數(shù)學(xué)建模：對(duì)計(jì)劃生育的建議

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)計(jì)劃生育的建議摘要本文在年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲的前提下，研究了人口增長(zhǎng)分別與晚育、少生、時(shí)間間隔的關(guān)系?；谌丝诤托詣e比例均勻分布的前提下，忽略其它年齡段意外死亡的情況，自然死亡年齡為75歲，死亡率為1/75。要解決人口增長(zhǎng)與晚育的關(guān)系，我建立宋健人口模型，引進(jìn)了有關(guān)生育模式的函數(shù)，r>r1，此函數(shù)中取，由于增加n就意味著晚育，因此對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題我們以n為變量，然后固定了其它變量，再通過(guò)MATLAB編寫(xiě)程序得以解決人口增長(zhǎng)與晚育的關(guān)系。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題我們考慮育齡婦女一生只生一胎，一胎一個(gè)來(lái)解決?；谇皟蓚€(gè)問(wèn)題，對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，我們通過(guò)結(jié)果和圖形的分析，可以很好的解決人口增長(zhǎng)與時(shí)間間隔的關(guān)系。最后，應(yīng)用前三個(gè)問(wèn)題中我們假設(shè)的數(shù)據(jù)對(duì)20年后我國(guó)的人口數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。得出當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為0.2時(shí)，我國(guó)20年后人口總數(shù)為14.8653億，達(dá)到控制在15億內(nèi)的要求?？梢?jiàn)我們的假設(shè)具有一定的合理性。關(guān)鍵詞：宋健人口模型生育模式人口增長(zhǎng)一、問(wèn)題的重述對(duì)計(jì)劃生育的建議中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵之一，影響我國(guó)人口增長(zhǎng)率的因素有生育率、死亡率、遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等?，F(xiàn)今我們假定現(xiàn)有人口13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命假定為75歲，考慮以下四個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}（一），人口增長(zhǎng)與晚育的關(guān)系；問(wèn)題（二），人口增長(zhǎng)與少生的關(guān)系；問(wèn)題（三），人口增長(zhǎng)與間隔時(shí)間的關(guān)系；問(wèn)題（四），如果20年內(nèi)人口增長(zhǎng)控制在15億以?xún)?nèi)，請(qǐng)你提出一個(gè)合理的計(jì)劃生育的建議。二、問(wèn)題的分析現(xiàn)在我們從宏觀人口看，引起人口增長(zhǎng)率變動(dòng)的原因有三個(gè)基本因素，即出生率、死亡率和遷移率（在本題可看作遷出率等于遷入率）。依據(jù)這一基本出發(fā)點(diǎn)，就為人口增長(zhǎng)率變動(dòng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型提供了基本思路。由公式：人口自然增長(zhǎng)率＝（本年出生人數(shù)－本年死亡人數(shù)）／年平均人數(shù)×1000‰＝人口出生率－人口死亡率可分別對(duì)問(wèn)題（一）到（四）進(jìn)行建模求解。面對(duì)以上四個(gè)問(wèn)題我們?cè)诮⒛Ｐ蜁r(shí)，不可能全面考慮到影響人口增長(zhǎng)率的種種因素，所以在建立以下數(shù)學(xué)模型中，我們將人口當(dāng)作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)來(lái)考慮，并將人口增長(zhǎng)率的變化主要取決于生育率、死亡率的變化。針對(duì)問(wèn)題（一），我們固定單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)，男女性別比例，死亡率和人口的密度函數(shù)建立起宋健人口模型，對(duì)人口增長(zhǎng)數(shù)量與晚育之間的關(guān)系進(jìn)行解決。針對(duì)問(wèn)題（二），我們以為變量，其他值固定，運(yùn)用MATLAB編程建立少生概率模型，很好的解決了人口增長(zhǎng)數(shù)量與少生之間的關(guān)系。針對(duì)問(wèn)題（三），我們針對(duì)問(wèn)題（四），我們將（單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)）固定并假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0,生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù).運(yùn)用人口自然增長(zhǎng)率公式進(jìn)行建模解決問(wèn)題。三、基本假設(shè)味著晚婚，而增加n意味著晚育。這樣就求出在單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)數(shù)量和晚婚晚育之間的關(guān)系。即，晚婚晚育在一定程度上可控制人口的增長(zhǎng)速度。把變量晚婚固定在18歲，此時(shí)只有一個(gè)變量為晚育n，利用（7）式，由人口總數(shù)乘以人口自然增長(zhǎng)率得出人口增長(zhǎng)數(shù)量。