三等角相似問題（解析版）-2021年中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題訓練

專題40三等角相似問題

【規(guī)律總結(jié)】

如圖所示，在△A8C中，A6=AC,且NAE）E=N8,則△A8DS2XDCE像這種類型的相似

三角形稱為一線三等角型.

【典例分析】

例1.（2020?四川遂寧市?射洪中學九年級月考）如圖，在RffilABC中，配=90。，放置邊長分

別為3,4,x的三個正方形，則x的值為（）

C.7D.8

【答案】C

【分析】

根據(jù)已知條件可以推出EICEFEBOMEEEIPFN,可得OE：PN=OM：PF,再利用正方形的性質(zhì)把

它們的直角邊用含x的表達式表示出來，列方程，解方程即可得到x的值.

【詳解】

解：如圖，標注字母,

回在RtEIABC中(0C=9O°),放置邊長分別3,4,x的三個正方形,

NC=NFPN=90。,

由正方形可得：EF//PN,

ZCFE=ZFNP,

.DCEF^QPFN,

同理：□CEFsDOME,

00CEFEBOMEEBPFN,

0OE：PN=OM：PF,

0EF=x,MO=3,PN=4,

結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：OE=x-3,PF=x-4,

0(x-3)：4=3：(x-4),

0(x-3)(x-4)=12,

即X2一7%=0，

；.x(x-7)=0,

0x=O(不符合題意，舍去)或x=7.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找到相似三角形,

用X的表達式表示出對應邊.

例2.（2021?上海九年級專題練習）如圖，正方形ABC。的對角線AC,80相交于點0,

AB=5C，E為。。上一點，OE=2,連接BE,過點A作A尸，BE于點尸，與BD交

于點G,則歷的長是.

［答案］叵

29

【分析】

EFAE

根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO=8O=CO=5,證明得到一=—，即

OEBE

可求出答案.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是正方形，AB=56,

?,.ZAOB=90°,OA=OB=OC=OD,

^20^=AB2,

0AO—BO-CO=5，

?：AFLBE,

;./EBO=/EAF，

EFAE

:△EBg^EAF,即一=一

OEBE

-：OE=2,OB=OA^5,

BE=V29.AE=7,

—EF7解得族=1出4J2二9

2V2929

故答案為:哽

【點睛】

此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中熟練掌握并運用各知

識點是解題的關(guān)鍵.

例3.(2019?浙江杭州市?九年級期中)已知正方形ABCD的邊長為4,一個以點A為頂點

的45。角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F,連接EF.設

CE=a,CF=h.

(1)如圖1,當NE4尸被對角線AC平分時，求a、b的值；

(2)當口4￡尸是直角三角形時，求。、b的值；

(3)如圖3,探索NE4尸繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，尸的面積是否發(fā)生變化？請說明理

由.

【答案】（I）a=b=4亞?.（2）當ZA￡P(guān)=90。時，a=4,b=8；當ZAFE=90°時，

。=8.匕=4；（3）△CEF的面積不變，證明見解析

【分析】

（1）利用正方形的性質(zhì)可得NACF=NACE,由NE4F被對角線AC平分可得

ZCAF=ZCAE,從而可證口ACFia^ACE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF=CE,然

后根據(jù)角度關(guān)系可得NC4￡=NAEC，即可得到a、b的值；

（2）由題意可知，分兩種情況計算，①當NA￡F=90°時，首先根據(jù)題意得到口4印是等

腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理得到C尸2=8（CE+4）,根據(jù)已知條件可得A4B石回ZXEb，

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出4Cf=CE（C￡+4）,兩式聯(lián)立解方程組即可；②當

NAEE=90°時，方法和上面的方法一致，即可解答；

（3）先利用平行線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得到NAFC+C4/=45°,再利用三角形的內(nèi)角

和得到NAFC+NAEC=45°,從而求出NAEC,而NAb=NACE=135°,得到口ACF

回△EC4,然后再利用相似三角形的對應邊成比例，即可求出，力的值，進而可知的

面積是否變化.

