2024屆河南洛陽市數學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆河南洛陽市數學高二第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當時為了使用歸納假設，對變形正確的是（）A． B．C． D．2．已知直線l的參數方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．903．三個數，，之間的大小關系是()A． B．C． D．4．已知是離散型隨機變量，，則（）A． B． C． D．5．已知變量，滿足約束條件，則目標函數的最大值為A．7 B．8 C．9 D．106．已知是定義在上的偶函數，且在上是增函數，設，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．7．下列函數中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│8．若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左右焦點分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．10．因為對數函數是增函數，而是對數函數，所以是增函數，上面的推理錯誤的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是11．已知函數在其定義域內既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知10件產品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產品進行檢查，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手．現要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊形式有_________種．14．某工廠在試驗階段大量生產一種零件，這種零件有、兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響，若有且僅有一項技術指標達標的概率為，至少一項技術指標達標的概率為.按質量檢驗規(guī)定：兩項技術指標都達標的零件為合格品，任意依次抽取該種零件4個，設表示其中合格品的個數，則______.15．甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，甲同學不與老師相鄰，則不同站法種數為．16．“”是“”的_______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點,設1)證明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．18．（12分）某中學高中畢業(yè)班的三名同學甲、乙、丙參加某大學的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學所得降分之和為隨機變量，請寫出所有可能的取值，并求的值.19．（12分）已知函數，.（1）解關于的不等式；（2）若函數在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實數的值；（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）設數列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明．21．（12分）已知曲線，直線：（為參數）.（I）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值．22．（10分）中國已經成為全球最大的電商市場，但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人，對他們的主要購物方式進行問卷調查.現對調查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計，得到如下圖表：主要購物方式年齡階段網絡平臺購物實體店購物總計40歲以下7540歲或40歲以上55總計（1）根據已知條件完成上述列聯(lián)表，并據此資料，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關？（2）用分層抽樣的方法從通過網絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人，然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設抽到的消費者中40歲以下的人數為，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.臨界值表：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：假設當，能被13整除，當應化成形式，所以答案為A考點：數學歸納法2、B【解題分析】

將直線l的參數方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角?！绢}目詳解】直線l的直角坐標方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點撥】本題考查利用直線的參數方程求直線的傾斜角，參數方程化為普通方程是常用方法，而參數方程化為普通方程有兩種常見的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。3、A【解題分析】

利用指數函數、對數函數的單調性求解【題目詳解】,故故選：A【題目點撥】本題考查三個數的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數、對數函數的單調性的合理運用．4、B【解題分析】

根據題意，由隨機變量的分布列的性質可得則只有兩個變量，進而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質計算可得答案.【題目詳解】根據題意，，則則只有兩個變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量分布列的性質、數學期望以及方差與方差性質，屬于基礎題.5、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數即可得答案．【題目詳解】作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，有最大值為9，故選．【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法。6、B【解題分析】

由函數為的偶函數，得出該函數在上為減函數，結合性質得出，比較、、的大小關系，結合函數的單調性可得出、、的大小關系．【題目詳解】由函數為的偶函數，且在上是增函數，則該函數在上為減函數，且有，則，，，，且，，由于函數在上為減函數，所以，，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查利用函數的單調性與奇偶性比較大小，考查中間值法比較指數式和對數式的大小關系，再利用函數單調性比較函數值大小時，要結合函數的奇偶性、對稱性、周期性等基本性質將自變量置于同一單調區(qū)間，結合單調性來比較大小關系，考查分析問題的能力，屬于中等題．7、A【解題分析】

本題主要考查三角函數圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養(yǎng)．畫出各函數圖象，即可做出選擇．【題目詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞減，排除B，故選A．【題目點撥】利用二級結論：①函數的周期是函數周期的一半；②不是周期函數；8、A【解題分析】

由已知可得對任意的恒成立，設則當時在上恒成立，在上單調遞增，又在上不合題意；當時，可知在單調遞減，在單調遞增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上單調遞增，在上單調遞減，又，故選A.9、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關系、橢圓的定義離心率計算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質及其應用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).10、A【解題分析】