（人口增長(zhǎng)數(shù)量=人口自然增長(zhǎng)率人口總數(shù)）（4）、模型檢驗(yàn)：=1\*GB3①、當(dāng)取區(qū)間[18，50]時(shí)，用MATLAB編程，作出與育齡女性年齡的關(guān)系圖，如圖1所示，程序見(jiàn)附錄1中的程序1。圖1=2\*GB3②、把變量晚婚固定在18歲，用MATLAB得到晚育變量與人口增長(zhǎng)數(shù)量之間的關(guān)系圖：（程序見(jiàn)附錄1中的程序2）圖2（4）、結(jié)果分析：=1\*GB3①、，n取10，r1取18，可得=26，符合圖1中，=26歲附近時(shí)，生育率最高。生育率高低與女性育齡年齡的關(guān)系如圖1所示。=2\*GB3②、由圖2可得，隨著n的增加，人口增長(zhǎng)率越來(lái)越小，人口增長(zhǎng)數(shù)量越來(lái)越少。由此說(shuō)明，育齡女性晚育可以降低我國(guó)的人口增長(zhǎng)數(shù)量。具體結(jié)果見(jiàn)圖2和附錄中的程序2中的結(jié)果。（5）、模型評(píng)價(jià)：本模型運(yùn)用了宋健的人口預(yù)測(cè)模型，模型中固定了，，，這幾個(gè)函數(shù)值，大大的減低了模型的難度，但也因此模型的準(zhǔn)確性不是很高。利用MATLAB編程，得到了與育齡女性年齡的關(guān)系圖和人口增長(zhǎng)率與育齡女性從什么時(shí)候開(kāi)始生育之間的關(guān)系圖，并在題設(shè)的條件下，得到了最高生育率所對(duì)應(yīng)的女性年齡為26歲附近，基本上符合情況，解決了問(wèn)題一的要求。當(dāng)取這時(shí)有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這很符合我國(guó)的計(jì)劃生育政策，我國(guó)正是通過(guò)這兩種手段來(lái)實(shí)施的。2、針對(duì)問(wèn)題（二），我們建立了模型二：（1）、模型的建立與求解：?jiǎn)栴}二中要解決的問(wèn)題是人口增長(zhǎng)數(shù)量與少生的關(guān)系，所以，為了模型的簡(jiǎn)便，我們此時(shí)n和其他值固定，把當(dāng)作變量，運(yùn)用MATLAB編程建立少生數(shù)量模型畫(huà)出單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)數(shù)與少生的關(guān)系圖形（圖3）：圖3（2）、模型結(jié)果分析：圖3中的橫坐標(biāo)表示（時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)），縱坐標(biāo)表示f1（人口增長(zhǎng)數(shù)量）?？梢?jiàn)在單位時(shí)間內(nèi)f1隨著的增加而增加。（3）、模型評(píng)價(jià)：本模型為一次線性模型，模型簡(jiǎn)單，解決問(wèn)題明確，可由圖3清晰的看出在單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)數(shù)量與少生之間的關(guān)系。因其它影響人口增長(zhǎng)數(shù)量的變量被固定，模型在符合事實(shí)上的性能不高，卻很好的反應(yīng)出人口增長(zhǎng)數(shù)量與少生之間的關(guān)系。3、針對(duì)問(wèn)題（三），我們建立了模型三：人口增長(zhǎng)與時(shí)間間隔的關(guān)系：這個(gè)題目是前兩個(gè)問(wèn)題的延伸，我們假設(shè)每對(duì)夫妻一生只生兩個(gè)孩子，間隔為4年，這與第一題中取=2、n=4差不了多少，我們知道當(dāng)固定，人口增長(zhǎng)率會(huì)隨著晚育（n）的增加而減少，也就是說(shuō)人口增長(zhǎng)也隨著減少，同理，我們也可以知道人口增長(zhǎng)跟時(shí)間間隔成反比關(guān)系，時(shí)間間隔越長(zhǎng)，人口增長(zhǎng)就越慢。4、針對(duì)問(wèn)題（四），我們建立了模型四：（1）、模型的基本假設(shè)：=1\*GB3①、固定…………………單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)固定=2\*GB3②、假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0,生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù).（2）、模型的建立和求解：我們假設(shè)中年人的死亡率為0，即生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù)，則對(duì)來(lái)說(shuō)只要固定，就是一個(gè)常數(shù)，我們?nèi)?0.3（即單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)位0.3），所以=0.026.因?yàn)槊咳说膲勖际?5歲，所以每年都有13/75億人死亡，也就是說(shuō)20年總的死亡人數(shù)為2013/75。而20年出生的總?cè)藬?shù)為1321.7215，所以20年后的人數(shù)為：21.7215-3.4667=18.2548，要想控制在15億以?xún)?nèi)，我們可以采取降低的值，當(dāng)我們?nèi)?0.2時(shí)，20年后的人數(shù)為：14.8653.（3）、模型評(píng)價(jià)：本模型通過(guò)控制單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)人口增長(zhǎng)率的控制（當(dāng)然我們也可以從晚婚晚育和多胎之間的時(shí)間間隔方面來(lái)實(shí)現(xiàn)人口的控制）。當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為0.2時(shí)，我國(guó)20年后人口總數(shù)為14.8653億，達(dá)到控制在15億內(nèi)的要求。