2024屆黑龍江省哈爾濱師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高（單位：）與體重（單位：）數(shù)據(jù)如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知與的線性回歸方程為，那么選取的女大學(xué)生身高為時(shí)，相應(yīng)的殘差為（）A． B．0.96 C．63.04 D．2．若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)，使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒(méi)底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．5．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．6．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為A． B． C．0 D．18．長(zhǎng)春氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，7月15日凈月區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)事件為下雨，事件為刮風(fēng)，那么（）A． B． C． D．9．命題：的否定為（）A． B．C． D．10．三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是()A． B．C． D．11．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．2812．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.3413二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，若A為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則該雙曲線離心率的值為_(kāi)_____．14．＝________.15．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_(kāi)______________.16．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被5整除的數(shù)共有______個(gè)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知二項(xiàng)式.（1）當(dāng)時(shí)，求二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和；（2）若二項(xiàng)展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且存在常數(shù)項(xiàng)，①求n的值；②記二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)為，求.18．（12分）統(tǒng)計(jì)學(xué)中，經(jīng)常用環(huán)比、同比來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數(shù)據(jù)與歷史同時(shí)期比較，如年月與年月相比.環(huán)比增長(zhǎng)率（本期數(shù)上期數(shù)）上期數(shù)，同比增長(zhǎng)率（本期數(shù)同期數(shù)）同期數(shù).下表是某地區(qū)近個(gè)月來(lái)的消費(fèi)者信心指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：序號(hào)時(shí)間年月年月年月年月年月年月年月年月消費(fèi)者信心指數(shù)2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求該地區(qū)年月消費(fèi)者信心指數(shù)的同比增長(zhǎng)率（百分比形式下保留整數(shù)）；除年月以外，該地區(qū)消費(fèi)者信心指數(shù)月環(huán)比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)的有幾個(gè)月？由以上數(shù)據(jù)可判斷，序號(hào)與該地區(qū)消費(fèi)者信心指數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，寫(xiě)出關(guān)于的線性回歸方程（，保留位小數(shù)），并依此預(yù)測(cè)該地區(qū)年月的消費(fèi)者信心指數(shù)（結(jié)果保留位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)與公式：，，，，）19．（12分）對(duì)于集合,,,,定義.集合中的元素個(gè)數(shù)記為.規(guī)定：若集合滿足,則稱集合具有性質(zhì).(1)已知集合,,寫(xiě)出,的值；(2)已知集合,其中,證明：有性質(zhì)；(3)已知集合,有性質(zhì),且求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為0.（1）求的值和的最大值；（2）若實(shí)數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.21．（12分）隨著西部大開(kāi)發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來(lái)越受到廣大考生的青睞，下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線對(duì)比表：年份20142015201620172018年份代碼12345省一本線505500525500530錄取平均分533534566547580錄取平均分與省一本線分差y2834414750（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線為520分，李華2019年高考考了569分，他很喜歡這所大學(xué)，想第一志愿填報(bào)，請(qǐng)利用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給李華一個(gè)合理的建議.（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報(bào)考）參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.22．（10分）設(shè)函數(shù),（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）記的最小值為，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將175代入線性回歸方程計(jì)算理論值，實(shí)際數(shù)值減去理論數(shù)值得到答案.【題目詳解】已知與的線性回歸方程為當(dāng)時(shí)：相應(yīng)的殘差為：故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了殘差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設(shè)，則，則條件等價(jià)為，即有解，設(shè)，為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相交問(wèn)題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可．3、D【解題分析】

利用等體積法求水面下降高度?！绢}目詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【題目點(diǎn)撥】利用等體積法求水面下降高度。4、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.5、B【解題分析】由，直線，令,可得或，曲線與直線交于點(diǎn)或，因此圍成的封閉圖形的面積，故選B.6、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時(shí)平方解得，故選7、C【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱且是上的奇函數(shù)，可求出函數(shù)的最小正周期，再由時(shí)，，即可求出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，則有，變形可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，故.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，周期性、奇偶性、對(duì)稱性等，熟記相關(guān)性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】