【詳解】

（1）回四邊形ABC。是正方形，

?NBCF=NDCE=90。，

回AC是正方形ABCO的對角線，

團NAC5=NA8=45°,

^ZACF^ZACE,

回NE4尸被對角線AC平分，

@ZC4F=ZC4E.

在口AB和△ACE中,

NACF=NACE

<AC=AC,

NCAF=NCAE

團口ACT回△ACE，

^ZAEF=ZAFE^CE=CF,

團CE--a>CF-b，

回。=b,

0ZE4F=45°,

0ZAEF=ZAFE=67.5°,

SCE=CF,ZECF=90°,

0ZAEC=ZAFC=22.5°,

0ZCAF=ZCAE=22.5°,

0ZC4￡=ZA￡C,

回CE=AC=4夜，即a=b=4&；

(2)當石是直角三角形時，

①當NA4'=90。時，

I3ZE4/;,=45O,

回ZAFE=45°,

回口人石尸是等腰直角?:角形，

0AF2=2FE2=2(CE2+CF2),

AE2^AB2+BE2，

QAF2=2(AD2+BE2),

02(CE2+CF2)=2(AD2+BE2),

^CE2+CF2=AD2+BE2<

0CE2+CF2=16+(4+CE2),

0CF2=8(CE+4)?

0ZAEB+ZBEF=9O°.ZAEB+ZBAE=90°,

ONBEF=NBAE，

回AABESEb，

ABBE

0----=-----,

CECF

4CE+4

回—=-------,

CECF

04CF=C￡(CE+4)@,

聯(lián)立①②得，CE=4,CF=8，

回。=4,b=8；

②當NAEE=90°時，同①的方法得，b=4，CE=8,

回。=8,Z?=4；

(3)BlAB//CD,

團N5AF=NAFC,

回494C=45°,

回N84尸+NC4尸=45°,

0ZAFC+ZC4F=45°,

0ZAFC+ZAEC=180°—(NCFE+ZCEF)—ZEAF=180°—90°-45°=45°,

0ZC4F=ZA￡1C,

回NACF=NACE=135°,

0DACF0AEC4

cACCF

0------=-------,

CEAC

團CExCR=AC2=2AB2=32，

Elah=32,

0s△CEF'ab,

2

0SACEF=16.

(3Z\CE尸的面積不變.

【點睛】

此題是四邊形的綜合題，本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三

角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷口Ab回△反4,也是本題的難點.

【好題演練】

一、單選題

1.(2020?石家莊外國語教育集團九年級開學考試)如圖，在矩形ABCO中，BC=6,E

3

是BC的中點，連接AE,tan/B4E=-，P是AO邊上一動點，沿過點P的直線將矩形

折疊，使點。落在AE上的點。敵b,當△APD'是直角三角形時，P。的值為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=6,0BAD=[3D=HB=9O<<,根據(jù)勾股定理得到AE=

ylAB-+BE2=V42+32=5-設PD'=PD=x,貝AP=6-x,當自APD，是直角三角形時，①當

?AD'P=90°時，②當回APD'=90°時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：回在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,

0AD=BC=6,（3BAD=EID=EIB=90°,

既是BC的中點，

0BE=CE=3,

回AE=VAF+BF=742+32=5，

回沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點D，處，

0PD'=PD,

設PD'=PD=x,貝I]AP=6-x,

當回APD，是直角三角形時,

①當團AD'P=90°時，

0BAD,P=0B=9OO,

0ADEBC,

EBPAD'=I3AEB,

E0ABE00PD'A,

APPD'

團---=----,

AEAB

8

0x=—,

3

8

0PD=-；

3

②當團APD'=90°時，

00APD=0B=9O°,

國PAE二團AEB,

邈APD'釀EBA,

APPDr

回---=----,

BEAB

6-xx

0---=—,

34

24

0x=—，

7

24

0PD=—,

7

824

綜上所述，當囪APD，是直角三角形時，PD=一或二，

37

故選：B.

【點睛】

本題考查J'翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題

意是解題的關(guān)鍵.