六、模型的綜合評(píng)價(jià)1、模型優(yōu)點(diǎn)：該模型考慮了諸多因素，對(duì)人口控制模型進(jìn)行了詳盡的描述，因此對(duì)人口的控制模型也很精細(xì)。在中長(zhǎng)期內(nèi)可以對(duì)每個(gè)影響因素進(jìn)行調(diào)解，對(duì)人口的增長(zhǎng)數(shù)量進(jìn)行控制，使人口數(shù)量在一定的增長(zhǎng)率進(jìn)行增長(zhǎng)或減少。所以說(shuō)，對(duì)于人口的控制，該模型是相當(dāng)準(zhǔn)確的。2、模型缺點(diǎn)：在模型中我們只考慮到生育率和死亡率對(duì)人口增長(zhǎng)率的影響，忽略了其它因素的影響，比如說(shuō)遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等的影響。因此結(jié)果有一定的誤差。3、模型的改進(jìn)和推廣：（1）、為了考慮多因素對(duì)人口增長(zhǎng)率有什么影響，模型的改進(jìn)必須將遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等影響因素考慮在內(nèi)。（2）本模型是連續(xù)模型，我們可以通過(guò)改進(jìn)，建立出離散模型，就可以更加科學(xué)的對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)數(shù)量進(jìn)行控制。（3）、在模型中我們將未來(lái)的死亡率設(shè)為一個(gè)常數(shù)1/75，這實(shí)際上是不可能的。因此，對(duì)于死亡率，可以運(yùn)用線形函數(shù)逼近法，將死亡函數(shù)分段線形來(lái)逼近。一般將死亡函數(shù)的曲線分為三段，公式如下：（4）、模型可運(yùn)用于一些局部人口年齡分布比較均勻的地方，也可用來(lái)長(zhǎng)期人口數(shù)量的控制以及人口的預(yù)測(cè)。七、給計(jì)劃生育部的建議1、給計(jì)劃生育部的建議：（1）、晚婚晚育，少生，兩胎間的時(shí)間間隔，都可以影響到嬰兒的出生率，所以我們要從中搭配尋找出最優(yōu)的計(jì)劃生育政策。（2）影響我國(guó)人口過(guò)增長(zhǎng)數(shù)量的因素有很多，計(jì)劃生育部應(yīng)當(dāng)綜合考慮然后制定出更優(yōu)的計(jì)劃生育政策。（3）、在各個(gè)因素允許的條件下，國(guó)家可以放松生育政策，使我國(guó)人口結(jié)構(gòu)分布更科學(xué)，讓我國(guó)的人口緩慢地、安穩(wěn)地降下來(lái)?。?）、逐步提高計(jì)劃生育獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)。各級(jí)財(cái)政部門(mén)在財(cái)力許可的情況下，要提高對(duì)計(jì)劃生育獨(dú)生子女家庭、雙女絕育家庭等的獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)。（5）、加強(qiáng)宣傳教育，努力建設(shè)性別平等的社會(huì)環(huán)境。（6）、調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)。在維持計(jì)劃生育預(yù)定人口數(shù)量不變的情況下，可以通過(guò)適時(shí)提高勞動(dòng)年齡上限的辦法來(lái)調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)，使勞動(dòng)年齡人口比和老年撫養(yǎng)比保持在有利于可持續(xù)發(fā)展的水平上。八、參考文獻(xiàn)[1]宋健,田雪原,于景元,李廣元，人口預(yù)測(cè)和人口控制，北京：人民出版社,1981.[2]姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，1993.[3]謝云蓀，張志讓?zhuān)瑪?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：科學(xué)出版社，1999.[4]韓明，王家寶，李林，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，同濟(jì)大學(xué)出版社，2009。九、附錄附錄1：程序1：（與育齡女性年齡的關(guān)系）symsxtrr1Hnyn=10;a=n/2;r1=18;x=0:0.1:40;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T)r=18:1:40;H=(r-r1).^(n./2-1).*exp(-(r-r1)./2)./2.^(n./2)./T1plot(r,H)程序2：（人口增長(zhǎng)數(shù)與晚育的關(guān)系）%人口增長(zhǎng)數(shù)與晚育的關(guān)系：forn=10:0.5:30a=n/2;x=0:0.1:50;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T);r=18+n-2;H=(r-18).^(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.^(n./2)./T1;symsrhKK=@(r)(r-18).^(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.^(n./2)./T1;formatlong;h=quadl(K,18,50);f=0.3*1*13/75*h*0.5-1/75;f1=13*f;plot(n,f1,'r*')holdonend程序3：（%人口增長(zhǎng)與少生B的關(guān)系，此時(shí)固定n）symsxtrr1HnyKhn=10;a=n/2;forr1=18:1:27x=0:0.1:50;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T);forr=r1