ,作線段。。的垂直平分線

h，過點。作x軸的垂線，記/2,/2的交點為P(x,y),在x軸上多次改變點。的位置,

相應(yīng)的點P也在坐標系中形成了曲線路徑寫出點P(x,y)的路徑。2所滿足的關(guān)

系式(即x,y所滿足的關(guān)系式)，能否通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)變換，由拋物線得到

曲線。2?請說明理由.

(3)拋物線Q1上是否存在點M,使得NMCB=15°?若存在，求出點M的坐標：若不

存在，請說明理由.

17.拋物線y=7+bx+c過點A(4,5)、C(0,-3),其頂點為8.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P在拋物線上，若Nft4P=45°,求P點坐標.

(3)過A作x軸的垂線，垂足為”，過。(0,3)作直線，交拋物線于E、F,若E、F

到AH的距離之和為7,求直線EF的解析式.

18.如圖1,已知拋物線丫:加+覬㈠(4#0)與x軸交于點A(1,0)和點8(-3,0),

與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使△CMP為等腰

三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,若點E為第二象限拋物線上一動點，連接3E、CE,求四邊形80CE面積

的最大值，并求此時E點的坐標.

參考答案

1.解：(1)分兩種情況討論.

①當初=0時，方程為x-2=0,x=2.

???加=0時，方程有實數(shù)根.

②當加W0時，則一元二次方程的根的判別式

△=[-(3/77-1)]2-4/77(2/71-2)

=z9m2~677?+1-8〃P+8m=病+2^+1

=(m+1)2》0,

???/力W0時，方程有實數(shù)根.

故無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根.

綜合①②可知，歷取任何實數(shù)，方程如2-(3機-1)x+2m-2=0恒有實數(shù)根;

(2)設(shè)xi,X2為拋物線y=m/-(3〃?-1)x+2m-2與x軸交點的橫坐標,

貝！J川+彳2=囪d-,川12=空2.

mm

由田一搟尸'(X]+X2)2—4X]X2

—，9m26m+]81n28m

m

由|XI-X2|=2,得I匹旦|=2,

m

??.空支=2或匹包=-2.

mm

*.m=1或m--

3

???所求拋物線的解析式為)，1=/-2x,

y2=-—(x-2)(x-4).

（3）其圖象如右圖所示:

在（2）的條件下y=x+6與拋物線yi,”組成的圖象只有兩個交點，結(jié)合圖象求b的取

值范圍.

2

\=X-2X

y=x+b

當yi=y時，得/-3x-b=0,有△=9+46=0得6=一9.

4

(一12皿名

同理Iy2~3x2x3,A=9-4(8+36)=0,得6=-空

,y=x+b12

觀察圖象可知，

當，〈一旦或心-23時直線產(chǎn)x+b與(2)中的圖象只有兩個交點;

412

y1=x"-2x

由｛1>

y9=-—(,x-2)(x-4)

當yi=y2時，有x=2或x=l.

當x—1時，y=-1.

所以過兩拋物線交點（1,-1）,（2,0）的直線為y=x-2.

綜上所述可知：b<--HKh>-—sith=-2H'f,直線）=/匕與（2）中圖象只有兩個

412

交點.

2.解：(1)y—iwr-?)mx+\2m,令x=0,則y=12，〃，令y=0,則x=2或6,

故點A、B、C的坐標分別為：（2,0）、（6,0）、（0,12m）,

故。4=2,08=6,OC=]2m,

AZDCO+ZACO=90°,而NACO+NCAO=90°,

.?.NCAO=N￡>COW12m=6,解得：加=+返(舍去負值)，

_212m-6

故機=1?；

6

(2)由(1)知，〃?=”■,則拋物線的表達式為y=返?一型設(shè)+2?,

663

則函數(shù)的對稱性為x=4,

作點C關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點C'(8,2?),連接A、C'交函數(shù)的對稱軸于點￡

則點E為所求點，

點C、C關(guān)于函數(shù)的對稱軸對稱，則CE=C'E,

△E4C的周長=AC+AE+EC=AC+AE+C'E=AC+AC'為最小值,

0=2k+b

{2V3=8k+b

故直線AC'

當x—4時,

故點E(4,

(3)存在，理由：

當以A、P、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，

則PQ〃OC且PQ=￡>C,則點。的縱坐標的絕對值等OC,即|)0|=枚。|=2?,

則尸返/-3氏+2代=±2百，

63

解得：x=8(不合題意的值已舍去),

故點。的坐標為(8,2M).

