天津市東麗區(qū)第一百中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

天津市東麗區(qū)第一百中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①；②與及中至少有一個(gè)成立；③，，不能同時(shí)成立．A． B． C． D．2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x-3A．-1 B．1 C．-2 D．23．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種4．下列參數(shù)方程可以用來表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）5．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．6．動點(diǎn)在圓上移動時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．8．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-49．設(shè)A、B為非空集合,定義集合A*B為如圖非陰影部分表示的集合，若則A*B=（）A．（0，2） B．[0,1]∪[2，+∞） C．（1,2] D．[0,1]∪（2，+∞）10．一個(gè)質(zhì)量均勻的正四面體型的骰子，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字，若連續(xù)投擲三次，取三次面向下的數(shù)字分別作為三角形的邊長，則其能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．11．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，.則的值為__________．14．若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：456789100.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)”的概率是_________.15．已知點(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,,則三棱錐的體積的最大值為__________．16．已知的外接圓半徑為1，，點(diǎn)在線段上，且，則面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.（1）求正整數(shù)的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).18．（12分）“過橋米線”是云南滇南地區(qū)特有的一種小吃.在云南某地區(qū)“過橋米線”有三種品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.（Ⅰ）為了加強(qiáng)對食品衛(wèi)生的監(jiān)督管理工作，該地區(qū)的食品安全管理局決定按品牌對這家“過橋米線”專營店采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣調(diào)查，被調(diào)查的店共有家，則品牌的店各應(yīng)抽取多少家？（Ⅱ）為了吸引顧客，所有品牌店舉辦優(yōu)惠活動：在一個(gè)盒子中裝有形狀、大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球.顧客可以一次性從盒中抽取個(gè)球，若是個(gè)紅球則打六折（按原價(jià)的付費(fèi)），個(gè)紅球個(gè)白球打八折，個(gè)紅球個(gè)白球則打九折，個(gè)白球則打九六折.小張?jiān)谠摰挈c(diǎn)了價(jià)值元的食品，并參與了抽獎活動，設(shè)他實(shí)際需要支付的費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月對甲、乙兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人作為樣本，發(fā)現(xiàn)樣本中甲、乙兩種支付方式都不使用的有10人，樣本中僅使用甲種支付方式和僅使用乙種支付方式的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式大于1000僅使用甲15人8人2人僅使用乙10人9人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月甲、乙兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本中僅使用甲種支付方式和僅使用乙種支付方式的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于500元的人數(shù)，用頻率近似代替概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望20．（12分）小陳同學(xué)進(jìn)行三次定點(diǎn)投籃測試，已知第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，前兩次投籃是否命中相互之間沒有影響.第三次投籃受到前兩次結(jié)果的影響，如果前兩次投籃至少命中一次，則第三次投籃命中的概率為，否則為.（1）求小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率；（2）記小陳同學(xué)三次投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．22．（10分）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論;(2)解不等式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時(shí)成立.【題目詳解】對①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時(shí)成立，∴③不正確．

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時(shí)運(yùn)用舉例說明的方式更快捷.2、A【解題分析】

先求出f2，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)得f【題目詳解】由題意可得，f2=22-3=1因此，f-2=-f【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，解題時(shí)要注意結(jié)合自變量選擇解析式求解，另外就是靈活利用奇偶性，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合的綜合問題.4、A【解題分析】

選項(xiàng)A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項(xiàng)D：利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【題目詳解】選項(xiàng)A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項(xiàng)B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項(xiàng)C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項(xiàng)D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個(gè)參數(shù)方程中橫坐標(biāo)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】

化簡拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解準(zhǔn)線方程．【題目詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，準(zhǔn)線方程．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6、B【解題分析】

設(shè)連線的中點(diǎn)為,再表示出動點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓化簡即可.【題目詳解】設(shè)連線的中點(diǎn)為,則因?yàn)閯狱c(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,故,又在圓上,故,即即故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)∴，∴，故．選A．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點(diǎn)所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．8、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時(shí)，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時(shí)，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D。【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。9、D【解題分析】因?yàn)?，所以A*B=[0,1]∪（2，+∞）.10、C【解題分析】

