2024屆四川省簡陽市數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆四川省簡陽市數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場部在對4家商場進行調(diào)研時，獲得該產(chǎn)品售價單位：元和銷售量單位：件之間的四組數(shù)據(jù)如表：售價x46銷售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場指導(dǎo)價，用最小二乘法求得銷售量y與售價x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．2．已知命題，則命題的否定為()A． B．C． D．3．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論中不正確的是A． B．是圖象的一個對稱中心C． D．是圖象的一條對稱軸5．將偶函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到的曲線的對稱中心為（）A． B．C． D．6．已知全集U=R，集合A=xxx+2<0，A．-2,1 B．-1,0C．(-2,-1]∪[0,1] D．(0,1)7．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或18．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S的值為3，則判斷框中填入的條件可以是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．11．某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則為中獎，按照這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為（）A． B． C． D．12．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么這個大鉛球的表面積是__________.14．已知（1）正方形的對角線相等；（2）平行四邊形的對角線相等；（3）正方形是平行四邊形．由（1）、（2）、（3）組合成“三段論”，根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是________15．已知函數(shù)，且過原點的直線與曲線相切，若曲線與直線軸圍成的封閉區(qū)域的面積為，則的值為__________．16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點.（1）當(dāng)時，求兩點的極坐標(biāo)；（2）設(shè)，求的值.19．（12分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；（3）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知點A是橢圓的上頂點，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且；（1）當(dāng)時，求的面積；（2）當(dāng)時，求證：.21．（12分）已知函數(shù)（其中）．（Ⅰ）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，；（Ⅱ）若有兩個極值點.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.22．（10分）已知數(shù)列滿足．（1）求；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）已知是公比q大于1的等比數(shù)列，且，，設(shè)，若是遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求出樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【題目詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．【題目點撥】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點．2、D【解題分析】分析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得結(jié)果.詳解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定為，故選D.點睛：本題主要考查全稱命題的否定，屬于簡單題.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞、存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.3、C【解題分析】

先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，化原不等式為，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為為奇函數(shù)，若，則，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選C【題目點撥】本題主要考查由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)基本性質(zhì)即可，屬于常考題型.4、C【解題分析】函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得,的圖象關(guān)于軸對稱，所以,時可得，故，，不正確，故選C.5、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對稱軸即可.【題目詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴．令，得．故選：D【題目點撥】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.6、C【解題分析】

先弄清楚陰影部分集合表示的含義，并解出集合A、B，結(jié)合新定義求出陰影部分所表示的集合?！绢}目詳解】由題意知，陰影部分區(qū)域表示的集合S=x集合A=xxx+2A∪B=-2,1，A∩B=因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為S=-2,-1∪0,1【題目點撥】本題考查集合的運算、集合的表示法以及集合中的新定義，考查二次不等式以及對數(shù)不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是要弄清楚Venn圖表示的新集合的意義，在計算無限集之間的運算時，可充分利用數(shù)軸來理解，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中等題。7、D【解題分析】

由三角形面積公式，計算可得的值,即可得B的值,結(jié)合余弦定理計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時則；若,則,此時則；故或.故選：D.【題目點撥】本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度較易.8、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設(shè)直線與曲線相切，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，分析可知，當(dāng)時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當(dāng)時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當(dāng)或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.9、B【解題分析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件．【題目詳解】程序運行中，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，判斷循環(huán)條件，滿足，……，，判斷循環(huán)條件，滿足，，，判斷循環(huán)條件，這里應(yīng)不滿足，輸出．故條件為．判斷框中填入，故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖，解題時可模擬程序運行，根據(jù)輸出結(jié)論確定循環(huán)條件．10、C【解題分析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并化簡整理，結(jié)合函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點進行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域為(0,?+∞)①當(dāng)時，恒成立，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時，時，又函數(shù)在定義域為(0,?+∞)只有一個極值點，在處取得極值.從而或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)與相切的切點為，則切線方程為，因為切線過原點，則，解得，則切點為此時.由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點睛：導(dǎo)函數(shù)的零點并不一定就是原函數(shù)的極值點．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是原函數(shù)的極值點．11、B【解題分析】