3.(1)證明：?..四邊形ABCD是正方形，

.*.NA=NB=N￡)=90°,AD=AB,

VQE1AB,MFLBC,

；.NAEQ=NMFB=90°,

...四邊形A8FM、AEQO都是矩形，

：.MF=AB,QE=AD,MF1QE,

又；PQLMN,

.?.Zl+Z￡QP=90°,Z2+ZFMN=90°,

；N1=N2,

:"EQP=/FMN,

又,：NQEP=NMFN=90°,

:.APEQ烏ANFM；

(2)解：分為兩種情況：①當E在AP上時，

;點P是邊A8的中點，AB=2,DQ^AE^t,

：.PA=l,PE=1-t,QE=2,

由勾股定理，得尸Q=

LPEQ冬ANFM,

???MN=PQ=4(i_t)2+4,

又?：PQLMN,

???S=/pQ】N=/Kl-t)2+4]=1/2-吟

：0WtW2,

**?當t—1時，S最小值=2.

②當上在3P上時，

??,點P是邊A5的中點，AB=2,DQ=AE=t,

：.PA=\,PE=t-T,QE=2,

由勾股定理，得尸Q=YQE2+pE2={(t-l)2+4,

,?APEQqANFM,

:.MN=PQ=d（t-l）2+4,

又〈PQLMN,

AS=yPQ-MN=yt0-1）2+4]=l?-/+1,

10WW2,

?*?當t=1時，S最小值=2.

綜上：5=工尸-什旦，S的最小值為2.

22

AEPB

4.解：(1)拋物線y=-7-2r+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點8的左側(cè))，與y軸

交于點C,點。為該拋物線的頂點，

則點A、B、C、。的坐標分別為：(-3,0)、(1,0)、(0,3)、(-1,4)；

由點A、C的坐標得直線AC的表達式為：y=x+3,

設(shè)點P(x,-，-匕+3),則點E(x,x+3),

貝I」PE=(-x2-2x+3)-(x+3)=-/-3x,

當x=-3時，PE最大,此時點尸(-3,型)，

224

作點P關(guān)于直線4c的對稱點P',連接PP'交AC于點。，則點。為所求,

直線AC的傾斜角為45°,貝IJEP〃x軸，點￡(-3,3),則點P(3,3),

2242

△PQO周長最小值=PZHP'￡>=2/5.1/149.

(2)設(shè)點M(a,b),而點A(-3,0)、點O(-1,4),點8(1,0),

設(shè)拋物線向右平移了m個單位，則向上平移了，"個單位，

則點A'、D'的坐標分別為：(-3+川，團)、(-\+m,4+/n)；

①當A'D'是邊時，

點A'向右平移2個單位、向上平移4個單位得到￡>',

則點5(M)向右平移2個單位、向上平移4個單位得到M(S),

即1±2=”，0±4=/?.

故點M的坐標為：(3,4)或(-1,-4)；

②當A'D'是對角線時，

則由中點公式得：-4+2/n=a+l,4+2祖=6且A'B=BD',

即(機-4)~+m2=(m-2)2+(/M+4)2,解得：機=-2>,

3

故點M(-1L,更L)；

33

綜上，點M的坐標為：(3,4)或(-1,-4)或(-工L—).

