2024屆黑龍江哈爾濱市第三中學數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市第三中學數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，則角為（）A． B． C． D．2．同學聚會時，某宿舍的4位同學和班主任老師排隊合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．56 C．60 D．1203．已知點在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點，的中點在軸上，則等于（）A． B． C． D．4．已知隨機變量X的分布列如下表所示則的值等于A．1 B．2 C．3 D．45．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．?1 D．?26．給出命題①零向量的長度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．以上命題中，正確命題序號是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④7．設函數(shù),()A．3 B．6 C．9 D．128．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關系是：（）A． B．C． D．不能確定10．如圖，在正方形內(nèi)任取一點，則點恰好取自陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B．C． D．11．若a>b>c,ac<0，則下列不等式一定成立的是A．a(chǎn)b>0 B．bc<0 C．a(chǎn)b>ac D．b(a-c)>012．若滿足約束條件則的最大值為（）A．5 B． C．4 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ=k)=ck+1，k=0，114．已知地球半徑為，處于同一經(jīng)度上的甲乙兩地，甲地緯度為北緯75°，乙地緯度為北緯15°，則甲乙兩地的球面距離是________15．已知非零向量，，滿足：，且不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為__________.16．設，則的展開式中的常數(shù)項為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求證：恒成立；（2）試求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，，且，其中，求證：恒成立.18．（12分）已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）2019年春節(jié)檔有多部優(yōu)秀電影上映，其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評網(wǎng)站統(tǒng)計了100名觀眾對《流浪地球》的評分情況，得到如下表格：評價等級★★★★★★★★★★★★★★★分數(shù)0～2021?4041?6061～8081?100人數(shù)5212675(1)根據(jù)以上評分情況，試估計觀眾對《流浪地球》的評價在四星以上(包括四星)的頻率；(2)以表中各評價等級對應的頻率作為各評價等級對應的概率，假設每個觀眾的評分結果相互獨立.(i)若從全國所有觀眾中隨機選取3名，求恰有2名評價為五星1名評價為一星的概率；(ii)若從全國所有觀眾中隨機選取16名，記評價為五星的人數(shù)為X，求X的方差.20．（12分）已知橢圓的上、下焦點分別為，上焦點到直線的距離為3，橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓，設過點斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點，試問軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.21．（12分）已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)當m＝－1時，求A∪B；(2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．22．（10分）近日，某地普降暴雨，當?shù)匾淮笮吞釅伟l(fā)生了滲水現(xiàn)象，當發(fā)現(xiàn)時已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩而每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟損失約為元，且滲水面積以每天的速度擴散．當?shù)赜嘘P部門在發(fā)現(xiàn)的同時立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補貼費為每人元，勞務費及耗材費為每人每天元．若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作．寫出關于的函數(shù)關系式；應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失+部門的各項支出費用）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用余弦定理解出即可．【題目詳解】【題目點撥】本題考查余弦定理的基本應用，屬于基礎題．2、A【解題分析】

采用捆綁法，然后全排列【題目詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運用捆綁法，將其看成一個整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【題目點撥】本題考查了排列中的位置問題，運用捆綁法來解答即可，較為基礎3、A【解題分析】由題意可得，設P，且，所以=，選A.【題目點撥】若，是橢圓的左、右焦點，且，則點P的坐標為．4、A【解題分析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【題目詳解】由題得，所以所以.故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查分布列的性質(zhì)和期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，，.5、D【解題分析】

本題考察的是對投影的理解，一個向量在另一個向量上的投影即一個投影在另一個投影方向上的長度．【題目詳解】在上的投影方向相反，長度為2，所以答案是.【題目點撥】本題可以通過作圖來得出答案．6、A【解題分析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤，由共線向量的定義和四點共線的意義可判斷④錯誤【題目詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯誤，故選A.【題目點撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應的起點和終點可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量．7、C【解題分析】分析：由－2＜1，知兩個函數(shù)值要選用不同的表達式計算即可．詳解：，，∴．故選C．點睛：本題考查分段函數(shù)，解題時要根據(jù)自變量的不同范圍選用不同的表達式計算．8、D【解題分析】分析：由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各個變量值的變化情況，可得結論.詳解：模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各個變量值的變化情況，可得程序的作用是求和，即，故選D.點睛：本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是中檔題.算法是新課標高考的一大熱點，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運用知識解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.9、B【解題分析】

通過導數(shù)的幾何意義結合圖像即得答案.【題目詳解】由于導數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，比較基礎.10、B【解題分析】

由定積分的運算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【題目詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點坐標為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設“點M恰好取自陰影部分內(nèi)”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【題目點撥】本題考查了定積分的運算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬基礎題11、C【解題分析】