可將中獎的情況分成第一次兩球連號和第二次取出的小球與第一次取出的號碼相同兩種情況，分別計算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】中獎的情況分為：第一次取出兩球號碼連號和第二次取出兩個小球與第一次取出的號碼相同兩種情況第一次取出兩球連號的概率為：第二次取出兩個小球與第一次取出號碼相同的概率為：中獎的概率為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查和事件概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進行分類，進而通過古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對應(yīng)的概率.12、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【題目詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【題目點撥】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)大鉛球的半徑為，則，求出，由此能求出這個大鉛球的表面積．【題目詳解】解：設(shè)大鉛球的半徑為，

則，

解得，

∴這個大鉛球的表面積

故答案為：．【題目點撥】本題考查球的表面積的求法，考查球的體積、表面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．14、正方形的對角線相等【解題分析】分析：三段論是由兩個含有一個共同項的性質(zhì)判斷作前提得出一個新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理.在三段論中，含有大項的前提叫大前提，如本例中“平行四邊形的對角線相等”，含有小項的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四邊形”，另外一個就是結(jié)論.詳解：由演繹推理三段論可得，本例中的“平行四邊形的對角線相等”是大前提，本例中的“正方形是平行四邊形”是小前提，則結(jié)論為“正方形的對角線相等”，所以答案是：正方形的對角線相等.點睛：該題考查的是有關(guān)演繹推理的概念問題，要明確三段論中三段之間的關(guān)系，分析得到大前提、小前提以及結(jié)論是誰，從而得到結(jié)果.15、【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點以及切線方程，再根據(jù)定積分求封閉區(qū)域的面積，解得的值.詳解：設(shè)切點，因為，所以所以當(dāng)時封閉區(qū)域的面積為因此，當(dāng)時，同理可得，即點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．16、π【解題分析】依題意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=12三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時，，猜想成立；假設(shè)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，，即當(dāng)時猜想成立.綜上，對于一切均成立.【題目點撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.18、(1)，(2)【解題分析】

將曲線化為極坐標(biāo)方程，聯(lián)立求出兩點的極坐標(biāo)聯(lián)立直線參數(shù)方程與曲線的普通方程，運用根與系數(shù)之間關(guān)系求出結(jié)果【題目詳解】（1）曲線的普通方程，化為極坐標(biāo)方程為與聯(lián)立，得，又∵，∴或∴兩點的極坐標(biāo)分別為，（2）直線的普通方程為化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）①曲線的普通方程為②把①代入②，得整理得，∴∴【題目點撥】需要運用公式將普通方程與極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，在求解長度問題時，運用參數(shù)方程來解答會降低計算量。19、(1).(2).(3).【解題分析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)存在兩個極值點，是方程的兩個不等正根，韋達定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；（3）將恒成立問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究，分類討論，求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，故，且，故所以函數(shù)在處的切線方程為（2）由，可得因為函數(shù)存在兩個極值點，所以是方程的兩個不等正根，即的兩個不等正根為所以，即所以令，故，在上單調(diào)遞增，所以故得取值范圍是（3）據(jù)題意，對任意的實數(shù)恒成立，即對任意的實數(shù)恒成立.令，則①若，當(dāng)時，，故符合題意；②若，（i）若，即，則，在上單調(diào)贈所以當(dāng)時，，故符合題意；（ii）若，即，令，得（舍去），，當(dāng)時，，在上單調(diào)減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，與題意矛盾，所以不符題意.③若，令，得當(dāng)時，，在上單調(diào)增；當(dāng)時，，在上單調(diào)減.首先證明：要證：，即要證：，只要證：因為，所以，故所以其次證明，當(dāng)時，對任意的都成立令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，則所以當(dāng)時，對任意的都成立所以當(dāng)時，即，與題意矛盾，故不符題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，涉及到的解題思想是分類討論，注意思路清晰是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）由橢圓對稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由直線方程為求得點坐標(biāo)（橫坐標(biāo)即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識（導(dǎo)數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上．【題目詳解】（1）由橢圓對稱性知點M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，由題意，，方程為，于是可以設(shè)點其中，于是，解得，所以.（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，即：，則，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，則，所以單調(diào)增，又，，故存在唯一零點，即.【題目點撥】本題考查直線與橢圓相交中的三角形面積，考查求直線方程．解題方法是求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，得出弦長，由弦長關(guān)系得關(guān)系式．本題考查了運算求解能力．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（i）（ii）見解析【解題分析】

（Ⅰ）將代入解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)及，由求得極值點并判斷出單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性可求得的最小值，由即可證明在上單調(diào)遞增，從而由即可證明不等式成立；（Ⅱ）（i）由極值點意義可知有兩個不等式實數(shù)根，分離參數(shù)可