33

5.解：(1)連接CF、NG,如圖，

...￡>、C、G三點共線，

：.CE=CF,DE±BC,

是直角三角形CME斜邊上的中線，

:.MN=LCE,

2

又；NG是三角形CEF的中位線，

：.NG^CF,

2

：.NG=NMi

；.A/CGE四點共圓，又NMEG=45°,

:.NMNG=93即三角形MNG為等腰直角三角形，

/.ZNMG=NNGM=45,MG=-/2MN.

(2)連接CF,CD,BE,NG,如圖，

「△ABC是等腰直角三角形，CO是底邊中線，

J.CDLAB,ZADC=90°,又NEDF=90°,NBDE=NCDF,

rBD=CD

在△BOE和中，，NBDE=/CDF，

DE=DF

△BDEm△CDF(SAS),

：.BE=CF,NBED=NDFC,

?在△CBE中，MN是中線，

:"MNC=/BEC,MN=%E,

2

延長EC交。F于P,

?.?在△ECF中，GN是中線，

:.GN=LCF,ZCNG=ZPCF,

2

ZMNC+ZCNG=ZBEC+NPCF,

=(ZBED+ZDEP)+(ZDPE-NPFC),

=NDFC+NDEP+NDPE-ZDFC,

=NDEP+NDPE,

；RtZ\E￡＞尸中，ZEDF=90°,

：.ZDEP+ZDPE=180°-90°=90°,

；.NMNG=90°,

是直角三角形，

又；BE=CF,

:.MN=NG,

...△MNG是等腰直角三角形，

:.NNMG=NNGM=45°,MG=V5WN；

⑶咨

圖2

圖1

6.解：⑴；心-4,

；.△=(w-2)2-4X(-1)X3(m+1)=(m+4)2>0,

.?.當加工-4時，說明這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

(2)令>,=-f+(,77-2)x+3(m+1)=0,

解得xi=n?+l,X2=-3,

?.,二次函數(shù)y=-?+Cm-2)x+3(m+1)與x軸交于AB兩點(A在B左側(cè))，與y軸正

半軸交于點C,

AA(-3,0),B(777+1,0),m+l>0,

：OA?OB=6,

???3(機+1)=6,

解得m=\f

工二次函數(shù)》="x2-x+6,

當％=0時，y=6,

...點C的坐標為(0,6)；

(3)設(shè)P點的坐標為(a,-a1-a+6),

P在y軸左邊，則

A(3-a)(/+“-6)+AX3X6-工(-a)Ca2+a-6+6)=15,

222

解得“=-5,a=2(舍去).

P在y軸右邊，則

—(a+a+3)X6+—(a+3)(cr+a~6)~(J+a-6+6)—15,

222

解得。=-5(舍去)，a=2(舍去).

故P點的坐標為(-5,-14).

7.解：

(1)VA(-1,0),C(0,2)在拋物線y=y+6x+c上，

'1(3

.I~b+C=°,解得b/

,c=2c=2

二拋物線解析式為y=-^X2+^X+2；

(2)Vy=-上/+當+2=-A(x-旦)2十絲

22228

拋物線對稱軸為直線x=3,

2

：.D(旦，0),且C(0,2),

2

?.?點P在對稱軸上，

可設(shè)P（&,?）,

2

???POWPC=Jcf）2+（52）2,

當?。=。？時，則有|力=5,解得/=±$,此時尸點坐標為（3,5）或（3,-5）；

222222

當PC=C。時，則有｛（_1_）2+（52）2=_|_,解得-0（與。重合，舍去）或尸4,此

時P點坐標為（&,4）；

2

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為（3,$）或（S,-$）或（3,4）；

22222

(3)當y=0時，即-■^-，+*+2=0,解得x=-1或x=4,

(-1,0),B(4,0),

?.直線BC解析式為y=-*+2,

.?點E是線段BC上的一個動點,

,.可設(shè)E(/H,--l-m+2),則F(m,--m~+—m+2),

222

\EF---n?'+—m+2-(-—m+2)=-—nt^+2m=-A(m-2)2+2,

22222

*.S^CBF=—X4,EF=2[=-—(nz-2)2+2J=-(nz-2)2+4,

22

.*-l<0,

?.當機=2時，SACBF有最大值，最大值為4,

此時-工+2=1,

2

：.E（2,1）,即E為的中點,

.?.當E運動到8c的中點時，△CBF的面積最大,最大面積為4,此時E點坐標為（2,

1).

