2024屆福建省福州市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆福建省福州市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時．則當(dāng)，的最小值是（）A． B． C． D．2．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．3．已知a=1,b=3-2A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a4．函數(shù)的極小值點(diǎn)是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）5．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油6．把67化為二進(jìn)制數(shù)為A．1100001(2) B．1000011(2)C．110000(2) D．1000111(2)7．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A． B． C． D．8．．設(shè)(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同D．直線l過點(diǎn)(9．設(shè)，則二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-112010．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）．A． B． C． D．11．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定12．用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設(shè)為（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則________．14．長方體內(nèi)接于球O，且，，則A、B兩點(diǎn)之間的球面距離為______．15．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為_____．16．已知定義在上的函數(shù)滿足（其中為的導(dǎo)函數(shù)）且，則不等式的解集是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）求，，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由.18．（12分）已知，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且在時有極大值點(diǎn)，求證：.19．（12分）已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作垂直于軸的直線交橢圓于．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且t＞0），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ．（1）將曲線M的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線M與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，設(shè)，則，則，即當(dāng)時，，可知函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵就是根據(jù)周期性求出函數(shù)的解析式，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．2、D【解題分析】,由于恒成立,所以當(dāng)時,,則增區(qū)間為.,故選擇D.3、A【解題分析】

將b、c進(jìn)行分子有理化，分子均化為1，然后利用分式的基本性質(zhì)可得出三個數(shù)的大小關(guān)系。【題目詳解】由3而3+2<6+5，所以b>c，又【題目點(diǎn)撥】本題考查比較大小，在含有根式的數(shù)中，一般采用有理化以及平方的方式來比較大小，考查分析問題的能力，屬于中等題。4、A【解題分析】

求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解出的值，并根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出函數(shù)在何處取得極小值，并求得極值，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】，由得函數(shù)在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，故在處有極小值，極小值點(diǎn)為1.選A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

解：對于A，由圖象可知當(dāng)速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，∴當(dāng)速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯誤；對于B，由圖象可知當(dāng)速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠(yuǎn)，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；對于C，由圖象可知當(dāng)速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故C錯誤；對于D，由圖象可知當(dāng)速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，∴用丙車比用乙車更省油，故D正確故選D．考點(diǎn)：1、數(shù)學(xué)建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.6、B【解題分析】如圖：所以把67化為二進(jìn)制數(shù)為1000011(2)．故選B.考點(diǎn)：二進(jìn)制法.7、A【解題分析】

先分析的奇偶性以及在的單調(diào)性，然后再對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析.【題目詳解】函數(shù)為偶函數(shù),且在上為增函數(shù)，對于選項(xiàng),函數(shù)為偶函數(shù)，在上為増函數(shù)，符合要求；對于選項(xiàng),函數(shù)是偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于選項(xiàng),函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于選項(xiàng),函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項(xiàng)符合要求，故選.【題目點(diǎn)撥】奇偶函數(shù)的判斷：（滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的情況下）若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù).8、D【解題分析】因回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)(x點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求a,b，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點(diǎn)9、A【解題分析】

分析：利用微積分基本定理求得，先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式的常數(shù)項(xiàng).詳解：由題意，二項(xiàng)式為，設(shè)展開式中第項(xiàng)為，，令，解得，代入得展開式中可得常數(shù)項(xiàng)為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.10、A【解題分析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為。所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．選．11、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關(guān)于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)關(guān)于對稱從而有，故選A．考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點(diǎn)睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉(zhuǎn)化為，從而可得函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則關(guān)于對稱，代入即可求出結(jié)果．12、C【解題分析】

根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.【題目詳解】命題“若，則”，要用反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以正確的反設(shè)為，故選C項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應(yīng)如何寫，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．14、【解題分析】

利用長方體外接球直徑為其體對角線長求得外接球半徑，及所對球心角，利用弧長公式求出答案．【題目詳解】由，，得，長方體外接球的半徑為正三角形，，兩點(diǎn)間的球面距離為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了長方體外接球問題，以及求兩點(diǎn)球面距離，屬于簡單題．15、【解題分析】

連接，交于，連，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得結(jié)果.【題目詳解】連接，交于，連，如圖所示：因?yàn)?，且在底面?nèi)的射影是，所以由三垂線定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三垂線定理，考查了求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：根據(jù)題意，令g（x）=，對其求導(dǎo)可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結(jié)合f（1）=e可得g（1）=，則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），借助函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，令g（x）=，則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；且g（1）=；則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則有x＜1；則不等式f（x）＞ex的解集為（-∞,1）；故答案為：．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和解不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=求其單調(diào)性,再利用單調(diào)性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，.(2)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；理由見解析.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)遞推關(guān)系式求，，；，再求，，；（2）根據(jù)等比數(shù)列定義證明為等比數(shù)列.詳解：(1）由條件可得：，將代入，得，而，∴，將代入，得，∴，∴，，.（2）是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.由條件可得：，即，又，∴是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.點(diǎn)睛：證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.等比數(shù)列的判定方法18、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）對求導(dǎo)，分，，，進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將代入，對求導(dǎo)，可得，再對求導(dǎo)，可得函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)，且.可得,設(shè)，對其求導(dǎo)后可得.【題目詳解】解：（1），又，，時，，所以可解得：函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；經(jīng)計(jì)算可得，時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；時，函數(shù)在單調(diào)遞減.綜上：時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；時，函數(shù)在單調(diào)遞減；時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.（2）若，則，，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又因?yàn)橛煽芍?，而，且，，使得，且時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)，且..所以,設(shè)（），則，在單調(diào)遞增，，，又因?yàn)椋?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等知識，考查方程與函數(shù)、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力.19、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為得到n=6,再求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).(2)先求出的展開式中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，再求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).詳解：（1）由題意，令得，即，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，即.（2）展開式的第項(xiàng)為.,由，得；由，得.所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)，考查展開式中的特定項(xiàng)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)本題的難點(diǎn)在第2問，展開式的常數(shù)項(xiàng)有兩種生成方式，一是由（x+2）的一次項(xiàng)“x”和的“”項(xiàng)相乘得到，二是由（x+2）的常數(shù)項(xiàng)“2”和的常數(shù)項(xiàng)相乘得到，再把兩個相加即得.20、(1);(2).【解題分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象以及零點(diǎn)存在定理列不等式，解得的取值范圍，（2）根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論滿足題意的條件，解不等式得的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn)，所以有解得所以的取值范圍為：（Ⅱ）要使在區(qū)間上恒成立，需滿足或或解得：無解或或無解所以所以的取值范圍為：.【題目點(diǎn)撥】研究二次函數(shù)最值或單調(diào)性，一般根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；研究二次方程在定義區(qū)間有解，一般從開口方