2024屆山西省呂梁市離石區(qū)數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆山西省呂梁市離石區(qū)數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是含數(shù)的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．2．雙曲線的焦點坐標是A． B． C． D．3．如圖，已知函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A． B．C． D．4．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關于對稱，且當時，單調(diào)遞減，若，，，則a，b，c的大小關系是A． B． C． D．5．若隨機變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．6．已如集合，，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)且最小正周期為2 B．奇函數(shù)且最小正周期為2C．偶函數(shù)且最小正周期為 D．奇函數(shù)且最小正周期為8．隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有（）種A．19 B．7 C．26 D．1212．已知集合,則中所含元素的個數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在復平面上，復數(shù)、分別對應點、，為坐標原點，則______．14．將極坐標化成直角坐標為_________.15．已知在平面內(nèi)，點關于軸的對稱點的坐標為.根據(jù)類比推理，在空間中，點關于軸的對稱點的坐標為__________．16．定積分的值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級某班的數(shù)學課外活動小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學競賽考試，用X表示其中男生的人數(shù)．(1)請列出X的分布列；(2)根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率．18．（12分）已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點.若直線與直線的斜率的和為，證明：必過定點，并求出該定點的坐標．19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為.（1）求C的普通方程和l的傾斜角；（2）設點，l和C交于A，B兩點，求.20．（12分）中國已經(jīng)成為全球最大的電商市場，但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構(gòu)隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人，對他們的主要購物方式進行問卷調(diào)查.現(xiàn)對調(diào)查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計，得到如下圖表：主要購物方式年齡階段網(wǎng)絡平臺購物實體店購物總計40歲以下7540歲或40歲以上55總計（1）根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關？（2）用分層抽樣的方法從通過網(wǎng)絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人，然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.臨界值表：21．（12分）選修4一5:不等式選講已知函數(shù)，.(1)當時,解不等式；(2)若對任意,存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉(zhuǎn)，此時滿足一個x只會對應一個y，故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的定義，即“對于集合A中的每一個值，在集合B中有唯一的元素與它對應”(不允許一對多).2、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點坐標詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點坐標是選C.點睛：本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，屬基礎題.3、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性，單調(diào)性，利用排除法求解.【題目詳解】由圖象知，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，；當時，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的圖象及函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.4、A【解題分析】

先根據(jù)對稱性將自變量轉(zhuǎn)化到上，再根據(jù)時單調(diào)遞減，判斷大小.【題目詳解】∵定義在上的函數(shù)的圖像關于對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∵，∴，∴，，．∵當時，單調(diào)遞減，∴，故選A．【題目點撥】比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大?。菏紫雀鶕?jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個函數(shù)值中自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小5、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.6、A【解題分析】

求出集合A，B，然后進行交集的運算即可．【題目詳解】由題意，集合，∴集合．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了描述法、區(qū)間表示集合的定義，絕對值不等式的解法，以及交集的運算，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、C【解題分析】

首先化簡為，再求函數(shù)的性質(zhì).【題目詳解】，是偶函數(shù)，故選C.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于簡單題型.8、D【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后可利用基本不等式求出的最小值．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，以及對所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題．9、C【解題分析】因為，所以，即，應選答案C．10、B【解題分析】

本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，然后對求導并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，令，則，當可得，故時，；時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因為，所以當時，函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，即時，函數(shù)在恰有兩個零點.故選B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.11、C【解題分析】

由題意，根據(jù)甲丙丁的支付方式進行分類，根據(jù)分類計數(shù)原理即可求出．【題目詳解】顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，

①當甲丙丁顧客都不選微信時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，

當甲選擇支付寶時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有，故有2+5=7種，

②當甲丙丁顧客都不選支付寶時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，

當甲選擇微信時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有，故有2+5=7種，

③當甲丙丁顧客都不選銀聯(lián)卡時，若有人使用現(xiàn)金，則,若沒有人使用現(xiàn)金，則有種，故有6+6=12種，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有7+7+6+6=26種，