8.解：(1)AE=BD,理由：

'：/\ABC,△(?￡>￡都是等邊三角形，

；.AC=BC,CE=CD,ZACB^ZDCE=6QQ,

AAACE^ABCD(SAS),

:.AE=BD；

(2)AE=BD,理由：

V/\ABC,△(?￡>￡都是等邊三角形，

：.AC^BC,CE=CD,ZACB^ZDCE=60°,

ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE,

：.NACE=NBCD,

：.^ACE^/\BCD(SAS),

：.AE=BD-,

(3);△ABC的邊長為5,△(?￡)￡的邊長為2,

：.AC=5,CE=2,

在△ACE中，AC+CE>AE,

，當點E在AC的延長線上時，AE達到最大，最大值為AE=4C+CE=5+2=7,

在△ACE中，AC-CE<AE,當點E在線段AC上時，AE達至lj最小AE=AC-CE=5

-2=3,

即：線段AE長的最大值為7,最小值3.

9.解：(1)設(shè)經(jīng)過x秒，ACP。的面積等于3。加2,

由題意得，—JC(8-2x)=3,

2

化簡得/-4x+3=0,

解得xi=l,X2—3,

答：經(jīng)過1秒或3秒，△CP。的面積等于3CTK2?

(2)設(shè)存在某一時刻f,使PQ恰好平分△ABC的面積，

則L(8-2。=AXAX6X8,

222

化簡得，?-4r+12=0,

/-4ac=16-48=-32<0,

故方程無實數(shù)根，即不存在滿足條件的n

(3)由題意得，(8-2/)2+r=W29)

整理得，5戶-32*35=0,

解得，“=5(不合題意，舍去)，2=1.4,

答：運動時間為1.4秒時，P。長為倔.

10.(1)解：CN=AD,理由如下：如圖①,

圖①

"：AB=BC,AD=DE,ZABC=ZADE=90°,

：.ZEAD^ZAED^45°,NBAC=NBCA=45°,

為EC的中點，

:.EM=CM,

；NED4=NA8C=90°,

J.DE//BC,

:.NDEM=NMCB,

在和△CMN中，

，ZDEM=ZNCM

<EM=CM，

ZEMD=ZCMN

:.4EMg/\CMN(ASA),

：.CN=DE,

"：AD=DE,

:.CN=AD；

(2)BM1.DM,BM=DM,

理由如下：由(1)得：AEMD公4CMN,

：.CN=AD,DM=MN,

"：BA=BC,

:.BD=BN,

...△O8N是等腰直角三角形，且B仍是底邊的中線,

：.BM±DM,BM=DM；

故答案為：BMVDM,

(3)BMLDM,BM=DM仍然成立,

理由如下：

如圖2,作CN〃OE交。M的延長線于N,連接BN,

在△EMZ)與△CMN中，

，ZDME=ZNMC

<EM=CM，

,ZE=ZMCN

：.AEMD部ACMN(ASA),

：.CN=DE=DA,MN=MD,

又；/￡)AB=180°-ZDAE-ZBAC=90°,

/BCN=NBCM+NNCM=45°+45°=90°,

：.ZDAB=ZBCN,

在△OBA和△NBC中，

'DA=CN

-ZDAB=ZBCN-

BA=BC

:./\DBA學(xué)/\NBC(SAS),

:.NDBA=/NBC,DB=BN,

：.ZDBN=ZABC=90°,

...△OBN是等腰直角三角形，且8仞是底邊的中線，

：.BM±DM,BM=DM.