由于三段論的大前提“對數函數是增函數”是錯誤的，所以選A.【題目詳解】由于三段論的大前提“對數函數是增函數”是錯誤的，只有當a>1時，對數函數才是增函數，故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查三段論，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)一個三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結論才是正確的.11、D【解題分析】

根據函數在其定義域內既有極大值也有極小值，則.在有兩個不相等實根求解.【題目詳解】因為所以.因為函數在其定義域內既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個不相等實根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.【題目點撥】本題主要考查了導數與函數的極值，還考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.12、C【解題分析】

根據題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據乘法原理計算求得結果．【題目詳解】根據題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產品步需要進行排列．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：分三種情況討論，分別求出甲乙都入選、甲不入選，乙入選、甲乙都不入選,，相應的情況不同的組隊形式的種數，然后求和即可得出結論.詳解：若甲乙都入選，則從其余人中選出人，有種，男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余人中選出人，有種，女生乙不適合擔任四辯手，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出人，有種，再全排，有種，故共有種，綜上所述，共有，故答案為.點睛：本題主要考查分類計數原理與分步計數原理及排列組合的應用，屬于難題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.14、1【解題分析】

設兩項技術指標達標的概率分別為，得到，求得的值，進而得到，可得分布列和的值，得到答案．【題目詳解】由題意，設兩項技術指標達標的概率分別為，由題意，得，解得，所以，即一個零件經過檢測為合格品的概率為，依題意知，所以．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查了隨機變量的分布列及其數學期望的計算，其中解答中根據概率的計算公式，求得的值，得到隨機變量是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．15、．【解題分析】試題分析：老師必須站在正中間,則老師的位置是指定的；甲同學不與老師相鄰，則甲同學站兩端，故不同站法種數為：，故填：．考點：排列組合綜合應用．16、必要不充分【解題分析】

解出的解集，根據對應的集合之間的包含關系進行判斷.【題目詳解】，或“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【題目點撥】本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法：根據進行判斷．(2)集合法：根據成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PE⊥BC；（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直線PA與平面PEH所成角的正弦值．詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因為·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點睛：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.18、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解題分析】

（1）計算出三名同學考核均為合格的概率，利用對立事件的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）根據題意得出所有可能的取值為、、、，利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率計算公式能求出．【題目詳解】（1）由題意知，三名同學考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機變量的所有可能取值有、、、，則，，.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中等題．19、（1）；（2）；（3），【解題分析】

（1）令由得進而求解；（2）由（1）知在上單調遞增，進而求解；（3）根據指數函數的圖象特征，將不等式恒成立轉化為函數圖象的交點問題．【題目詳解】（1）令，則，解得，即（2）由（1）知，，在上單調遞增，，，解得或（舍。（3），即令，，由和函數圖象可知，對，恒成立，，在，為增函數，且圖象是由向右平移3個單位得到的，所以在，恒成立，只需，即，的取值范圍為，.【題目點撥】本題考查指數型不等式、二次函數的圖象和性質、不等式恒成立問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.20、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達式，由此求得的值.（2）根據（1）猜想，用數學歸納法證明數列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項公式（2）下面用數學歸納法證明.①當時，滿足通項公式；②假設當時，命題成立，即由（1）知即證當時命題成立；由①②可證成立.【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查數學歸納法證明與數列的通項公式.21、（I）；（II）最大值為，最小值為.【解題分析】試題分析：（I）由橢圓的標準方程設，得橢圓的參數方程為，消去參數即得直線的普通方程為；（II）關鍵是處理好與角的關系．過點作與垂直的直線，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問題轉化為橢圓上的點，到定直線的最大值與最小值問題處理．試題解析：（I）曲線C的參數方程為（為參數）．直線的普通方程為．（II）曲線C上任意一點到的距離為．則．其中為銳角，且．當時，取到最大值，最大值為．當時，取到最小值，最小值為．【考點定位】