2024屆上海理工大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆上海理工大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值為1.8，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-43．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制,5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為（）A．12 B．36 C．84 D．964．已知為非零不共線(xiàn)向量，設(shè)條件，條件對(duì)一切，不等式恒成立，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在個(gè)排球中有個(gè)正品，個(gè)次品.從中抽取個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A． B． C． D．6．將4名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少安排一名教師，則不同的分配方案有（）種A．12 B．36 C．72 D．1087．若不等式|ax+2|＜6的解集為（﹣1，2），則實(shí)數(shù)a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣88．若，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．89．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋410．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．11．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．12．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的頂點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則的值等于__________．14．已知函數(shù)，當(dāng)（e為自然常數(shù)），函數(shù)的最小值為3，則的值為_(kāi)____________.15．我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到幾何體（圖一），現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱（圖二），其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為_(kāi)______.圖一圖二16．設(shè)復(fù)數(shù)，則_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）隨著西部大開(kāi)發(fā)的深入，西南地區(qū)的大學(xué)越來(lái)越受到廣大考生的青睞，下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線(xiàn)對(duì)比表：年份20142015201620172018年份代碼12345省一本線(xiàn)505500525500530錄取平均分533534566547580錄取平均分與省一本線(xiàn)分差y2834414750（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線(xiàn)為520分，李華2019年高考考了569分，他很喜歡這所大學(xué)，想第一志愿填報(bào)，請(qǐng)利用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給李華一個(gè)合理的建議.（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報(bào)考）參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.18．（12分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式;(2)解關(guān)于的不等式．19．（12分）已知二項(xiàng)式.（1）當(dāng)時(shí)，求二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和；（2）若二項(xiàng)展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且存在常數(shù)項(xiàng)，①求n的值；②記二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)為，求.20．（12分）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．（12分）“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款，某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，對(duì)運(yùn)動(dòng)10000步或以上的老師授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)，低于10000步稱(chēng)為“參與者”，為了解老師們運(yùn)動(dòng)情況，選取了老師們?cè)?月28日的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)達(dá)人參與者合計(jì)男教師602080女教師402060合計(jì)10040140（Ⅰ）根據(jù)上表說(shuō)明，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)與性別有關(guān)？（Ⅱ）從具有“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)的教師中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國(guó)第四屆“萬(wàn)步有約”全國(guó)健走激勵(lì)大賽某賽區(qū)的活動(dòng)，若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開(kāi)幕式，設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為，寫(xiě)出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本點(diǎn)的中心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】回歸直線(xiàn)斜率的估計(jì)值為1.8，且回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，，即.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線(xiàn)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是明確回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．3、B【解題分析】

記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，利用捆綁法計(jì)算出事件A、事件B、事件A∩B的排法種數(shù)nA、nB、nA∩B【題目詳解】記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件B:小明的母親與小明相鄰，對(duì)于事件A，將小明與其父親捆綁，形成一個(gè)元素，與其他四個(gè)元素進(jìn)行排序，則nA=A對(duì)于事件A∩B，將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個(gè)元素，與其他兩個(gè)元素進(jìn)行排序，則nA∩B=A2【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合綜合問(wèn)題，考查捆綁法以及容斥原理的應(yīng)用，解題時(shí)要合理利用分類(lèi)討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題。4、C【解題分析】

條件M：條件N：對(duì)一切，不等式成立，化為：進(jìn)而判斷出結(jié)論．【題目詳解】條件M：．

條件N：對(duì)一切，不等式成立，化為：．

因?yàn)?，，，即，可知：由M推出N，反之也成立．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5、A【解題分析】分析：根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，分別求其概率即可。詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，由超幾何分布的概率可知，當(dāng)0個(gè)正品4個(gè)次品時(shí)當(dāng)1個(gè)正品3個(gè)次品時(shí)所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為所以選A點(diǎn)睛：本題考查了超幾何分布在分布列中的應(yīng)用，主要區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布的不同。根據(jù)不同的情況求出各自的概率，屬于簡(jiǎn)單題。6、B【解題分析】試題分析：第一步從名實(shí)習(xí)教師中選出名組成一個(gè)復(fù)合元素，共有種，第二步把個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）安排到三個(gè)班實(shí)習(xí)有,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理不同的分配方案有種，故選B．考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．7、C【解題分析】

利用不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系來(lái)求解.【題目詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以和是方程的根，所以解?故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，明確不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8、C【解題分析】

利用均值不等式求解即可．【題目詳解】∵（當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)等號(hào)成立）故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．9、A【解題分析】

根據(jù)題意，先利用定積分性質(zhì)可得，，然后利用微積分基本定理計(jì)算，利用定積分的幾何意義計(jì)算，即可求出答案?！绢}目詳解】因?yàn)椋?，，所以，故選A?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用定積分的性質(zhì)、幾何意義以及微積分基本定理計(jì)算定積分。10、C【解題分析】

由，得出，計(jì)算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【題目詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用古典概型的概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、B【解題分析】

本題首先用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．【題目詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．12、C【解題分析】

基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率．【題目詳解】解：大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教，每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)m12，∴小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為p．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意得,，再利用正弦定理進(jìn)行求解即可.【題目詳解】解：由題意得,，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求出極值，當(dāng)極值只有一個(gè)時(shí)也即為最值．【題目詳解】，，當(dāng)時(shí)，則，在上是減函數(shù)，，（舍去）．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增．∴，，符合題意．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．解題時(shí)求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，如果極值有多個(gè)，還要與區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值比較大小得最值，如果在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)極值也是相應(yīng)的最值．15、【解題分析】

先利用定積分計(jì)算底面面積，再用體積公式得到答案.【題目詳解】的圖象與軸圍城一個(gè)封閉的區(qū)域故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.16、1【解題分析】解法一：由題意可得：.解法二：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【解題分析】

（1）由表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算出和，即可得到關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）結(jié)合（1）計(jì)算出2019年錄取平均分，再根據(jù)該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的性質(zhì)可計(jì)算出李華被錄取的概率，由此得到結(jié)論．【題目詳解】（1）由題知：，所以得：故所求回歸方程為：；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，故該大學(xué)2019年的錄取平均分為577.1分.又因?yàn)樗岳钊A被錄取的概率：故建議李華第一志愿謹(jǐn)慎報(bào)考該大學(xué).【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性回歸方程以及正態(tài)分布，屬于中檔題．18、(1)(2)【解題分析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數(shù)解析式即可得出函數(shù)的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【題目詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因?yàn)?，所以，由，得，即，，解得?又，，所以或.故不等式的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問(wèn)考查函數(shù)解析式的求解，對(duì)于簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問(wèn)考查對(duì)數(shù)不等式的解法，一般要轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)來(lái)處理，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，同時(shí)也要注意真數(shù)大于零這個(gè)隱含條件．19、（1）；（2）①14，②【解題分析】

（1）令即可；（2）①或，再分別討論是否符合題意；②，，再利用二項(xiàng)式定理逆用計(jì)算即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，得二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.（2）①由題意知，，即，即，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，是常數(shù)項(xiàng)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若是常數(shù)項(xiàng)，則，不符合題意.故n的值為14.②由①知，，則，所以.