11.解：(1)①如圖1,

?.?把AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△4OG,使AB與AO重合,

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,/B=N4DG=90°,

VZADC=90°,

：.ZADC+ZADG=90Q

尸、D、G共線,

,:NBAD=90°,NEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°，

即NEAF=NGAF=45°,

在△EAF和△GAF中，

，AF=AF

:ZEAF=ZGAF

,AE=AG

：.AEAF^/\GAF(SAS),

：.EF=GF,

,;BE=DG,

：.EF=GF=DF+DG=BE+DF-,

②解：ZB+ZD=180°,

理由是：

如圖2,把AABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△4OG,使AB和A。重合,

則AE=AG,NB=NADG,NBAE=NDAG,

VZB+ZADC=180°,

.?.NAZ)C+NAOG=180°,

；.C、D、G在一條直線上，

與①同理得，ZEAF=ZGAF=45a,

在△E4F和△GAF中

'AF=AF

<ZEAF=ZGAF

AE=AG

:.△EAFgXGNF(SAS),

:.EF=GF,

；BE=DG,

；.EF=GF=BE+DF；

故答案為：ZB+ZD=180°；

(2)解：:△ABC中，AB=AC=2&,ZBAC=90°,

，/ABC=NC=45°,

由勾股定理得：BC=JAB?+AC2=4,

如圖3,把AAEC繞4點旋轉(zhuǎn)到△AFB,使A8和AC重合，連接OF.

則AF=AE,/FBA=NC=45°,ZBAF^ZCAE,

'：ZDAE=45°,

AZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ABAC-ZDAE=90°-45°=45°,

：.ZFAD=ZDAE=45°,

在△砌。和△"￡)中

'AD=AD

-ZFAD=ZEAD

,AF=AE

：.^FAD^/\EAD(SAS),

：.DF=DE,

設(shè)DE=x,則DF^x,

；BC=4,

：.BF=CE=4-1-x=3-x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

:.NFBD=90°,

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2,

/=(3-x)2+l2,

解得：x=2

3

12.解：(1)將A(2,0),B(-8,0)C(0,-8)代入函數(shù)yuaf+Av+c,

4a+2b+c=0

得，,64a-8b+c=0,

=

L0a+0b+c~8

f」

a=7

解得‘b=3,

,c=-8

.?.拋物線解析式為>=*2+3*.8.

（2）如圖1中，作尸N〃y軸交8c于M

將B（-8,0）代入）=區(qū)-8,

得，k--1,

".yBC=-x-8,

設(shè)尸（w,—trr+3m-8）,則N（MI,-機-8）,

2

S&FBC=S&FNB+S&FNC

=AF2VX8

2

=4FN

=4[（-m-8）-（L?+3，"-8）]

2

=-2m-16/H

=-2（m+4）2+32,

...當〃?=-4時，的面積有最大值，

此時F（-4,-12）,

...點尸的坐標是尸（-4,-12）；

（3）存在點。（0,巾），使得aBF。為等腰三角形，理由如下:

①如圖2-1,當時，

由題意可列,82W=（8-4）2+122,

解得，nn=4迷，,“2=-4代，

：.Q\（0,4遙），Q1（0,-4遙）；

②如圖2-2,當QB=Q尸時,

由題意可列，82+/n2=(/n+12)2+42,

解題，擾=-4,

.?.03(0,-4)；

③如圖2-3,當FB=F。時，

由題意可列,(8-4)2+12?=(zn+12)2+42,

解得，〃“=0,m2—-24,

：.Q4(0,0),。5(0,-24)；

設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b,

將2(-8,0),F(-4,-12)代入，

得j8k+b=°,

I-4k+b=T2

解得，k--3,b--24,

??yBF=-3x-24,

當x=0時，y=-24,

.?.點8,F,。重合，故。5舍去，

圖1圖2-1圖2-2

13.解：(1)?一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

(-3,0),B(0,3),

拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點、,

.?.卜畤解得(b=-2,

I-9_3b+c=0(c=3

??h---2,c^3.