3

2.（2020?江蘇蘇州市?八年級期末）如圖,在反比例函數(shù)了=巳的圖象上有一動點A，連接A。

X

并延長交圖象的另一支于點5,在第二象限內(nèi)有一點C,滿足AC=8。，當點A運動時,

kACl

點C始終在函數(shù)y=—的圖象上運動，若三=6，則上的值為（）

【答案】B

【分析】

連接0C,過點A作AE0X軸于點E,過點C作CFmy軸于點F,通過角的計算找出回AOE=?：OF,

結(jié)合"團AEO=90。，囪CFC）=90?！笨傻贸鲎訟OE釀COF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由

lAOI

—=V5,得出上=—,可得出CF?OF的值，進而得到k的值.

AOCO2

【詳解】

如圖，連接0C,過點A作AEOx軸于點E,過點C作CF0y軸于點F,

3

團山直線AB與反比例函數(shù)卜=一的對稱性可知A、B點關(guān)于O點對稱,

x

團AO=BO,

又回AC=BC,

團COMB,

配1AOE+回AOF=90°,0AOF+0COF=9O°,

00AOE=0COF,

又團團AEO=90°,團CFO=90°,

00AOE00COF,

AEOEAO

團---=----=----,

CFOFCO

團CF=2AE,0F=20E,

又團AE?0E=3,

0CF*OF=|k|=4x3=12,

0k=±12,

回點c在第二象限，

0k=-12,

故選:B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?0F=12.解決該題型題目時:巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找

出對應邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出結(jié)論.

二、填空題

3.（2020?福建省南安市僑光中學九年級月考）如圖，AAO8是直角三角形，ZAOB=90°>

2k

OB=2OA,點A在反比例函數(shù)y=—的圖象上.若點B在反比例函數(shù)y=一的圖象上,

xx

則k的值為

【答案】-8

【分析】

求函數(shù)的解析式只要求出B點的坐標就可以，過點A,B作AC0X軸，BDSx軸，分別于C,D.根

據(jù)條件得至胞ACOEBODB,得到處=竺=—^=2,然后用待定系數(shù)法即可.

OCACOA

【詳解】

過點A,B作AC0X軸，BDfflx軸，分別于C,D.

設點A的坐標是（m,n）,則AC=〃，OC=m,

團團AOB=90°,

EISAOC+SBOD=DO0,

團團DBO+團BOD=90°,

mDBO=0AOC,

回團BDO=I3ACO=90°,

團團BDO團團OCA,

BDODOB

[3------=-------=------->

OCACOA

團OB=2OA,

團BD=2m,0D=2n,

因為點A在反比例函數(shù)y=2的圖象上，則mn=2,

x

回點B在反比例函數(shù)y=七的圖象上，

x

EIB點的坐標是（-2。，2m）,

Elk=-2n?2m=-4mn=-8.

故答案為：-8.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的

問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標的問題，求出圖象上點的橫縱坐標的積就可以求出反比例函

數(shù)的解析式.

4.（2020?浙江金華市?九年級其他模擬）圖2、圖3是起重機平移物體示意圖.在固定機架

4

8AM中，A8=5m,tanEBA/W=-.吊桿BCE由伸縮桿8c與6m長的直桿CE組成，在機架

3

BAM與直桿CE間有一根9m長的支撐桿AD,且CD=2m.假設起重機吊起物體準備平移時，

點E、C、B恰好在同一水平線上（圖2）,在物體平移過程中始終保持EB04W（AM處在水

平位置）.

（1）如圖2,當準備平移物體時，伸縮桿BC=m.

（2）在物體沿EB方向平移過程中，當朋。E=60。時，物體被平移的距離為m.

圖2圖3

【答案】（庖+1）;（V65+4-375）.

【分析】

（1）過點A作AG08c于G,解RtSABG求得BG,由勾股定理求得GD,進而根據(jù)線段和差

求得BC；

（2）連接8E,過A作A用8￡于下，過E作EG04J于G,如圖2,解直角三角形求得EG,再

證明財FH0亞GH,求得AH：EH,進而由AD=9列出方程求得AH,EH,GH,FH,進而便可

求得平移的距離.

