專題06冪指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)（10大考點知識串講熱考題型專題訓練）

專題06冪指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識聚焦考點聚焦知識點1根式與指數(shù)冪1、根式（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．（2）的次方根的表示當n是奇數(shù)時，，的值僅有一個，記為當n是偶數(shù)，=1\*GB3①時，的有兩個值，且互為相反數(shù)，記為；=2\*GB3②時，不存在（3）根式的性質(zhì)（，且）：；2、分數(shù)指數(shù)冪（1）正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（2）負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義3、指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）無理數(shù)指數(shù)冪：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．（2）指數(shù)冪的運算性質(zhì)①．②．③．知識點2對數(shù)與對數(shù)運算1、對數(shù)的概念與性質(zhì)（1）對數(shù)的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式。（2）對數(shù)的性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)；=1\*GB3①loga1＝0，=2\*GB3②logaa＝1，=3\*GB3③alogaN＝N，=4\*GB3④logaaN＝N(a>0，且a≠1).指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系2、對數(shù)的的運算法則：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0=1\*GB3①loga(M·N)＝logaM＋logaN=2\*GB3②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN=3\*GB3③logaMn＝nlogaM(n∈R)3、換底公式（1）logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)選用換底公式時，一般選用e或10作為底數(shù)。（2）換底公式的三個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.知識點3冪函數(shù)的圖象與概念1、冪函數(shù)的概念與圖象（1）定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．（2）冪函數(shù)的特征：=1\*GB3①xα的系數(shù)是1；=2\*GB3②xα的底數(shù)x是自變量；=3\*GB3③xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函數(shù)都不是冪函數(shù)．（3）冪函數(shù)的圖象：同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的圖象(如圖2、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；（2）如果α＞0，冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；（3）如果α＜0，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；（4）在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．知識點4指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念（1）定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．（2）注意事項：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定大于0且不等于1的理由：=1\*GB3①如果，當=2\*GB3②如果，如，當時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．=3\*GB3③如果，是一個常量，對它就沒有研究的必要．2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過定點單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)3、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍（2）形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。知識點5對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為．（2）特殊的對數(shù)函數(shù)=1\*GB3①常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù).=2\*GB3②自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).2、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當0＜x＜1時，y＜0；當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)【小結(jié)】當時，圖象呈上升趨勢；當時，圖象呈下降趨勢，又當時，a越大，圖象向右越靠近x軸；時，a越小，圖象向右越靠近x軸.3、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性，再求出的值域。（2）形如（，且）的函數(shù)的值域換元法:令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域?？键c剖析考點1指數(shù)式與對數(shù)式化簡【例1】（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀⒒芍笖?shù)式可表示為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把對數(shù)式化成指數(shù)式，為．故選：A．【變式11】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學?？计谥校┤簦瑒t（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將兩邊平方，得，即，所以.故選：A.【變式12】（2023·甘肅武威·高一統(tǒng)考階段練習）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故選:B.【變式13】（2023·廣東韶關(guān)·高一?？茧A段練習）已知，是方程的兩根，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由韋達定理可得：，.所以.故選：D【變式14】（2023·湖北·高一洪湖市第一中學校聯(lián)考階段練習）求值：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.考點2冪指對函數(shù)定義與解析式【例2】（2023·寧夏吳忠·高一校考階段練習）給出下列函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為指數(shù)函數(shù)的形式為且，所以是指數(shù)函數(shù)，即C正確；而ABD中的函數(shù)都不滿足要求，故ABD錯誤.故選：C.【變式21】（2023·高一課時練習）下列函數(shù)，其中為對數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C【變式22】（2023·江西新余·高一校考期中）（多選）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得或.故選：AB【變式23】（2023·云南·高一云南師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，則.【答案】8【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，∴所以.【變式24】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則．【答案】1【解析】因為函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則，解得．考點3求冪指對函數(shù)的定義域【例3】（2023·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是冪函數(shù)，設(shè)，將代入解析式，得，解得，故，則，故，解得故選：B【變式31】（2023·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中）已知冪函數(shù)的定義域為，且，則的值為（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】因為冪函數(shù)的定義域為R，故，解得，又，所以，檢驗，時，，即，滿足題意．故選：C【變式32】（2023·四川成都·高一鹽道街中學?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得且.【變式33】（2023·貴州畢節(jié)·高一?