(2),對于拋物線y=-f-2r+3,令y=0,則-7-2x+3=0,解得x=-3或1,

...點C坐標(1,0),

"：AD=DC=2,

...點。坐標(-1,0),

,:BE=2ED,

.??點E坐標(-2,1),

3

,(3

'2rk=-T-

設(shè)直線?！隇檠?"+4把E、C代入得到?3解得J§，

,k+b=0b)

二直線。后為），=-3x+3,

55

二點何坐標（-」Z,旦）.

525

（3）①:△AG。，是等邊三角形,

：.AP=AR,AQ=AG,ZQAC=ZRAP=60°,

：.ZQAR^ZGAP,

在△QAR和AGA尸中，

，AQ=AG

<NQAR=NGAP，

AR=AP

：.AQAR^/\GAP,

：.QR=PG.

②如圖3中，；PA+PG+PC=QR+PR+PC=QC,

:.當Q、R、P、C共線時,朋+PG+PC最小，

作QALLOA于N,AM±QC于M,PKLOA于K.

；NGAO=60°,40=3,

：.AG=QG=AQ=6,NAGO=30°,

ZQGA=60°,

：.ZQGO=90°,

...點。坐標（-6,3a），

在RT4QCN中,QN=3E，CN=1,NQNC=9G°,

1'?"={QN2+NC2=271^,

19

???△APR是等邊三角形，

ZAPM=60Q,°；PM=PR,

：.AP=12^,PM=RM=^^-

1919

MC^VAC2-AM2=14^>

：.PC=CM-,

19

..PK=CP_CK

'ONCQCN"

CK=里,PK=12^,

1919

：.0K=CK-C0=2,

19

.?.點P坐標（-且，也!?）.

1919_

...鞏+PC+PG的最小值為203，此時點P的坐標（-旦-,三返）.

1919

/\ADB,aACE都是等邊三角形，

：.AD=AB,AC=AE,NZMB=NCAE=60°,

ND4C=ZBAE,

：.^ADC^/XABE(SAS),

:?CD=BE,S/\DAC=S/\ABEtNAOC=NABE,

「AMLCD,ANLBE,

??.工?CO?AM=』?3E"M

22

：.AM=ANf

：.NAPM=NAPN,

???ZAOD=NPOB,

???NOP8=NZMO=60°,

AZAPN=ZAPM=60°,

，ZAPC=NBPC=ZAPC=120°,

???點P是就是△ABC費馬點.

圖1?2

???NAPT=60°,PT=PAf

???△4尸T是等邊三角形，

：.ZPAT=60°,AT=AP,

ZDAB=ZTAP=^Q,

：.ZDAT=ZBAPf'：AD=ABi

：./\DAT^/^BAP(SAS),

:?PB=DT,

：.PD=DT+PT=PA-^PB,

：.PA+PB+PC=PD+PC=CD=BE.

(2)解：如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MG￡>,以O(shè)M為邊作等邊△OME.連接

ND,作DF_LNM,交NM的延長線于F.

