湖南省邵東三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題含解析

湖南省邵東三中2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．區(qū)間[0，5]上任意取一個實數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．2．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列求導計算正確的是（）A． B． C． D．4．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導數(shù)滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+15．若關于x的不等式對任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，6．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點圖分析可知y與x線性相關，且求得回歸方程為，據(jù)此預測：當時，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．77．若集合，，則有（）A． B． C． D．8．地球半徑為R,北緯45°圈上A,B兩點分別在東徑130°和西徑140°,并且北緯45°圈小圓的圓心為O′,則在四面體O-ABO′中，直角三角形有（）A．0個 B．2個 C．3個 D．4個9．復數(shù)是虛數(shù)單位的虛部是A． B．1 C． D．i10．已知拋物線和直線，過點且與直線垂直的直線交拋物線于兩點，若點關于直線對稱，則()A．1 B．2 C．4 D．611．設，若，則實數(shù)是（）A．1 B．-1 C． D．012．已知，則為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是等腰直角三角形，斜邊，是平面外的一點，且滿足，，則三棱錐外接球的表面積為________．14．若指數(shù)函數(shù)的圖象過點，則__________.15．若，則的最小值為________.16．設等差數(shù)列的前項和為，則成等差數(shù)列.類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則，__________，成等比數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).18．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．19．（12分）（本小題滿分12分）已知，函數(shù)．（I）當為何值時，取得最大值？證明你的結論；（II）設在上是單調函數(shù)，求的取值范圍；（III）設，當時，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）黨的十九大報告提出，轉變政府職能，深化簡政放權，創(chuàng)新監(jiān)管方式，增強政府公信力和執(zhí)行力，建設人民滿意的服務型政府，某市為提高政府部門的服務水平，調查群眾對兩個部門服務的滿意程度.現(xiàn)從群眾對兩個部門的評價（單位：分）中各隨機抽取20個樣本，根據(jù)評價分作出如下莖葉圖：從低到高設置“不滿意”，“滿意”和“很滿意”三個等級，在內為“不滿意”，在為“滿意”，在內為“很滿意”.（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個部門的服務更令群眾滿意？并說明理由；（2）從對部門評價為“很滿意”或“滿意”的樣本中隨機抽取3個樣本，記這3個樣本中評價為“很滿意”的樣本數(shù)量為，求的分布列和期望.（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)，現(xiàn)在隨機邀請5名群眾對兩個部門的服務水平打分，則至多有1人對兩個部門的評價等級相同的概率是多少？（計算結果精確到0.01）21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）平頂山市公安局交警支隊依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第條規(guī)定：所有主干道路凡機動車途經十字口或斑馬線，無論轉彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以元罰款，記分的行政處罰．如表是本市一主干路段監(jiān)控設備所抓拍的個月內，機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份違章駕駛員人數(shù)（Ⅰ）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)．參考公式：，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用幾何概型求解即可.【題目詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A【題目點撥】本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解題分析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【題目詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【題目點撥】本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查相似三角形的性質，考查計算能力，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)求導法則得到相應的結果.【題目詳解】A選項應為，C選項應為，D選項應為.故選B．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的求導運算，牢記公式，準確計算是解題的關鍵，屬于基礎題.4、D【解題分析】

構造函數(shù)g（x）＝f（x），利用導數(shù)可知函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，則答案可求．【題目詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數(shù)，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，正確構造函數(shù)是解題的關鍵，是中檔題．5、D【解題分析】

分別取代入不等式，得到答案.【題目詳解】不等式對任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題，用特殊值法代入數(shù)據(jù)是解題的關鍵.6、B【解題分析】

先計算數(shù)據(jù)的中心點，代入回歸方程得到，再代入計算對應值.【題目詳解】數(shù)據(jù)中心點為代入回歸方程當時，y的值為故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計算數(shù)據(jù)中心點代入方程是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.7、B【解題分析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關系.詳解：，，故.故選：B.點睛：本題考查兩個集合的包含關系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.8、C【解題分析】

畫圖標注其位置，即可得出答案?！绢}目詳解】如圖所示：，即有3個直角三角形?！绢}目點撥】本題涉及到了地理相關的經緯度概念。學生需理解其基本概念，將題干所述信息轉換為數(shù)學相關知識求解。9、B【解題分析】

利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，從而可得答案．【題目詳解】，復數(shù)的虛部是1．故選B．【題目點撥】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的摸這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.10、B【解題分析】