取特殊值a=1,b=0,c=-1進行驗證即可?！绢}目詳解】取a=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故選：C。【題目點撥】本題考查不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)、特殊值法是兩種常用方法，但在利用特殊值法時取特殊值時要全面。12、A【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，可得，

化目標函數(shù)為，

由圖可知，當直線過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．

故選：A．【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】∵所有事件發(fā)生的概率之和為1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=1225，∴P（ξ=k）=1225(k+1)，∴P（ξ=2）=．故答案為．14、【解題分析】

同一緯度的兩地之間與球心共在一個大圓上,根據(jù)緯度差即可求得圓心角,進而求得兩地間距離.【題目詳解】由題意可知,同一緯度的兩地之間與球心共在一個大圓上當甲地緯度為北緯75°,乙地緯度為北緯15°,則兩地間所在的大圓圓心角為60°所以兩地的球面距離為故答案為【題目點撥】本題考查了球的截面性質(zhì),大圓及球面距離的求法,屬于基礎題.15、4.【解題分析】

法一：采用數(shù)形結合，可判斷的終點是在以AB為直徑的圓上，從而分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可得到答案.法二：（特殊值法）可先設，，，利用找出的軌跡，從而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.【題目詳解】法一：作出相關圖形，設,，由于，所以，且這兩個向量共起點，所以的終點是在以AB為直徑的圓上，可設，所以由圖可知，，所，等價于,,所以，答案為4.法二：（特殊值法）不妨設，，，則，，，由于可得整理得，可得圓的參數(shù)方程為：，則相當于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案為4.【題目點撥】本題主要考查向量的相關運算，參數(shù)方程的運用，不等式恒成立問題，意在考查學生的綜合轉(zhuǎn)化能力，邏輯推理能力，計算能力，難度較大.16、-160.【解題分析】由，所以二項式展開式的常數(shù)項為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。(3)證明見解析【解題分析】

（1）構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，利用來證明所證不等式成立；（2）先解等式可得出函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導數(shù)，利用（1）中的結論得出在定義域內(nèi)恒成立，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數(shù)學歸納法和單調(diào)性證明出對任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；證法二：利用數(shù)學歸納法證明，先驗證當時，不等式成立，即，再假設當時不等式成立，即，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.【題目詳解】（1）令，則，由得，由得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即恒成立；（2）由得或，函數(shù)的定義域為，因為，由（1）可知當時，恒成立，且，.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）證法一：，要證，即證，即證，即證.先證對任意，，即，即.構造函數(shù)，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，對任意的，，即，.下面證明對任意的，.，.假設當時，，則當時，.由上可知，對任意的，.由（1）可知，當時，，，，因此，對任意的，；證法二：數(shù)學歸納法①當時，，，，，即成立；②假設當時結論成立，即成立.由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又，，，當時結論成立綜合①②，恒成立.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)證明不等式以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式，證明時應充分利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理能力，屬于難題.18、【解題分析】

化簡集合A,B,由知，即可求解.【題目詳解】由，得，，【題目點撥】本題主要考查了集合的交集，集合的子集，屬于中檔題.19、（1）（2）(i)(ii)【解題分析】

（1）從表格中找出評價為四星和五星的人數(shù)之和，再除以總數(shù)可得出所求頻率；（2）(i)記事件恰有2名評價為五星1名評價為一星，然后利用獨立重復試驗的概率可求出事件的概率；(ii)由題意得出，然后利用二項分布的方差公式可得出的值?！绢}目詳解】（1）由給出的數(shù)據(jù)可得，評價為四星的人數(shù)為6，評價為五星的人數(shù)是75，故評價在四星以上(包括四星)的人數(shù)為，故可估計觀眾對《流浪地球》的評價在四星以上(包括四星)的頻率為0.81（或）；（2）(i)記“恰有2名評價為五星1名評價為一星”為事件A，則；(ii)由題可知，故.【題目點撥】本題第（1）考查頻率的計算，第（2）文考查獨立重復試驗的概率以及二項分布方差的計算，解題前要弄清事件的基本類型以及隨機變量所服從的分布列類型，再利用相關公式求解，考查計算能力，屬于中等題。20、(1)(2)存在點使得.【解題分析】分析：（1）根據(jù)已知列方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先假設存在，再化簡已知得到，所以存在.詳解：（1）由已知橢圓方程為，設橢圓的焦點，由到直線的距離為3，得，又橢圓的離心率，所以，又，求得，.橢圓方程為.（2）存在.理由如下：由（1）得橢圓，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得..設，，則，.假設存在點滿足條件，由于，所以平分.易知直線與直線的傾斜角互補，∴.即，即.（*）將，代入（*）并整理得，∴，整理得，即，∴當時，無論取何值均成立.∴存在點使得.點睛：（1）本題主要考查橢圓的方程，考查直線和橢圓的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能