叢MGD和△OME是等邊三角形

：?OE=OM=ME,ZDMG=ZOME=60°,MG=MD,

：.NGMO=ZDME

在AGMO和△QME中,

OM=ME

,ZGMO=ZDME，

MG=MD

：./^GMO^/\DME(SAS),

:.OG=DE

：.NO+GO+MO=DE+OE+NO

???當O、E、0、M四點共線時，N0+G0+M0值最小,

VZWG=75°,ZGMZ)=60°,

/.ZWD=135°,

/.ZDMF=45°,

■：MG=3

：.MF=DF=^^~,

2_

:.NF-MN+MF=4亞挈=2^1

?■?^^7NF2+DF可啰）2+（平產(chǎn)面

J.MO+NO+GO最小值為倔，

故答案為倔，

15.解：(1)???點P,N是BC,C。的中點,

C.PN//BD,PN=LBD,

2

丁點P,"是CO,OE的中點，

：.PM//CE,PM=LCE,

2

VAB=AC,AD=AEf

:.BD=CE,

:.PM=PN,

,:PN〃BD,

：.ZDPN=NADC,

■:PMIICE,

：?NDPM=/DCA,

VZBAC=90°,

AZADC+ZACD=90°,

...ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,

：.PM±PN,

故答案為：PM=PN,PMLPN,

（2）由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,

"：AB=AC,AD=AE,

.?.△AB。之△ACE（SAS）,

：.ZABD^ZACE,BD=CE,

同（1）的方法，利用三角形的中位線得，PN=、BD,PM=LCE,

22

：.PM=PN,

.??△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.NDPM=NDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

：.ZPNC=ZDBC,

；NDPN=NDCB+NPNC=NDCB+NDBC,

：.NMPN=4DPM+/DPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=/BCE+NDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

VZBAC=90°,

ZACB+ZABC=90°,

:.NMPN=90°,

叢PMN是等腰直角三角形，

（3）方法1、如圖2,同（2）的方法得，是等腰直角三角形,

...MV最大時，△產(chǎn)加"的面積最大，

DE//BC且DE在頂點A上面，

最大=AM+AM

連接AM,AN,

在△AQE中，AD=AE=4,/￡）AE=90°,

；.AM=2&,

在RtZ\4BC中，AB=4C=10,AN=5&,

?'?MN鼠大=2揚5&=7&，

最大=工尸序=上義工"'2=工*(7&)2=9.

22242

方法2、由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=、BD,

2

，PM最大時，△產(chǎn)“7面積最大，

，點力在84的延長線上，

：.BD=AB+AD=\4,

：.PM=1,

??.S^PMN城大=工尸例2=工*72=>^>

222

16.解：(1)在直線L：y=x+m中，

當x=0時，y=m；當y=0時，x=-in,

VC(0,-3),

：.B(3,0),

???拋物線。i：y=o?+方的頂點為C(0,-3),

*.y=cu？-3,

將8(3,0)代入，

得，a=-f

3

，拋物線￡>i：>=〃/+/?的解析式為3；

3

(2)如圖1,連接PQ,則P￡>=PQ,

,:P(x,y),D(0,3),Q(x,0),

2

；./+(y--5-)2=y2,

整理，得),=工/+3,

-34

???路徑D2所滿足的關(guān)系式為y=：+3,

-34

V-3-(-3)=至，

44

可將拋物線D\向上平移至個單位長度得到曲線Di；

4

(3)VC(0,-3),B(3,0),

：.OB=OC,

：./\OBC是等腰直角三角形,

：.ZOBC=45°,

①如圖2,若點例在點B上方，設(shè)MC交x軸于點E,則/OEC=45°+15°=60°

OE=?,

設(shè)直線CE解析式為y=fcr-3,

將E（?,0）代入，

可得，k=M，

.,.yCE=V^x-3,

'y^/lx-3

聯(lián)立，得|1n,

y=fx2-3

解得，（x=0或（x=M,

ly=-3[y=6

：.M\（3A/3，6）；

②如圖2,若M在點8下方，設(shè)M2c交x軸于點F,

則NOFC=45°-15°=30°,

：.OF=3y/3,

設(shè)直線CF解析式為y=kx-3,

將F(3次，0)代入，

可得，4=返，

3

'.ycF=^-x-3,

3

［受

聯(lián)立，得:，

y=^7x2-3

O

解得，卜=°或卜嗎

ly=-3ly=-2

：.Mi（V3，-2）,

綜上所述，M的坐標為（373，6）或（F，-2）.

17.解：(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：116+4b+c=5,

lc=-3

解得：b=-2,c=~3.

拋物線的解析式為y=/-2.V-3；

(2)作于”點，如圖1,

*."y=x2-2x-3—(x-1)2-4.

.?.點B的坐標為(1,-4).

設(shè)”(相，〃)，