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使函數(shù)有意義需滿足，解得，則函數(shù)的定義域為.故選：A.【變式34】（2023·四川綿陽·高一綿陽中學校考期末）函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．且【答案】D【解析】要使有意義，則應(yīng)有，解得且.故選：D.考點4求冪指對函數(shù)的值域【例4】（2023·廣東云浮·高一云安中學校考階段練習）函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)（）A．3B．C．3或D．或【答案】C【解析】函數(shù)（且）的值域為，又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域是所以有，即，解得；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域是所以有，即，解得.綜上所述，或.故選：C.【變式41】（2023·重慶·高一南開中學?？茧A段練習）（多選）下列命題中正確的是（）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的值域為D．函數(shù)的值域為【答案】BCD【解析】對于選項A：因為，且在上單調(diào)遞減，可得，所以函數(shù)的值域為，故A錯誤；對于選項B：令，解得，可知函數(shù)的定義域為，因為在上單調(diào)遞增，且，可得，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；對于選項C：令，則，可得，因為開口向上，對稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，且，所以的值域為，即函數(shù)的值域為，故C正確；對于選項D：由題意可得的定義域為，因為，即，可得，所以函數(shù)的值域為，故D正確；故選：BCD.【變式42】（2023·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在上是減函數(shù)，，即值域為.故選：A.【變式43】（2023·江蘇蘇州·高一昆山震川高級中學校考階段練習）已知，則的值域是．【答案】【解析】因為，所以的定義域滿足，解得，因為在上單調(diào)遞增，所以令，又，則，易知在上單調(diào)遞增，則當時，；當時，，所以的值域為.【變式44】（2023·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).（1）求方程的根；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，則.（2）由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.考點5冪指對函數(shù)的圖象問題【例5】（2023·陜西西安·高一?？茧A段練習）如圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象.已知分別取，，，四個值，與曲線、、、相應(yīng)的依次為（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由圖象可知，曲線在第一象限單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，故，所以，曲線在第一象限單調(diào)遞增，且增長速度越來越慢，故，故，曲線和在第一象限均單調(diào)遞減，故，其中當時，，，而，故為的圖象，為的圖象.故選：A【變式51】（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象不可能為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當時，二次函數(shù)對稱軸為，對選項A：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，對稱軸在軸右邊，滿足；對選項B：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，不滿足；對選項C：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向上，對稱軸在軸左邊，滿足；對選項D：取，則，，滿足圖像；故選：B【變式52】（2023·遼寧阜新·高一阜新市高級中學?？茧A段練習）（多選）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與（且）的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】函數(shù)與的圖象都過定點，故D錯誤；又因為與單調(diào)性相反，故B錯誤，AC正確.故選：AC.【變式53】（2023·廣西柳州·高一柳州高級中學?？计谥校┮沟膱D象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為，且為減函數(shù)，要使圖象不經(jīng)過第一象限，則，解得.故選：B.【變式54】（2023·河南周口·高一周口恒大中學?？计谀┮阎瘮?shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D考點6冪指對函數(shù)過定點問題【例6】（2022·上?！じ咭皇形髦袑W?？计谥校┎徽搶崝?shù)取何值，函數(shù)恒過的定點坐標是．【答案】【解析】因為，故當，即時，，即函數(shù)恒過定點.【變式61】（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的圖象恒過定點，在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】【解析】對于函數(shù)，令，解得，此時，所以函數(shù)的圖象恒過定點，設(shè)冪函數(shù)，代入可得，解得，則，所以.【變式62】（2023·海南·高一?？茧A段練習）函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過定點，若點也在函數(shù)的圖象上，則.【答案】【解析】由，解得，，所以，所以，所以，所以.【變式63】（2023·江蘇無錫·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖像恒過定點，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】∵恒過定點∴，∴，∴為減函數(shù)，且過點，大致圖像如圖所示∴的函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．故選：C【變式64】（2023·福建莆田·高一校考期中）已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為.【答案】4【解析】函數(shù)的圖象恒過定點，所以,因為，所以，當時，的最小值為4.考點7冪指對函數(shù)的單調(diào)性問題【例7】（2023·云南保山·高一騰沖市第一中學校聯(lián)考階段練習）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，為上的減函數(shù)，A不是；對于B，為上的減函數(shù)，B不是；對于C，在上不單調(diào)，C不是；對于D，為上的增函數(shù)，D是.故選：D【變式71】（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W?？茧A段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，解得或，故函數(shù)的定義域為，函數(shù)的開口向上，對稱軸為；函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D【變式72】（2023·廣東佛山·高一校考階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則t在上遞減，在上遞增，又在R上遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B【變式73】（2023·上?！じ咭唤ㄆ街袑W?？茧A段練習）已知冪函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則.【答案】【解析】由題意知當時,,在上不是嚴格減函數(shù),不符合,舍去;當時,,在上是嚴格減函數(shù)，符合題意..【變式74】（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第十五中學校考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的同增異減性，可知需為R上的增函數(shù)，故，∴，∴或，故選：D.【變式75】（2023·貴州畢節(jié)·高一?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，即有，即，又在上恒成立，故，即，綜上，，即實數(shù)的取值范圍為.考點8冪指對比較大小【例8】（2023·河南鄭州·高一省實驗中學?？茧A段練習）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故.故選：D【變式81】（2023·天津·高一楊柳青第一中學校考期末）已知，，．則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，而，即，所以.故選：D.【變式81】（2023·湖北襄陽·高一校考期末）若已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，且，即；且，即；且，即；所以.故選：A.