2024屆廣東省揭陽(yáng)市揭西河婆中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆廣東省揭陽(yáng)市揭西河婆中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則（）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)在上單調(diào)2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖所示是求的程序流程圖，其中①應(yīng)為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-45．已知，則（）A． B． C． D．6．某學(xué)校為了調(diào)查高三年級(jí)的200名文科學(xué)生完成課后作業(yè)所需時(shí)間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會(huì)的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對(duì)該年級(jí)的文科學(xué)生進(jìn)行編號(hào),從001到200,抽取學(xué)號(hào)最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,則這兩種抽樣的方法依次為()A．分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層抽樣C．分層抽樣,系統(tǒng)抽樣 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣7．設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．8．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小9．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．10．的常數(shù)項(xiàng)為(

)A．28 B．56 C．112 D．22411．由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金提出了“戴德金分割”，才結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割．試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中不可能成立的是A．沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒(méi)有最小元素12．供電部門(mén)對(duì)某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B．月份人均用電量不低于度的有人C．月份人均用電量為度D．在這位居民中任選位協(xié)助收費(fèi)，選到的居民用電量在一組的概率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．14．若復(fù)數(shù)滿足，則__________．15．在△ABC中,AB＝3,AC＝2,∠BAC＝120°，.若,則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______．16．已知，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，且,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).證明：（1）在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn).20．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在原點(diǎn)處的切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸之間的距離，求得周期，再根據(jù)周期公式求得；再平移后，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可求得的值，進(jìn)而求得解析式。根據(jù)解析式判斷各選項(xiàng)是否正確?！绢}目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為所以周期，則所以函數(shù)函數(shù)的圖象向左平移單位，得到的解析式為因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，即，k∈Z因?yàn)樗约此灾芷冢訟錯(cuò)誤對(duì)稱(chēng)中心滿足，解得，所以B錯(cuò)誤對(duì)稱(chēng)軸滿足，解得，所以C錯(cuò)誤單調(diào)增區(qū)間滿足，解得，而在內(nèi)，所以D正確所以選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，周期、平移變化及單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題。2、B【解題分析】

化簡(jiǎn)得到，得到答案.【題目詳解】，故，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解題分析】分析：由題意結(jié)合流程圖的功能確定判斷條件即可.詳解：由流程圖的功能可知當(dāng)時(shí)，判斷條件的結(jié)果為是，執(zhí)行循環(huán)，當(dāng)時(shí)，判斷條件的結(jié)果為否，跳出循環(huán)，結(jié)合選項(xiàng)可知，①應(yīng)為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查流程圖的應(yīng)用，補(bǔ)全流程圖的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、C【解題分析】

先求出的值，再由函數(shù)的奇偶性得出可得出結(jié)果．【題目詳解】由題意可得，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，求函數(shù)值時(shí)要結(jié)合自變量的取值選擇合適的解析式來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布求對(duì)應(yīng)概率【題目詳解】，所以選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】第一種抽樣是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指從樣本中隨機(jī)抽取一個(gè)，其特點(diǎn)是容量不要太多．第二種是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣就是指像機(jī)器一樣的抽取物品，每隔一段時(shí)間或距離抽取一個(gè)．而分層抽樣，必需是有明顯的分段性，然后按等比例進(jìn)行抽取．故選D7、A【解題分析】試題分析：∵隨機(jī)變量，∴，解得．∴，∴，故選C．考點(diǎn)：1．二項(xiàng)分布；2．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)方差．8、D【解題分析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【題目詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【題目點(diǎn)撥】9、C【解題分析】

本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．10、C【解題分析】分析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求解展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).詳解：由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)的求解，其中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.11、C【解題分析】試題分析：設(shè),顯然集合M中沒(méi)有最大元素，集合N中有一個(gè)最小元素，即選項(xiàng)A可能；,顯然集合M中沒(méi)有最大元素，集合N中也沒(méi)有最小元素，即選項(xiàng)B可能；,顯然集合M中有一個(gè)最大元素，集合N中沒(méi)有最小元素，即選項(xiàng)D可能；同時(shí)，假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個(gè)相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的，故選C．考點(diǎn)：以集合為背景的創(chuàng)新題型．【方法點(diǎn)睛】創(chuàng)新題型，應(yīng)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，即理解題中的新定義，脫去其“新的外衣”，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)和題型上來(lái)．本題即為，有理數(shù)集的交集和并集問(wèn)題，只是考查兩個(gè)子集中元素的最值問(wèn)題，即集合M、N中有無(wú)最大元素和最小元素．12、C【解題分析】根據(jù)頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數(shù)最多的一組是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正確；12月份人均用電量為5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C錯(cuò)誤；在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費(fèi),用電量在[30,40)一組的頻率為0.1，估計(jì)所求的概率為，∴D正確.故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?4、1【解題分析】

設(shè)，,代入方程利用復(fù)數(shù)相等即可求解，求模即可.【題目詳解】設(shè)，,則，整理得：解得，所以，故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)方程，屬于中檔題.15、【解題分析】

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，用表示出,利，即可求出λ的值.【題目詳解】如圖所示，

中，，，解得，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的基本定理及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．16、【解題分析】

根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可求得，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求值.【題目詳解】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可得，，所以，化簡(jiǎn)可解得，則由組合數(shù)性質(zhì)可得，故答案為：462.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，組合數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）求出定義域以及，分類(lèi)討論，求出大于0和小于0的區(qū)間，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性，分類(lèi)討論，分別求出和以及函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間以及最小值，從而求出的范圍?！绢}目詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得：﹔由得：.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；②當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，解得：；③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，由，解得：．綜上所述：a的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類(lèi)討論的思想，有一定的綜合性。18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）由焦距得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和即為，從而可得；（2）用參數(shù)方程，設(shè)（），然后計(jì)算向量的數(shù)量積，可求得范圍．詳解：（1）由已知得，，∴，，同理，∴，，∴，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，，∴，∴，即點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍是．點(diǎn)睛：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，能用定義的就用定義，如已知曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，可先求得此點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和得出，再由求得，從而得標(biāo)準(zhǔn)方程．這種方法可減少計(jì)算量，增加正確率．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）令，然后得到，得到的單調(diào)性和極值，從而證明在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）根據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，，的值，得到的圖像，從而得到的單調(diào)性，結(jié)合和的值，從而判斷出有且僅有個(gè)零點(diǎn).【題目詳解】（1）令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，.∴在遞增，，.故存在使得，時(shí)，時(shí)，.綜上，在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn).（2）由（1）可得時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.且，.故的大致圖象如下：當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)，單調(diào)遞增，而.故存在，使得故在上，的圖象如下：綜上，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，.∴在遞增，在遞減，在遞增，而，，又當(dāng)時(shí)，，恒成立.故在上的圖象如下：∴有且僅有個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題.20、（1）（2）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)【解題分析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）由（1），求得函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論，即可求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【題目詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，則，從而曲線在原點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，存在唯一零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，著重考查了分類(lèi)討論思想，推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個(gè)平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與直線垂直的證明