2024屆上海理工大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆上海理工大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知回歸直線的斜率的估計值為1.8，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-43．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為（）A．12 B．36 C．84 D．964．已知為非零不共線向量，設(shè)條件，條件對一切，不等式恒成立，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在個排球中有個正品，個次品.從中抽取個，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A． B． C． D．6．將4名實習教師分配到高一年級三個班實習，每班至少安排一名教師，則不同的分配方案有（）種A．12 B．36 C．72 D．1087．若不等式|ax+2|＜6的解集為（﹣1，2），則實數(shù)a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣88．若，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．89．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋410．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．11．生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．12．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個村小學(xué)進行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的頂點，分別為雙曲線左、右焦點，頂點在雙曲線上，則的值等于__________．14．已知函數(shù)，當（e為自然常數(shù)），函數(shù)的最小值為3，則的值為_____________.15．我國南北朝時期數(shù)學(xué)家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，該原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍城一個封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移個單位長度，得到幾何體（圖一），現(xiàn)有一個與之等高的圓柱（圖二），其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為_______.圖一圖二16．設(shè)復(fù)數(shù)，則_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著西部大開發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞，下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線對比表：年份20142015201620172018年份代碼12345省一本線505500525500530錄取平均分533534566547580錄取平均分與省一本線分差y2834414750（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年的錄取分數(shù)X服從正態(tài)分布，其中為當年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線為520分，李華2019年高考考了569分，他很喜歡這所大學(xué)，想第一志愿填報，請利用概率與統(tǒng)計知識，給李華一個合理的建議.（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹慎報考）參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.18．（12分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式;(2)解關(guān)于的不等式．19．（12分）已知二項式.（1）當時，求二項展開式中各項系數(shù)和；（2）若二項展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，且存在常數(shù)項，①求n的值；②記二項展開式中第項的系數(shù)為，求.20．（12分）橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，且點為其右焦點，求橢圓的標準方程.21．（12分）“微信運動”是手機推出的多款健康運動軟件中的一款，某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運動”，對運動10000步或以上的老師授予“運動達人”稱號，低于10000步稱為“參與者”，為了解老師們運動情況，選取了老師們在4月28日的運動數(shù)據(jù)進行分析，統(tǒng)計結(jié)果如下：運動達人參與者合計男教師602080女教師402060合計10040140（Ⅰ）根據(jù)上表說明，能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關(guān)？（Ⅱ）從具有“運動達人”稱號的教師中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵大賽某賽區(qū)的活動，若從選取的10人中隨機抽取3人作為代表參加開幕式，設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為，寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知函數(shù).（I）當時，求不等式的解集；（II）若不等式的解集為，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過樣本點的中心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】回歸直線斜率的估計值為1.8，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，即.故選：.【題目點撥】本題考查回歸直線的求解問題，關(guān)鍵是明確回歸直線必過樣本點的中心，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．3、B【解題分析】

記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，利用捆綁法計算出事件A、事件B、事件A∩B的排法種數(shù)nA、nB、nA∩B【題目詳解】記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，對于事件A，將小明與其父親捆綁，形成一個元素，與其他四個元素進行排序，則nA=A對于事件A∩B，將小明父母與小明三人進行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，與其他兩個元素進行排序，則nA∩B=A2【題目點撥】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法以及容斥原理的應(yīng)用，解題時要合理利用分類討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題。4、C【解題分析】