【變式82】（2023·四川涼山·高一校聯(lián)考期末）若，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可得：，，由，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，則.故選：A.【變式83】（2023·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？茧A段練習）已知，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；；故.故選：C.考點9冪指對函數(shù)解不等式【例9】（2023·廣東韶關(guān)·高一?？茧A段練習）求滿足下列條件的的取值范圍．（1）；（2）（，且）．【答案】（1）；（2）當時，；當時，.【解析】（1）因為，所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為；（2）當時，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，解得或，所以的取值范圍為；當時，在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，解得，所以的取值范圍為；綜上所述，當時，；當時，.【變式91】（2023·云南昭通·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，定義域為，，所以由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，，故為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，原不等式可化為,即,得，解得，故選：B.【變式92】（2023·江蘇徐州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)，若不等式對任意均成立，則m的取值范圍為．【答案】【解析】因為恒成立，故恒成立，故的定義域為.令，則，故，故為上的奇函數(shù).在上，均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，又在上為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，故為奇函數(shù)，且在上增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，由可得：，即也就是，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，故，即m的取值范圍為.【變式93】（2023·江西新余·高一校考期中）已知指數(shù)函數(shù)且，經(jīng)過點．（1）求的解析式及的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則且，得，故，則.（2）因為，即，又函數(shù)在R上是增函數(shù)，有，解得，所以x取值范圍為.【變式94】（2023·廣西欽州·高一校考期中）已知是冪函數(shù).（1）求、的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為是冪函數(shù)，所以，解得；（2）由（1）可知，定義域為，且，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以，解得，所以的取值范圍是.考點10冪指對函數(shù)的綜合問題【例10】（2023·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．（1）若，求；（2）已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）對于冪函數(shù)，得，解得或，又當時，不為偶函數(shù)，，，，，解得；（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先證明在上單調(diào)遞增：任取，則，，，，又，，，即，故在上單調(diào)遞增，，，又，解得.【變式101】（2023·四川成都·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)使得不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），證明見解析；（2）【解析】（1）因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，證明：任取，，且，則因為，所以，所以，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）因為，在上的奇函數(shù)，所以，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，成立，即，成立，設(shè)，則，所以，，所以，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以，所以.【變式102】（2023·浙江溫州·高一浙江省平陽中學校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求方程的實根；（2）若函數(shù)在上的最大值為，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以即，所以，因為，所以，即，所以，則方程即，化簡得，解得或（舍去），所以，所以方程的實根為.（2），設(shè)，由得，令，則，，函數(shù)的對稱軸為，當即時，，所以；當即時，，所以，不合題意舍去；綜上，實數(shù)的值為.【變式103】（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性，（3）判斷函數(shù)的單調(diào)牲（只寫出結(jié)論即可），并求當時，函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）奇函數(shù)；證明見解析.；（3）增函數(shù)；.【解析】（1）由，即，解得，所以此函數(shù)定義域為.（2）奇函數(shù)，證明如下：由（1）知函數(shù)定義域為，，所以為奇函數(shù).（3），由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)也是增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).故在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；當時，，即的值域為.【變式104】（2023·山東濰坊·高一統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，且是定義在上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為為奇函數(shù)，所以，即，即，所以，解得，，因為，所以，，當時，，定義域為，不符合要求；當時，，滿足要求；所以；（2）因為，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的值域為，因為對任意，存在，使得成立，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，所以，所以．過關(guān)檢測1．（2023·安徽安慶·高一安慶一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，則（）A．B．2C．D．1【答案】C【解析】由題知，解得，，故選：C.2．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考階段練習）若冪函數(shù)圖象過點，且，則的范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知條件可得，解得，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，解得.故選：B.3．（2023·安徽安慶·高一安慶一中校考期中）函數(shù)的定義域為（）A．或B．C．D．且【答案】A【解析】由題知，解得或，即函數(shù)的定義域為{或}.故選：A.4．（2023·廣西玉林·高一博白縣中學?？茧A段練習）函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，易得函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B,D;又，故A正確，D錯誤，故選:A.5．（2023·天津·高一楊柳青第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)，則（）A．為奇函數(shù)，且在是增函數(shù)B．為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)C．為奇函數(shù)，且在是減函數(shù)D．為偶函數(shù)，且在是減函數(shù)【答案】A【解析】已知函數(shù)的定義域為,且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則B,D錯誤；又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上是增函數(shù)，故A正確，C錯誤，故選:A.6．（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，則（）A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】，所以的定義域為，，所以是奇函數(shù)，由可得.故選：B7．（2023·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，所以，故選：D.8．（2023·浙江寧波·高一鄞州中學?？茧A段練習）若，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，得，