三次投擲總共有64種,只有長度為或223的三邊能構(gòu)成鈍角三角形,由此計(jì)算可得答案.【題目詳解】解：由題可知：三次投擲互不關(guān)聯(lián)，所以一共有種情況：能構(gòu)成鏈角三角形的三邊長度只能是：或者是所以由長度為的三邊構(gòu)成鈍角三角形一共有：種：由三邊構(gòu)成鈍角三角形一共有：種：能構(gòu)成鈍角三角形的概率為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的概率求法,分類計(jì)數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】,對應(yīng)點(diǎn),位于第二象限,選B.12、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在二項(xiàng)展開式中分別令和,然后兩個(gè)等式相減可得.【題目詳解】解：令，得：①令，得②①②可得所以:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用二項(xiàng)展開式賦值求系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】因，故應(yīng)填答案。15、【解題分析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐的體積的表達(dá)式，最后求函數(shù)的最大值.詳解：設(shè)球的半徑為R,所以設(shè)AB=x,則，由余弦定理得設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r,則所以PA=.所以三棱錐的體積=.當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等.故答案為點(diǎn)睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問題，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象能力.(2)三元基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c>0時(shí)取等.(3)函數(shù)的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，一般是先求出函數(shù)的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的最值.16、【解題分析】

由所以可知為直徑，設(shè)，求導(dǎo)得到面積的最大值.【題目詳解】由所以可知為直徑，所以，設(shè)，則，在中，有，，所以的面積，.方法一：（導(dǎo)數(shù)法），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為.方法二：（均值不等式），因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了面積的最大值問題，引入?yún)?shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程可得出的值；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性和單調(diào)性可得出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）由，求出的取值范圍，即可得出系數(shù)最大項(xiàng)對應(yīng)的項(xiàng)的序數(shù).【題目詳解】（1）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，由于展開式系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，則，即，整理得，，解得；（2）第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，因此，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，；（3）由，得，整理得，解得，所以當(dāng)或時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)最大.因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的定義和基本性質(zhì)，同時(shí)也考查了項(xiàng)的系數(shù)最大項(xiàng)的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列見解析，【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣每層按比例分配，即可求解；（2）求出隨機(jī)變量的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，進(jìn)而根據(jù)期望公式求解.【題目詳解】（Ⅰ）由題意得，應(yīng)抽查品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）離散型隨機(jī)變量的可能取值為.于是，，，.的分布列如下60809096所以【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求出隨機(jī)變量的概率是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)0.45；(2)的分布列見解析；數(shù)學(xué)期望為0.9【解題分析】

（1）用減去僅使用甲、僅使用乙和兩種都不使用的人數(shù)，求得都使用的人數(shù)，進(jìn)而求得所求概率.（2）的所有可能值為0,1,2.根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（1）由題意知，樣本中僅使用甲種支付方式的學(xué)生有人，僅使用乙種支付方式的學(xué)生有人，甲、乙兩種支付方式都不使用的學(xué)生有10人.故樣本中甲、乙兩種支付方式都使用的學(xué)生有人所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月甲、乙兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為.（2）的所有可能值為0,1,2.記事件為“從樣本僅使用甲種支付方式的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于500元”，事件為“從樣本僅使用乙種支付方式的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于500元”．由題設(shè)知，事件A，B相互獨(dú)立，且所以所以的分布列為0120.30.50.2故的數(shù)學(xué)期望【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查頻率的計(jì)算，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求小陳同學(xué)三次投籃都沒有命中的概率，再用1減得結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：（1）小陳同學(xué)三次投籃都沒有命中的概率為(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率為1－＝.（2）ξ可能的取值為0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝1)＝××＝；故隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ0121P所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋1×＝．點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.21、(1)