【詳解】

解：（1）過點A作AG08C于G,如圖1,

在RtBABG,QABG=SBAM,48=5,

0=tanZABG=tanZBAM-

BG3

設AG=4xm,則BG=3xm,

團AB=JAG?+BG2=5X,

回5x=5,

取=1,

EL4G=4m,BG=3m,

斷0=J._AG2=病(m),

^\BC=BG+GD-CD=3+765-2=765+1(m),

故答案為：(病+1);

(2)連接8E,過A作A用8E于F,過E作EGMD于G,如圖2,

SBEELA/W,

WABF^BAM,

4

[Utan\MBF=tan^lBAM=——,

3

設AF=4xm,貝ljBF=3xm,

蜘8=5x=5,

取=1,

EL4F=4m,BF=3m,

在RtBDEG中,DE=4m,I3￡DG=6O°,

SDG=—DE=2m,EG=^-x4=2^3m,

22

^\AG=AD-DG=9-2=7mf

^AFH=^EGH=9Q°fMHF=?EHG,

[M14FH豳￡GH,

AFAHnAH42

0-----=-------,即:7：=—7==~f=,

EGEHEH2A/3也

設AH=2y,則EH=6y,

回HG=VEH2-EG2=，3y2—12，

ZAG=AH+GH=2y+^3/-12=7,

解得，y=14-3^/15.或y=14+3厲>7(舍)，

OEH=Gy=14G-9石(n?),AH=2y=28-6y/l5(m),

SGH=AG-AH=6y/15-21,

0ELAFH00EGH,

FHAF2

GHEG6

2

I3F”=G”=126-1473.

&BE=BF+FH+EH=3+12yf5-14G+14百一9君=3+3君,

回物體平移的距離為：（病+1+6）-（3+375）=病+4-3百.

故答案為：（病+4-3?）.

本題主要考查了解直角三角形的應用，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是正確構(gòu)

造直角三角形.

三、解答題

5.(2020?山東濟南市?九年級月考)如圖，拋物線y=f+法+C與X軸交于A、B兩點,

與)'軸交于點C,OA=OC=3,頂點為￡>.

(1)求此函數(shù)的關(guān)系式;

(2)在AC下方的拋物線上有一點N,過點N作直線///)，軸，交AC與點當點N

坐標為多少時，線段MN的長度最大？最大是多少？

(3)在對稱軸上有一點K,在拋物線上有一點L,若使A，B,K,L為頂點形成平行

四邊形，求出K,L點的坐標.

(4)在>軸上是否存在一點E,使為直角三角形，若存在，直接寫出點E的坐標；

若不存在，說明理由.

【答案】(1))=爐+2》_3；(2)(3)K(—l,12),￡(3,12),或

K(—l,12),"-5,12)或刈-1,4),L(-LT)；(4)存在；4°，|)，

￡(0,-1),￡(0,-3).

【分析】

(1)求出點A和點C的坐標，代入y=》2+6x+c求出b,c的值即可；

(2)求出MN=—(d+3x)再求出最大值即可；

(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分三種情況求解即可；

(4)分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求出點E的坐標即可.

【詳解】

解：(1)BOA=OC=3

團點A的坐標為(-3,0),點C的坐標為(0,3)

把點A,點C的坐標代入丁=/+法+(:得，

c=-3

\(-3)2-3Z>+C=0

c=-3

解得，\,C

所以，此函數(shù)關(guān)系式為：y=x2+2x-3

(2)如圖，

設直線AC的函數(shù)解析式為：y'=kx+b,

將A(—3,0),C(0,—3)代入？=履+匕，得

"b=—3

1—3上+8=0，

解得，b=-3,k=-l

回直線AC的解析式為y'=-x-3

團點N在直線AC下方的拋物線上，MN//y軸

0MN-y'—y——(_x_3)_(%"+2x_3)——_3x——―(x2+3x)

為了使MN最大，就要使—C?+3x)取最大值，

回d+3x取最小值

,3,9

[3x+3X=(XH—)~—

24

39

團當了=一不時，MN有最大值，最大值為了，

24

3IS

將工=-5代入y=f+2尤一3中，得y二一彳，

315

團N的坐標為(---,----)

24

(3)拋物線對稱軸為％=-2=-1

2a

令y=0得，X2+2X-3=0.