由于直線與直線垂直，且直線的斜率為1，所以直線的斜率為，而直線過點，所以可求出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出的中點坐標，然后將其坐標代入中可求出的值.【題目詳解】解：由題意可得直線的方程為，設，由，得，所以，所以的中點坐標為，因為點關于直線對稱，所以，解得故選：B【題目點撥】此題考查直線與拋物線的位置關系，點關于直線的對稱問題，屬于基礎題.11、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】解得a=-1,故選B【題目點撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式;(2)求f(f(f(a)))的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則.12、A【解題分析】

根據(jù)自變量范圍代入對應解析式，解得結果.【題目詳解】故選：A【題目點撥】本題考查分段函數(shù)求值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在平面的投影為的外心，即中點，設球半徑為，則，解得答案.【題目詳解】，故在平面的投影為的外心，即中點，故球心在直線上，，，設球半徑為，則，解得，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.14、【解題分析】

設指數(shù)函數(shù)為，代入點的坐標求出的值，再求的值.【題目詳解】設指數(shù)函數(shù)為，所以.所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法和指數(shù)函數(shù)求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、8【解題分析】

根據(jù)題意對進行換元，然后利用基本不等式的推廣公式求解出目標的最小值。【題目詳解】解：令，，即，所以，當且僅當，即，即當時等號成立.【題目點撥】本題考查了基本不等式推廣公式的使用，運用基本不等式推廣公式時，一定要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件。16、【解題分析】由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運用類比推理的思維方法可得：，，成等比數(shù)列，應填答案。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為.(2)或，函數(shù)有個零點，或時，函數(shù)有兩個零點.【解題分析】分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）對分三種情況討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用單調性結合函數(shù)圖象以及零點存在定理可得，或，函數(shù)有個零點，或時，函數(shù)有兩個零點.詳解：（1）當時，令，得，當時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為（2）當時，的定義域為，當時，即時，在上單調遞增，易知所以函數(shù)有個零點當時，即時，令，得，，且，所以在，上單調遞增，在上單調遞減由，知，所以，則，因為，所以所以所以當時，函數(shù)有個零點當時，的定義域為令，得，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，令，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以（當且僅當時等號成立）①當時，，而，，由單調性知，所以內存在零點，即函數(shù)在定義內有個兩點②當時，，而，，同理內存在零點，即函數(shù)值定義域內存在個零點③當時，，所以函數(shù)在定義域內有一個零點綜上：或，函數(shù)有個零點，或時，函數(shù)有兩個零點點睛：本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調性有機結合，設計綜合題.18、（1）（2）猜想．見解析【解題分析】

（1）先求得的值，然后根據(jù)已知條件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式為，然后利用數(shù)學歸納法進行證明.【題目詳解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．當時，；當時，；當時，．（2）由（1）猜想．下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，由（1）可知猜想成立；②假設時猜想成立，即，此時，當時，，整理得，所以當時猜想成立．綜上所述，對任意成立．【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)遞推關系式求數(shù)列某些項的值，考查數(shù)學歸納法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.19、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解題分析】試題分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到數(shù)列的單調性，進而求解函數(shù)的最大值.（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上單調函數(shù)，則：，即可求解a的取值范圍；（III)由，分類參數(shù)得，構造新函數(shù)（x≥1)，利用導數(shù)求得函數(shù)h(x)的單調性和最值，即得到a的取值范圍.試題解析：（I）∵，，∴，由得，則，∴在和上單調遞減，在上單調遞增，又時，且在上單調遞增，∴，∴有最大值，當時取最大值．（II）由（I）知：，或，或；（III）當x≥1時f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，，令，則，∴h(x)在上單調遞增，∴x≥1時h(x)≥h(1)=1，，又a≥0所以a的取值范圍是.點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，不等式的恒成立問題求得，考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力．導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題；(4)考查數(shù)形結合思想的應用．20、（1）A部門，理由見解析；（2）的分布列見解析；期望為1；（3）..【解題分析】

（1）通過莖葉圖中兩部門“葉”的分布即可看出；（2）隨機抽取3人，，分別求出相應的概率，即可求出的分布列和期望；（3）求出評價一次兩個部門的評價等級不同和相同的概率，隨機邀請5名群眾，是獨立重復實驗滿足二項分布根據(jù)計算公式即可求出.【題目詳解】解：（1）通過莖葉圖可以看出：A部門的“葉”分布在“莖”的8上，B部門的“葉”分布在“莖”的7上.所以A部門的服務更令群眾滿意.（2）由莖葉圖可知：部門評價為“很滿意”或“滿意”的樣本數(shù)量有個,“很滿意”的樣本數(shù)量有個，則從中隨機抽取3人，，所以的分布列為：.（3）根據(jù)題意可得：A部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，，B部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，.若評價一次兩個部門的評價等級不同的概率為：，則評價一次兩個部門的評價等級相同的概率為