確定，再利用條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，可知，利用條件概率的計(jì)算公式，可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了條件概率的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，熟記條件概率的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】分析：由題意，對(duì)特稱命題進(jìn)行否定即可確定.詳解：特稱命題的否定為全稱命題，結(jié)合題中命題可知：命題：的否定為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)含有存在(全稱)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫(xiě)成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定．這類問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是沒(méi)有變換量詞，或者對(duì)于結(jié)論沒(méi)給予否定．有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞．10、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【題目詳解】,故故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．11、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點(diǎn)：排列組合.12、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對(duì)稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨(dú)要求的概率的值．詳解：∵機(jī)變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3.【解題分析】分析：由題根據(jù)A為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，建立等式關(guān)系即可.詳解：由題可知：故雙曲線離心率的值為3.點(diǎn)睛：考查雙曲線的離心率求法，根據(jù)題意建立正確的等式關(guān)系為解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

本題考查定積分因?yàn)?，所以函?shù)的原函數(shù)為，所以則15、【解題分析】試題分析：的定義域?yàn)?，由，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.16、216【解題分析】

分個(gè)位是0或者5兩種情況利用排列知識(shí)討論得解.【題目詳解】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，前面四位有種排法，此時(shí)共有120個(gè)五位數(shù)滿足題意；當(dāng)個(gè)位是5時(shí)，首位不能是0，所以首位有4種排法，中間三位有種排法，所以此時(shí)共有個(gè)五位數(shù)滿足題意.所以滿足題意的五位數(shù)共有個(gè).故答案為：216【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）①14，②【解題分析】

（1）令即可；（2）①或，再分別討論是否符合題意；②，，再利用二項(xiàng)式定理逆用計(jì)算即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，得二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.（2）①由題意知，，即，即，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，是常數(shù)項(xiàng)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若是常數(shù)項(xiàng)，則，不符合題意.故n的值為14.②由①知，，則，所以.因?yàn)?，所?所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，涉及到各項(xiàng)系數(shù)和、等差數(shù)列、組合數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題18、；個(gè)；；.【解題分析】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出同比增長(zhǎng)率即可；由本期數(shù)上期數(shù)，結(jié)合圖表找出結(jié)果即可；根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，求出回歸方程，代入的值，求出的預(yù)報(bào)值即可.【題目詳解】解：該地區(qū)年月份消費(fèi)者信心指數(shù)的同比增長(zhǎng)率為；由已知環(huán)比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)，即本期數(shù)上期數(shù)，從表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共個(gè)月的環(huán)比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù).由已知計(jì)算得：，，線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)該地區(qū)年月份消費(fèi)者信心指數(shù)約為.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸方程問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3).【解題分析】

(1)利用定義,通過(guò)計(jì)算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素組成首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,只要證明這個(gè)等比數(shù)列中的任意兩項(xiàng)(包括本身與本身)的和不在這個(gè)數(shù)列中即可.(3)根據(jù),有性質(zhì)了,可以知道集合中元素的性質(zhì),這樣可以求出的最小值.【題目詳解】(1)根據(jù)定義可得：,.所以(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.若存在成立，則,因此有,即有.等式的左邊是2的倍數(shù),右邊是3的倍數(shù),故等式不成立,因此等比數(shù)列中的任意兩項(xiàng)(包括本身與本身)的和不在這個(gè)數(shù)列中所以中的元素的個(gè)數(shù)為：,即,所以有性質(zhì)；(3)集合具有性質(zhì),所以集合中的任意兩個(gè)元素的和都不在該集合中,也就是集合中的任意兩個(gè)元素的和都不相等,對(duì)于任意的有,也就是任意兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值不相等.設(shè),所以集合具有性質(zhì),集合,有性質(zhì),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了新定義題,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了反證法的應(yīng)用.20、（1），的最大值為0.（2）【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算出，得出的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值作為函數(shù)的最大值；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1），由題意得，，則，經(jīng)檢驗(yàn)滿足.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故只考慮部分的最大值，當(dāng)時(shí)，，又，此時(shí)在上單調(diào)遞減，則，所以的最大值為0.（2）設(shè)，只要證，對(duì)恒成立，且注意到.，設(shè)，，，因?yàn)?，則，從而對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即，①當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，于是恒成立；②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得時(shí)，，即在上遞減，從而，不能使恒成立.綜上所述：，所以的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，對(duì)于函