解得，%二-3,工2=1，

團點B的坐標為（1,0）

①當AB和KL是平行四邊形的對角線時，點K］和4都在對稱軸％=-1上時,

回乙（一1,一4）,4（_1,4）

②當AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸右側(cè)時,

0AB=OA+OB=3+1=4

0K?L-4

團乙2的橫坐標為3，

回4(312),((—1,12)

③當AB和KL是平行四邊形的兩條對邊，且KL在y軸左側(cè)時,

0K3k=AB=4

0L3的橫坐標為-5

團人（一5,12）,4（-1,12）

綜上所述，K,L點的坐標為K（-1,12）,”3,12）,或K（-l,12）,"-5,12）或K（一1,4）,

”-I）；

(4)如圖,

設直線AD的函數(shù)解析式為力。=kx+b

將A(-3,0),D(-l,-4)代入yAD=kx+b

-3k+b=Qk=-2

解得《

-k+b=-4b=6

^yAD=-2x+6

①當AE_LAO,A為垂足時,

13NgAO+ZAE,O=90°,ZEtAO+NDAP=90°

sZAEiO=ZDAP

OE.AP

13——L=——

AOPD

0AO=3,AP=2,PD=4

2

喈4

3

00￡,=：

聞0,

\乙)

②當A￡>J_￡>E,D為垂足時，

同理可證A。/?？贏DAP

DQDP14

回函=方'即函=2，

CL“17

團0E-,—4———

-22

7

0￡(0,--)

2-2

③當AE0DE,E為垂足時，AE2+DE2=AD2

設。E=x,則QE=4-x

BAE2=32+^=9+X2.P￡2=12+(4-X)2=X2-8X+17,

AD2=[-l-(-3)]2+(—4—0)2=20

團9+犬+%2-8X+17=20

解得：％=1,z=3

0OEy=1,OE4=3

回&(0,-1),E4(O,-3).

綜上，點E的坐標為：E(0，|］，《0，-3，￡(0,-1),E(0,-3).

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、勾股定理運用等，其

中(3),(4)要主要分類求解，避免遺漏.

6.(2020?渠縣第三中學九年級月考)如圖1和圖2,在平面直角坐標系中，點C的坐標為

(0,4),A是X軸上的一個動點，M是線段AC的中點.把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按

順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AB.過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D,

直線DB交x軸于點E.設A點的橫坐標為m.

(1)求證：0AOC00BEA；

(2)若m=3,則點B的坐標為:若m=-3,則點B的坐標為:

(3)若m>0,團BCD的面積為S,則m為何值時，S=6?

(4)是否存在m,使得以B、C、D為頂點的三角形與國AOC相似？若存在，求此時m的值；

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)(5,1.5),(—1,—1.5)(3)m=2,〃z=4,加=10(4)機=2舊—2，

m=475+8>m—-4+8

【分析】

(1)利用三垂直模型或K字型相似.

(2)首先由勾股定理求得線段AC的長，然后利用A40csMQ4求得線段班、AE的長，

從而求得點3的坐標；

(3)分。(m＜8時和機＞8B寸，利用AAOCSABE4,根據(jù)相似比表示出點5的坐標后，

利用面積為6求得f值即可；

(4)分0＜根＜8、根＞8、-2＜m＜0,加＜一2,根據(jù)AAOCSAC和AAOCSAB/X?

兩種情況得到比例式即可求得t值.

【詳解】

解：(1)證明：由題意得：0MAB=9O°

EBCAO+0BAE=9O°

又EBCAO+0ACO=9O°

02BAEWACO

X00COA=0AEB=9O0

00AOC00BEA

(2)的坐標為(0,4),機=3或一3,

???由勾股定理得：AC=5,

AC

???A4OCSABE4且相似比為——=2,A0=3,0C=4