2024屆貴州省黎平縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆貴州省黎平縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知…，依此規(guī)律，若，則的值分別是（）A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，82．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線交于E，G兩點(diǎn)，若，則拋物線C的方程是（）A． B．C． D．3．某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種4．為了測(cè)算如圖所示的陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是A．4 B．3 C．2 D．15．設(shè)且，則“”是“”的()A．必要不充分條件B．充要條件C．既不充分也不必要條件D．充分不必要條件6．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現(xiàn)將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，設(shè)二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π47．牡丹花會(huì)期間，記者在王城公園隨機(jī)采訪6名外國(guó)游客，其中有2名游客來(lái)過(guò)洛陽(yáng)，從這6人中任選2人進(jìn)行采訪，則這2人中至少有1人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的概率是（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．49．已知，，則“”是“表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已如集合，，則（）A． B． C． D．11．在極坐標(biāo)系中，由三條直線，，圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．14．已知函數(shù).為的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.15．，，則__________.16．極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d、前n項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知矩陣A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．20．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，設(shè)，分別是數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.21．（12分）已知在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求n的值；求展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．22．（10分）已知在的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（1）求含的項(xiàng)的系數(shù)；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

仔細(xì)觀察已知等式的數(shù)字可發(fā)現(xiàn):,根據(jù)此規(guī)律解題即可.【題目詳解】由,

,

,

歸納可得,故當(dāng)時(shí),,

故選C.【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來(lái)考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.2、C【解題分析】

作，垂足為點(diǎn)D．利用點(diǎn)在拋物線上、，結(jié)合拋物線的定義列方程求解即可.【題目詳解】作，垂足為點(diǎn)D．由題意得點(diǎn)在拋物線上，則得．①由拋物線的性質(zhì)，可知，，因?yàn)?，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故拋物線C的方程是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見(jiàn)解法有：一般問(wèn)題直接法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.4、B【解題分析】

根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可求，向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，落在陰影部分的概率，即可得出結(jié)論．【題目詳解】本題中向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，相當(dāng)于600個(gè)點(diǎn)均勻分布在正方形內(nèi)，而有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，可知陰影部分的面積．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是一個(gè)關(guān)于幾何概型的創(chuàng)新題，屬于基礎(chǔ)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題目意思，然后與學(xué)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．在利用幾何概型的概率公式來(lái)求其概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中對(duì)于幾何度量為長(zhǎng)度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的，而對(duì)于角度而言，則是過(guò)角的頂點(diǎn)的一條射線落在Ω的區(qū)域（事實(shí)也是角）任一位置是等可能的．5、C【解題分析】或;而時(shí),有可能為.所以兩者沒(méi)有包含關(guān)系,故選.6、C【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說(shuō)明A，B，D錯(cuò)誤．【題目詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時(shí)，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時(shí)α<θ，故A錯(cuò)誤；當(dāng)PC與平面ABC垂直時(shí)，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設(shè)AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當(dāng)θ無(wú)限接近0時(shí)，β無(wú)限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項(xiàng)是C．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．7、C【解題分析】分析：從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解．詳解：由題意，從名外國(guó)游客中選取人進(jìn)行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來(lái)過(guò)洛陽(yáng)的共有種不同選法，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)排列、組合的相關(guān)知識(shí)得到基本事件的個(gè)數(shù)和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．8、B【解題分析】

計(jì)算，根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的理解以及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，審清題干，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

先要理解橢圓方程的基本形式，再利用兩個(gè)命題的關(guān)系即可得出必要不充分．【題目詳解】當(dāng)且時(shí)，表示圓，充分性不成立；當(dāng)表示橢圓時(shí)，且，必要性成立，所以“”是“表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓方程的基本形式，以及命題之間的關(guān)系．10、A【解題分析】

求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【題目詳解】由題意，集合，∴集合．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了描述法、區(qū)間表示集合的定義，絕對(duì)值不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

求出直線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，直線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)直線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，則，得.設(shè)直線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，則，即，得.因此，三條直線所圍成的三角形的面積為，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)系中三角形面積的計(jì)算，主要確定出交點(diǎn)的極坐標(biāo)，并利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、B【解題分析】

由平移變換得到，由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求.【題目詳解】由題意得：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故選B.【題目點(diǎn)撥】平移變換、伸縮變換都是針對(duì)自變量而言的，所以函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，不能錯(cuò)誤地得到.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)計(jì)算函數(shù)表達(dá)式，將代入得到答案.【題目詳解】設(shè)：，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解題分析】

通過(guò)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，代入1即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，難度不大.15、2【解題分析】分析：由，可得，直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即可得，計(jì)算過(guò)程注意避免計(jì)算錯(cuò)誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，意在考查對(duì)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.16、【解題分析】分析：由極坐標(biāo)方程可得或，化為直角坐標(biāo)方程即可.詳解：由極坐標(biāo)方程可得或，，即或即答案為或.點(diǎn)睛：本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由得，結(jié)合，求出公差，從而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，采用錯(cuò)位相減法求的前n項(xiàng)和.【題目詳解】（1）在等差數(shù)列中，由，得：，又，公差，，數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2），令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，…①…②；．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和，以及采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)不等式的特征，分，，，構(gòu)造，研究其單調(diào)性即可.（2）將當(dāng)時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)且時(shí)，轉(zhuǎn)化為，，利用（1）的結(jié)論求解.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式左邊與右邊相等，當(dāng)時(shí)，原不等式，等價(jià)于，令，所以，所以在上遞增，，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式，等價(jià)于，令，所以，所以在上遞增，，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)且時(shí)，恒成立，由（1）知當(dāng)且時(shí)，，所以，所以.實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)于函數(shù)的單調(diào)性研究不等式恒成立問(wèn)題，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、(1)，，,.(2).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)特征多項(xiàng)式求特征值，再根據(jù)特征值求對(duì)應(yīng)特征向量，（2）先將表示為，再根據(jù)特征向量定義化簡(jiǎn)A5，計(jì)算即得結(jié)果.詳解：(1)矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得.(2)令，得，求得.所以點(diǎn)睛：利用特征多項(xiàng)式求特征值，利用或求特征向量.20、（1），；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列的方程組求解則可求，進(jìn)而得（2）利用分組求和即可證明【題目詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，是等差數(shù)列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.綜上，，.（2）由（1）得，所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，裂項(xiàng)相消求和，考查推理計(jì)算能力，是中檔題21、（I）；（II）；（III）有理項(xiàng)分別為，；.【解題分析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的第六項(xiàng)的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項(xiàng)展開(kāi)式中，令，可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【題目詳解】在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為

為常數(shù)項(xiàng)，，．在的展開(kāi)式中，令，可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項(xiàng)分別為，；．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一