青海省平安區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

青海省平安區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，若C的左支上存在點(diǎn)M，使得直線bx﹣ay＝0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．53．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部為-2，則（）A．5 B． C． D．135．當(dāng)取三個(gè)不同值時(shí)，正態(tài)曲線的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．6．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．7．設(shè)，若，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第4項(xiàng)和第5項(xiàng) D．第7項(xiàng)8．若，則的值為（）A．-2 B．-1 C．0 D．19．用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中，假設(shè)時(shí)，不等式成立，則需證當(dāng)時(shí)，也成立，則（）A． B．C． D．10．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)的模是()A．3 B．4 C．5 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．從長(zhǎng)度為、、、的四條線段中任選三條，能構(gòu)成三角形的概率為.15．有4個(gè)不同的小球，全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰好有兩個(gè)盒子不放球的不同放法的總數(shù)為_(kāi)___________________．16．某幾何體由一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組合而成，其三視圖如圖所示（單位：厘米），則該幾何體的體積（單位：立方厘米）是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知集合，設(shè)，判斷元素與的關(guān)系.18．（12分）已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，且.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)求的通項(xiàng)公式.19．（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，求至少抽到個(gè)紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機(jī)抽取個(gè)球，記每抽到個(gè)紅球得紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，每抽到個(gè)白球得到紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，求該人所得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）一個(gè)口袋內(nèi)有個(gè)不同的紅球，個(gè)不同的白球，（1）從中任取個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記分，取一個(gè)白球記分，從中任取個(gè)球，使總分不少于分的取法有多少種？21．（12分）被嘉定著名學(xué)者錢(qián)大昕贊譽(yù)為“國(guó)朝算學(xué)第一”的清朝數(shù)學(xué)家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類(lèi)“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱上的四等分點(diǎn).（1）求該方燈體的體積；（2）求直線和的所成角；（3）求直線和平面的所成角．22．（10分）設(shè)a∈R，函數(shù)f（1）當(dāng)a=1時(shí)，求fx在3（2）設(shè)函數(shù)gx=fx+ax-1-e1-x，當(dāng)g

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．2、C【解題分析】

設(shè)P為直線與的交點(diǎn)，則OP為的中位線，求得到漸近線的距離為b，運(yùn)用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計(jì)算可得所求值．【題目詳解】，直線是線段的垂直平分線，可得到漸近線的距離為，且，，，可得，即為，即，可得．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計(jì)算求得結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進(jìn)行排列．4、C【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到，進(jìn)的得到.詳解：由題復(fù)數(shù)的實(shí)部為-2，則故選C.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可知，越小，曲線越“瘦高”，據(jù)此即可確定的大小.詳解：由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，所以.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布圖象的性質(zhì)，系數(shù)對(duì)正態(tài)分布圖象的影響等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積?！绢}目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的基本定理確定的數(shù)值，再求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)【題目詳解】令，可得，令，則，由題意得，代入得，所以，又因?yàn)椋哉归_(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第項(xiàng)，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了賦值法求二項(xiàng)式的次數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】

令，即可求出的值.【題目詳解】解：在所給等式中，令，可得等式為，即.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的展開(kāi)使用及靈活變求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問(wèn)題，常采用賦值法，屬于中檔題.9、C【解題分析】故選10、A【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線與直線，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)。由于，根據(jù)相似可得，又因?yàn)殡p曲線的對(duì)稱性，，故，則，整理得到，進(jìn)一步求得離心率?！绢}目詳解】設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，根據(jù)點(diǎn)差法可得，即，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對(duì)稱性，，，，，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考察雙曲線離心率問(wèn)題，出現(xiàn)弦中點(diǎn)考慮點(diǎn)差法，面積比值可以利用相似轉(zhuǎn)化為邊的比值，以此簡(jiǎn)化計(jì)算11、B【解題分析】

由外函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸大于等于1，且內(nèi)函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：令，其對(duì)稱軸方程為，外函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對(duì)應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．12、C【解題分析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的定義求得的值．【題目詳解】|，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）14、【解題分析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個(gè)，由于是任意選取的，所以每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構(gòu)成三角形”，則事件A包含2個(gè)基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點(diǎn)：古典概率的計(jì)算15、84【解題分析】

四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來(lái)求解，先把四個(gè)球分為兩組，再取兩個(gè)盒子，作全排列，由于四個(gè)球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類(lèi)來(lái)求解，再求出它們的和，即可得到答案【題目詳解】四個(gè)球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）

若兩組每組有兩個(gè)球，不同的分法有種，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是3×A42=36種

若兩組一組為3，一組為1個(gè)球，不同分法有C43=4種恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是4×A42=48種

綜上恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是36+48=84種即答案為84.【題目點(diǎn)撥】題考查察排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解事件“四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球”，宜先將四個(gè)球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)16、【解題分析】

根據(jù)三視圖確定出三棱錐的底面是一個(gè)等腰直角三角形且直角邊長(zhǎng)度都是，高為；半圓錐的底面是半徑為的半圓，高為；據(jù)此計(jì)算出該幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，三棱錐的體積：；半圓錐體積：，所以總體積為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間幾何體的體積計(jì)算，難度較易.計(jì)算組合體的體積時(shí)，可將幾何體拆分為幾個(gè)容易求解的常見(jiàn)幾何體，然后根據(jù)體積公式完成求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【解題分析】

分析：對(duì)變形并對(duì)分類(lèi)討論即可.詳解：根據(jù)題意，故當(dāng)，且時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.點(diǎn)睛：本題考查集合與元素的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于正確的分類(lèi)討論.18、（1）（2）【解題分析】

（1）先將表示為，然后利用裂項(xiàng)求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得出，然后利用作差法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【題目詳解】（1）因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí).；當(dāng)時(shí)，.故【題目點(diǎn)撥】本題考查裂項(xiàng)法求和以及作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求通項(xiàng)要結(jié)合遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求數(shù)列通項(xiàng)，求和則需考查數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)合理選擇合適的求和方法進(jìn)行計(jì)算，屬于?？碱}．19、（1）；（2）42元.【解題分析】

（1）分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，概率相加得到答案.（2）隨機(jī)變量可能的取值為，計(jì)算每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)概率，得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】(1)記至少抽到個(gè)紅球的事件為,法1：至少抽到個(gè)紅球的事件，分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，每次是否取得紅球是相互獨(dú)立的，且每次取到紅球的概率均為，所以，答：至少抽到個(gè)紅球的概率為.法2：至少抽到個(gè)紅球的事件的對(duì)立事件為次均沒(méi)有取到紅球（或次均取到白球），每次取到紅球的概率均為（每次取到白球的概率均為），所以答：至少抽到個(gè)紅球的概率為.(2)由題意,隨機(jī)變量可能的取值為，，，，所以隨機(jī)變量的分布表為：所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（元）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、（1）115（2）186【解題分析】

（1）從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法，紅球4個(gè)，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，紅球2個(gè)和白球2個(gè)，紅球4個(gè)，取法有種，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，取法有種；紅球2個(gè)和白球2個(gè)，取法有種；根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法有21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）計(jì)算出八個(gè)角（即八個(gè)三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個(gè)角的體積之和即可得出方燈體的體積；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線和的所成角；（3）求出平面的法向量，利用空間向量法求出直線和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.【題目詳解】（1）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為棱上的四等分點(diǎn)，該方燈體的體積：；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，、、、，，，設(shè)直線和的所成角為，則，直線和的所成角為；（3），，，，設(shè)平面的法向量，則，得，取，得，設(shè)直線和平面的所成角為，則，直線和平面的所成角為．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、異面直線所成角、直線與平面所成角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.22