條件M：條件N：對一切，不等式成立，化為：進而判斷出結(jié)論．【題目詳解】條件M：．

條件N：對一切，不等式成立，化為：．

因為，，，即，可知：由M推出N，反之也成立．

故選：C．【題目點撥】本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】分析：根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個正品4個次品，1個正品3個次品，分別求其概率即可。詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個正品4個次品，1個正品3個次品，由超幾何分布的概率可知，當0個正品4個次品時當1個正品3個次品時所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為所以選A點睛：本題考查了超幾何分布在分布列中的應(yīng)用，主要區(qū)分二項分布和超幾何分布的不同。根據(jù)不同的情況求出各自的概率，屬于簡單題。6、B【解題分析】試題分析：第一步從名實習教師中選出名組成一個復(fù)合元素，共有種，第二步把個元素（包含一個復(fù)合元素）安排到三個班實習有,根據(jù)分步計數(shù)原理不同的分配方案有種，故選B．考點：計數(shù)原理的應(yīng)用．7、C【解題分析】

利用不等式的解集和對應(yīng)方程的根的關(guān)系來求解.【題目詳解】因為的解集為，所以和是方程的根，所以解得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法，明確不等式的解集和對應(yīng)方程的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).8、C【解題分析】

利用均值不等式求解即可．【題目詳解】∵（當且僅當n＝3時等號成立）故選：C．【題目點撥】本題主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．9、A【解題分析】

根據(jù)題意，先利用定積分性質(zhì)可得，，然后利用微積分基本定理計算，利用定積分的幾何意義計算，即可求出答案。【題目詳解】因為，，，所以，故選A。【題目點撥】本題主要考查利用定積分的性質(zhì)、幾何意義以及微積分基本定理計算定積分。10、C【解題分析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.11、B【解題分析】

本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計算公式求解．【題目詳解】設(shè)其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B．【題目點撥】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯．12、C【解題分析】

基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率．【題目詳解】解：大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教，每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，∴小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意得,，再利用正弦定理進行求解即可.【題目詳解】解：由題意得,，.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求出極值，當極值只有一個時也即為最值．【題目詳解】，，當時，則，在上是減函數(shù)，，（舍去）．當時，當時，，遞減，當時，，遞增．∴，，符合題意．故答案為．【題目點撥】本題考查由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．解題時求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，如果極值有多個，還要與區(qū)間端點處函數(shù)值比較大小得最值，如果在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，則這個極值也是相應(yīng)的最值．15、【解題分析】

先利用定積分計算底面面積，再用體積公式得到答案.【題目詳解】的圖象與軸圍城一個封閉的區(qū)域故答案為【題目點撥】本題考查了體積的計算，意在考查學(xué)生解決問題的能力.16、1【解題分析】解法一：由題意可得：.解法二：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）建議李華第一志愿謹慎報考該大學(xué).【解題分析】

（1）由表中的數(shù)據(jù)代入公式，計算出和，即可得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）結(jié)合（1）計算出2019年錄取平均分，再根據(jù)該大學(xué)每年的錄取分數(shù)X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的性質(zhì)可計算出李華被錄取的概率，由此得到結(jié)論．【題目詳解】（1）由題知：，所以得：故所求回歸方程為：；（2）由（1）知：當時，，故該大學(xué)2019年的錄取平均分為577.1分.又因為所以李華被錄取的概率：故建議李華第一志愿謹慎報考該大學(xué).【題目點撥】本題考查線性回歸方程以及正態(tài)分布，屬于中檔題．18、(1)(2)【解題分析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數(shù)解析式即可得出函數(shù)的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【題目詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因為，所以，由，得，即，，解得或.又，，所以或.故不等式的解集為.【題目點撥】本題第（1）問考查函數(shù)解析式的求解，對于簡單復(fù)合函數(shù)解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問考查對數(shù)不等式的解法，一般要轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)來處理，借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，同時也要注意真數(shù)大于零這個隱含條件．19、（1）；（2）①14，②【解題分析】

（1）令即可；（2）①或，再分別討論是否符合題意；②，，再利用二項式定理逆用計算即可.【題目詳解】（1）當時，令，得二項式的展開式中各項系數(shù)和為.（2）①由題意知，，即，即，即，解得或.當時，，是常數(shù)項，符合題意；當時，若是常數(shù)項，則，不符合題意.故n的值為14.②由①知，，則，所以.