故選C．【題目點撥】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.12、D【解題分析】列舉法得出集合，共含個元素．故答案選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由復數(shù)、分別對應點,,可得,即可計算.【題目詳解】復數(shù)、分別對應點,,可得:,故答案為:.【題目點撥】本題考查復平面和數(shù)量積,主要考查復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應是解本題的關鍵,屬于基礎題.14、【解題分析】

試題分析：由題意得，，所以直角坐標為故答案為：考點：極坐標與直角坐標的互化.15、【解題分析】

在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).【題目詳解】在空間中，點關于軸的對稱點：軸不變，軸取相反數(shù).點關于軸的對稱點的坐標為故答案為：【題目點撥】本題考查了空間的對稱問題，意在考查學生的空間想象能力.16、【解題分析】分析：，其中利用定積分的幾何意義計算.詳解：，其中的幾何意義為函數(shù)與直線及軸所圍成的圖形的面積，即圓在第一象限的部分的面積，其值為.而.所以原式.故答案為：.點睛：本題主要考查定積分，定積分的幾何意義，圓的面積等基礎知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答定積分的計算，關鍵是熟練掌握定積分的相關性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）X

0

1

2

3

1

P

（2）【解題分析】

試題分析：（1）本題是一個超幾何分步，用X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0，1，2，3，1．結(jié)合變量對應的事件和超幾何分布的概率公式，寫出變量的分布列和數(shù)學期望．（2）選出的1人中至少有3名男生，表示男生有3個人，或者男生有1人，根據(jù)第一問做出的概率值，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．解：（1）依題意得，隨機變量X服從超幾何分布，隨機變量X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0，1，2，3，1．．∴所以X的分布列為：（2）由分布列可知至少選3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．點評：本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望，考查超幾何分步，考查互斥事件的概率，考查運用概率知識解決實際問題的能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，.【解題分析】

（I）由于兩點關于軸對稱，故由題設知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.將兩點的坐標代入方程，聯(lián)立即可解得，從而得出的方程；（II）設直線與直線的斜率分別為，，利用設而不求方法證明．【題目詳解】（I）由于兩點關于軸對稱，故由題設知經(jīng)過兩點.又由知，不經(jīng)過點，所以點在上.因此，解得.故的方程為.（II）設直線與直線的斜率分別為，將代入得由題設可知.設，則.而由題設，故.即.解得.當且僅當時，，則由，得，所以過定點.【題目點撥】設而不求方法的一般思路，設出直線與圓錐曲線的的交點坐標，將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，通過韋達定理，弦長公式或斜率關系結(jié)合題意解答．19、(1)..(2).【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標方程公式得到普通方程，再計算傾斜角.（2）判斷點在直線l上，建立直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達定理得到答案.【題目詳解】（1）消去參數(shù)α得，即C的普通方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡得，所以直線l的傾斜角為.（2）由（1），知點在直線l上，可設直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)），代入并化簡，得，，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為，，則，，所以，，所以.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，傾斜角，利用直線的參數(shù)方程可以簡化運算.20、（1）可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關；（2）見解析【解題分析】

(1)先由頻率分布直方圖得到列聯(lián)表，再根據(jù)公式計算得到卡方值，進而作出判斷；（2）消費者中40歲以下的人數(shù)為，可能取值為3，4，5，求出相應的概率值，再得到分布列和期望.【題目詳解】（1）根據(jù)直方圖可知40歲以下的消費者共有人，40或40歲以上的消費者有80人，故根據(jù)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如下：主要購物方式年齡階段網(wǎng)絡平臺購物實體店購物總計40歲以下754512040歲或40歲以上255580總計100100200依題意，的觀測值故可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關.（2）從通過網(wǎng)絡平臺購物的消費者中隨機抽取8人，其中40歲以下的有6人，40歲或40歲以上的有2人，從這8名消費者抽取5名進行答謝，設抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為，則的可能取值為3，4，5且，，，則的分布列為：345故的數(shù)學期望為3.75.【題目點撥】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）